吉林省长春市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案

吉林省长春市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、单项选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则＝（）A．﹣ B．﹣ C．+ D．+答案：C．2．复数，则z的虚部是（）A．i B．1 C．﹣2 D．﹣1答案：B．3．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2﹣c2+ac，则角B的大小是（）A．45° B．60 C．90° D．135°答案：A．4．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为（）A．2π B．3π C．4π D．5π答案：A．5．如图，已知等腰三角形△O'A'B'，O'A'＝A'B'是一个平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，则这个平面图形的面积是（）A． B．1 C． D．答案：D．6．已知向量，，则△ABC的面积为（）A．5 B．10 C．25 D．50答案：A．7．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AC，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D．8．正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为（）A． B． C． D．答案：A．二、多项选择题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是（）A．＝， B． C． D．答案：BD．10．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A．圆柱的侧面积与球的表面积相等 B．圆锥的侧面展开图的圆心角为π C．圆柱的表面积为4πR2 D．圆柱的体积等球与圆锥的体积之和答案：AD．11．已知角A，B，C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（）A．sin（B+C）＝sinA B．cos（A+B）＝cosC C．若A＞B，则sinA＞sinB D．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形答案：AC．12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A． B． C． D．答案：AD．三、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡相应的横线上。13．已知向量＝（1，cosθ），且，则＝．答案为：．14．已知复数z1＝1+2i，z2＝3﹣4i，复数z满足，则|z|＝．答案为：．15．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a＝1，∠B＝45°，△ABC的面积S＝2，那么△ABC的外接圆的直径等于5．答案为516．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面四边形ABCD为正方形，四条侧棱PA＝PB＝PC＝PD，点E和F分别为棱BC和PD的中点．若过A、E、F三点的平面与侧面PCD的交线线段长为，且异面直线AB与PD的成角余弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为48π．故答案为：48π．四、解答题本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（18分）若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i，当实数m为何值时（1）z是实数；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点在第二象限．解得：﹣3＜m＜﹣1．18．已知平面直角坐标系中，点O为原点，A（1，3），B（2，1），C（4，m）．（1）若，求实数m的值；（2）若A，B，C三点共线，求实数m的值．解得实数m＝；（2）＝（1，﹣2），＝（3，m﹣3），∵A，B，C三点共线，∴∥，∴，解得实数m＝﹣3．19．要测量对岸两点A，B之间的距离，选取相距200m的C、D两点，并测得∠ADC＝105°，∠BDC＝15°，∠BCD＝120°，∠ACD＝30°，求A、B两点之间的距离．答案：在△ACD中，CD＝200，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，∠DAC＝45°，∴根据正弦定理得：，解得，在△BCD中，CD＝200，∠BCD＝120°，∠BDC＝15°，∠DBC＝45°，∴根据正弦定理得：，解得，∵∠ADC＝105°，∠BDC＝15°，∴∠ADB＝90°，∴＝．20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求C；（2）若c＝，△4BC的面积为，求△ABC的周长．答案：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．所以2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC．整理得：2cosCsin（A+B）＝2cosCsinC＝sinC，故：cosC＝．由于0＜C＜π，故C＝．（2）由于，解得ab＝6，由于c2＝a2+b2﹣2abcosC，所以7＝（b+a）2﹣2ab﹣ab，整理得：a+b＝5．则：．21．（18分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．（1）证明：CD⊥平面PAC；（2）若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD；（3）若直线PC与平面ABCD成角为45°，求三棱锥A﹣PCD的体积．答案：（1）证明：PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又由CD⊥PC，而PA∩PC＝A，则CD⊥平面PAC；（2）取PD的中点F，连接EF，E是PA的中点，F是PD的中点，则EF∥AD且EF＝AD，又由AB⊥BC，AB＝BC，则∠BAC＝45°，则有∠CAD＝45°，又由CD⊥平面PAC，则CD⊥AC，则△ACD为等腰直角三角形，又由AB＝BC＝1，则AC＝，AD＝AC＝2，必有EF＝AD＝1，而AD∥BC且BC＝1，则EF∥BC且EF＝BC，故四边形