济宁市任城区2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案

济宁市任城区2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。1．设复数z满足z（1+i）＝2i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D．2．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积（）A． B．1 C． D．2（1+）答案：A．3．若在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形答案：C．4．若向量＝（1，2），＝（0，1），k﹣与+2共线，则实数k的值为（）A．﹣1 B． C．1 D．2答案：B．5．已知复数3﹣2i是关于x的方程2x2﹣mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值分别为（）A．6，8 B．12，0 C．12，26 D．24，26答案：C．6．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则△ABC的面积为（）A．2 B．4 C． D．答案：A．7．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（）A． B． C． D．答案：D．8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则•的取值范围是（）A．[6，12] B．[6，16] C．[8，12] D．[8，16]答案：C．二、选择题本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是（）A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．正方体答案：ACD．10．下列说法正确的有（）A．在△ABC中，a：b：c＝sinA：sinB：sinC B．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形 C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件 D．在△ABC中，若sinA＝，则A＝答案：AC．11．有下列说法，其中错误的说法为（）A．若，，则 B．若，则P是三角形ABC的垂心 C．两个非零向量，，若|﹣|＝||+||，则与共线且反向 D．若，则存在唯一实数λ使得答案：AD．12．在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB和平面NMQ平行的是（）A． B． C． D．答案：BCD．三、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数z＝，i为虚数单位，则|z|＝．14．已知A，B，C为圆O上的三点，若＝（+），则与的夹角为90°．15．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有12.5斛．16．已知平面向量，，满足，，，且与的夹角为，则的最大值为．四、解答题本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知复数z＝1+i，且＝1﹣i，求实数a，b的值．解：由题可知，z2＝2i，左式＝＝右式，即（a+b）+（a+2）i＝i（1﹣i）＝1+i，得到方程组，解得：．18．在①asinC＝csin（A+）；②2ccosA＝acosB+bcosA；③b2+c2＝a2+bc这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若已知b＝3，S△ABC＝3，_____，求a的值．解：若选①：因为asinC＝csin（A+），所以sinAsinC＝sinCcsin（A+），所以sinA＝sin（A+）＝，即sinA＝cosA，所以tanA＝，因为A为三角形的内角，所以A＝，所以S△ABC＝＝＝＝3，所以c＝4，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，＝＝13，所以a＝，若选：②2ccosA＝acosB+bcosA，所以2sinCcosA＝sinAcosB+sinBcosA，所以2sinCcosA＝sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，因为sinC≠0，所以cosA＝，因为A为三角形内角，所以A＝，S△ABC＝＝＝＝3，所以c＝4，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，＝＝13，所以a＝，若选③：③b2+c2＝a2+bc，由余弦定理得，cosA＝＝，因为A为三角形内角，所以A＝，S△ABC＝＝＝＝3，所以c＝4，由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA，＝＝13，所以a＝．19．如图所示，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D1为A1C1上的中点．（1）求证：BC1∥平面AB1D1；（2）设三棱锥A﹣A1B1D1的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V2，求．（1）证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B上的中点，又点D1为A1C1上的中点，所以OD1∥BC1，又OD1⊂平面AB1D1，B1C⊄平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1．（2）V1＝＝＝＝V2，所以＝．20．已知向量．（1）求的坐标以及与之间的夹角；（2）当k为何值时，与垂直？（3）当t∈[﹣1，1]时，求的取值范围．解：（1）∵向量，∴＝（3，）．设与之间的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cosθ＝＝＝，∴θ＝．（2）要使，与垂直，需（）•（）＝k+（1﹣3k）﹣3＝4k+（1﹣3k）×（﹣2）﹣3×4＝0，求得k＝．（3）当t∈[﹣1，1]时，＝＝＝2，故当t＝﹣时，取得最小值为；当t＝1时，取得最大值为2，故的取值范围为[，2]．21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．求证：（1）直线EG∥平面BDD1B1；（2）平面EFG∥平面BDD1B1；（3）若正方体棱长为1，过A，E，C1三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．解：（1）证明：连接SB，由EG为△CSB的中位线，可得EG∥SB，由EG⊄平面BDD1B1，SB⊂平面BDD1B1，可得EG∥平面BDD1B1；（2）由EF∥DB，EF⊄平面BDD1B1，DB⊂∥平面BDD1B1，可得EF∥∥平面BDD1B1，又由（1）可得EG∥平面BDD1B1，EF∩EG＝E，可得平面EFG∥平面BDD1B1；（3）取B1C1的中点N，连接A1N，NE，可得AE∥A1N，AE＝A1N，取A1D1的中点M，连接MC1，AM，可得MC1＝A1N，MC1∥A1N，可得截面AEC1M为平行四边形，且AE＝EC1＝AM＝MC1＝＝，所以截面的面积为×A1C1×ME＝××＝．22．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且点E在点F的右下方，在运动的过程中，始终保持∠EAF＝不变，设∠EAB＝θ弧度．（1）写出θ的取值范围，并分别求线