chap4-晶体的宏观对称

主要教学内容：晶体的宏观对称要素*对称要素的组合定理*对称型*晶体的对称分类体系*第四章晶体的宏观对称自然界中对称的现象一、对称的概念图形相同局部有规律的重复，称为对称。对称图形的条件：有两个或两个以上相同局部；这些相同局部可以借助于对称动作发生重复。4.1对称的概念和晶体对称的特点两个相同局部，通过一个平面的反映发生重复假设干个相同局部，通过绕一根直线的旋转发生重复晶体是对称的。晶体对称在外形上表现为相同晶面、晶棱的规律重复。

石榴石晶体

绿柱石晶体二、晶体对称的特点⑴所有的晶体都是对称的。⑵晶体的对称是有限的。⑶晶体的对称不仅表现在外形上，内部结构和物理性质也是对称的。NaCl抗拉强度(g/mm2)的对称性2150215011501150570570一、对称操作和对称要素

4.2晶体的宏观对称要素对称操作：反映、旋转、反伸对称要素：面、线、点对称操作：使物体的相同局部重复所进行的操作。对称要素：进行对称操作时必须凭借一定的几何要素。现实生活中的几个对称的例子吊扇中的叶片以转子中心线为对称轴，三个叶片之间可以围绕这个对称轴每旋转120

重复一次。对称操作：绕对称轴旋转一定的角度对称要素：旋转轴对称操作：镜子的反映(这是一个虚拟操作)对称要素：镜子构成的对称面现实生活中的几个对称的例子二、晶体的宏观对称要素晶体外形的对称为宏观对称性，晶体内部结构原子或离子排列的对称性为微观对称性。前者是有限大小宏观晶体具有的对称性，后者是无限晶体结构具有的对称性。两者本质上是统一的，微观对称性是晶体的本征性质，宏观对称性是微观对称性的外在表现。在进行对称操作时，如果物体中至少有一个点保持不动，那么相应的对称操作就称为点对称操作，即宏观对称操作。晶体的宏观对称要素和对称操作在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定通过晶体的中心，因此不管如何进行对称操作，晶体中至少有一个点是不变的。

P1和P2为对称面；

AD非对称面概念：对称面是通过晶体中心的一个假想平面，它将图形分为互成镜像反映的两个相等局部。对称操作：反映表示方法：nP，如9P、6p等1.对称面〔P〕晶体中对称面可能出现的位置垂直并平分晶面垂直晶棱并通过它的中点包含晶棱立方体9个对称面的分布晶体中如果存在对称面，那么必定通过晶体的几何中心并将晶体分为互成镜像反映的两个相同局部。晶体中的对称面：0≤P≤9概念：通过晶体中心的一根假想直线，当图形绕此直线旋转一定角度后可使相同局部重复。轴次(n)：旋转一周重复的次数。基转角()：在旋转操作中，使物体复原所需的最小旋转角。n=360/表示方法：mLn：如3L2、4L32.对称轴(Ln)晶体外形上可能出现的对称轴

名称符号基转角作图符号一次对称轴L1360

二次对称轴L2180

三次对称轴L3120

四次对称轴L490

六次对称轴L660

轴次高于2的对称轴：L3、L4、L6为高次轴。晶体中的对称轴：2，3，4，6垂直对称轴所形成的多边形网孔对称定律：晶体中不可能出现五次及高于六次的对称轴。垂直对称轴所形成的多边形网孔以色列科学家丹尼尔-谢赫特曼〔DanielShechtman〕因发现准晶体而一人独享了2011年诺贝尔化学奖。准晶具有完全有序的结构，然而又不具有晶体所应有的平移对称性，因而可以具有晶体所不允许的宏观对称性。对称轴可能出现的位置晶面中心；晶棱中点；角顶。立方体上

3L44L36L2的分布晶体中可以没有对称轴，也可以同时出现不同轴次的对称轴，同轴次的对称轴可以是一个或多个。3、对称中心〔C〕对称中心是一个假想的几何点，其对应的对称操作是对于这个点的倒反(反演)。通过对称中心作任意直线，在此直线上位于对称中心两侧等距离的两点是性质完全相同的对应点。在晶体中，如果存在有对称中心，那么对称中心肯定位于晶体的几何中心。用符号“C”表示。由对称中心联系起来的物和像由对称中心联系的两个反向平行的晶面

旋转反伸轴是一种复合对称要素，由一根假想的直线和在此直线上的一个定点组成。相应的对称操作是绕此直线旋转一定角度后再对此定点的反伸。

对称操作包含两种操作：旋转和反伸，两个操作步骤完成后对称图形才可复原。根据晶体对称轴定律，反轴也只有1次、2次、3次、4次和6次。

4.旋转反伸轴(Lin)表示方法：Lin；n=1,2,3,4,6晶体中不可能出现5次及高于6次的旋转反伸轴。相当于旋转360

后再对中心反伸。旋转360

将使图形回复到原始位置；因此，1次反轴的效果与单纯的反伸操作完全相同。1次反轴也就是对称中心。1次反轴相当于旋转180

后再对中心反伸。2次反轴2次反轴就是对称面1点旋转180到达2点2点对中心反伸后到达3点注意这里的2点是不存在的，是一个过渡点。事实上，1和3是关于这个面对称的。相当于旋转120

后再对中心反伸。旋转120

图形能够复原，因此该图形具有1条3次旋转轴该图形显然具有一个对称中心3次反轴因此3次反轴相当于1个3次旋转轴加上一个对称中心相当于旋转90后再对中心反伸而图形不变。这是一个独立的对称操作。它既没有4次旋转轴也没有对称中心，不能分解成其他根本对称要素的组合。4次反轴注意这里的2、6、4、8这四个点是不存在的，也是过渡点。相当于旋转60

后再对中心反伸而图形不变。旋转120

图形能够复原，因此该图形具有一条3次旋转轴该图形显然具有一个对称面6次反轴因此6次反轴相当于一条3次旋转轴加上一个对称面

旋转反伸轴及对称操作示意图Li1=CLi2=PLi3=L3+CLi4Li6

=L3+P

Li1Li2Li3Li4

Li6晶体结构中的旋转反伸轴：旋转反伸轴与简单对称要素的替代关系Li1→CLi2→PLi3→L3+CLi4Li6→L3+P只有4次旋转反伸轴是一个独立的根本对称操作，其他4种都可以表示为对称中心、对称面、旋转轴的组合。

具Li4的四方四面体由Li4的联系的图形具有Li6的三方柱晶体中只存在有8种独立的宏观对称要素:参见：p42，表4-2任何宏观晶体所具有的对称性都是这8种根本对称要素的组合。4.3对称要素的组合及对称型任意两个对称要素同时存在一个晶体时，将产生第三个对称要素，且产生的个数一定。晶体上对称要素的组合必须遵循对称定律和对称要素的组合定理。一、对称要素的组合定理定理1：如果有一个对称面P包含Ln，那么必有n个P同时包含此Ln，且相邻两个P之间的夹角等于360º/2n：Ln+P//=LnnP——万花筒定理定理2：如果有一个L2垂直于Ln，那么必有n个L2垂直于LnLn+L2⊥=LnnL2定理3：偶次对称轴垂直对称面，交点必为对称中心：Ln(偶)+P⊥=LnPC。定理3的推论：存在对称中心时，晶体中偶次对称轴数目和反映面数目相等。定理4：如果有一个P包含Lin，或者有一个L2垂直Lin，当n为偶数时，必有n/2个P和L2包含或垂直Lin；当n为奇数时，必有n个P和n个L2包含或垂直Lin：

Lin(偶)+L2⊥(或P//)=Lin

(n/2)L2(n/2)P，Lin(奇)+L2⊥(或P//)=LinnL2nP。定理5：如果有轴次分别为n和m的两个对称轴以δ角斜交时，围绕Ln必有n个共点且对称分布的Lm；同时，围绕Lm必有m个共点且对称分布的Ln，且任两个相邻的Ln和Lm之间的交角均等于δ：

Ln+Lm=nLm

mLn1、概念结晶多面体中全部宏观对称要素的组合，称为该结晶多面体的对称型，也称点群。晶类：按对称型所划分的晶体类别。2、分类：A类：高次轴不多于一个；B类：高次轴多于一个。二、对称型和晶类1、A类对称型对称要素有7种组合情况：〔1〕对称轴单独存在L1；L2；L3；L4；L6。三、对称型的推导〔2〕Ln与垂直的L2组合Ln+L2⊥=LnnL2(L1+L2=L1L2=L2)；L2+L2=L22L2=3L2；L3+L2=L33L2；L4+L2=L44L2；L6+L2=L66L2。〔3〕Ln与垂直它的P组合。Ln(偶)+P⊥=LnP(C)；(L1+P=L1P=P)；L2+P=L2PC；L3+P=L3P；L4+P=L4PC；L6+P=L6PC。〔4〕Ln与包含它的P组合Ln+P//=LnnP，(L1+P//=L1P=P)；L2+P//=L22P；L3+P//=L33P；L4+P//=L44P；L6+P//=L66P。〔5〕Ln与平行它的P以及垂直它的P组合Ln+P//+P⊥=LnnL2(n+1)P(C)(L1+P⊥+P//=L1L22P=L22P)；L2+P⊥+P//=L22L23PC=3L23PC；L3+P⊥+P//=L33L24P=Li63L23P；L4+P⊥+P//=L44L25PC；L6+P⊥+P//=L66L27PC。〔6〕Lin单独存在Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。〔7〕Lin与垂直的L2(或包含它的P)的组合Lin(奇)+L2⊥(或P//)=LinnL2nP，Lin(偶)+L2⊥(或P//)=Lin(n/2)L2(n/2)P，(Li1L2P=L2PC)；Li33L23P=L33L23PC；(Li2L2P=L22P)；Li42L22P；Li63L23P.2、B类对称型3L44L36L2；3L44L36L29PC；3L24L3；3L24L33PC；3Li44L36P。以上推导结果，除去有些重复的；独立存在的对称型一共有32种——32点群。表4-3

4.4晶体的对称分类根据相应的对称性特征，晶体可以分为3个晶族，7个晶系和32个晶类。在32晶体点群中，某些点群均含有一种相同的对称元素，这样的对称元素叫做特征对称元素。⒈高级晶族--高次轴多于1个等轴晶系〔立方晶系〕⒉中级晶族—只有一个高次轴四方晶系：L4或Li4；三方晶系：L3；六方晶系：L6或Li6。根据晶体对称型中有无高次轴以及高次轴的多少，把晶体分为3个晶族；各晶族再根据具体对称特点划分晶系