广东省普宁市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案

广东省普宁市2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、单项选择题1．i是虚数单位，若集合S＝{﹣1，0，1}，则（）A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D．答案：B．2．如图，平行四边形ABCD中，E分别是BC的中点，若＝，＝，则＝（）A． B． C． D．答案：D．3．若一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的体积为（）A．π B．π C．π D．2π答案：A．4．若复数z满足z（1+i）＝2i，则在复平面内z对应的点的坐标是（）A．（，1） B．（1，） C．（，） D．（，）答案：C．5．一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝（）A．60° B．30° C．90° D．45°答案：A．6．设x，y∈R，向量＝（x，1），＝（1，y），＝（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|＝（）A． B． C． D．10答案：B．7．已知△ABC的面积为10，且AB＝7，∠ACB＝60°，则该三角形的周长为（）A．15 B．18 C．20 D．21答案：C．8．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E、F、G、H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（）gA．118.8g B．108g C．97.2g D．86.4g答案：A．二、不定项选择题4小题，每小题5分，共20分；在每小题提供的4个选项中，有不少于一项符合题目要求。9．下列说法正确的是（）A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥 C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面答案：BCD．10．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，以下能独立说明△ABC为等腰三角形的是（）A．sinA＝sinB B．sin2A＝sin2B C． D．答案：AC．11．设z1，z2是复数，则下列说法正确的是（）A．若|z1﹣z2|＝0，则z1＝z2 B．若z1＝，则＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z1•＝z2• D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22答案：ABC．12．设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标系中相异的四点，若＝（λ∈R），＝（μ∈R），且＝2，则称A3，A4调和分割A1A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是（）A．A、B、C、D四点共线 B．D可能是线段AB的中点 C．C、D可能同时在线段AB上 D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上答案：AD．三、填空题4小题，每小题5分，共20分；第16题第一空2分，第二空3分。13．i是虚数单位，则的值为．【分析】利用复数模的运算性质即可求解．14．长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为14π．15．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米的地区为危险区，城市B在A地正东40千米处，则城市B处在危险区内的时间是1小时．16．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则•＝．四、解答题6道大题，共70分。17．已知i为虚数单位，复数z1＝1+i，z2＝8+5i，z3＝15﹣14i，（1）将z3+z1z2化为a+bi的形式，这里a、b∈R；（2）如果复平面内表示复数z＝z1m2﹣z1m+z3的点位于第四象限，求实数m的取值范围．18．已知＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|＝，求证：⊥；（2）设＝（0，1），若+＝，求α，β的值．答案：（1）由＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ），则＝（cosα﹣cosβ，sinα﹣sinβ），由＝2﹣2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝2，得cosαcosβ+sinαsinβ＝0．所以．即；（2）由得，①2+②2得：．因为0＜β＜α＜π，所以0＜α﹣β＜π．所以，，代入②得：．因为．所以．所以，．19．如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．答案：（1）在△ADC中，∵cos∠ADC＝，∴sin∠ADC＝＝＝＝，则sin∠BAD＝sin（∠ADC﹣∠B）＝sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB＝×﹣＝．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+CB2﹣2AB•BCcosB＝82+52﹣2×8×＝49，即AC＝7．20．如图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径OA＝1，母线SA＝3．（1）A、B是圆O的一条直径的两个端点，母线SB的中点D，用软尺沿着圆锥面测量A、D两点的距离，求这个距离的最小值；（2）现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求原工件材料的利用率．（材料利用率＝）答案：（1）如图，将圆锥SO的侧面自母线S处展开，得到扇形ASA′，SB′为母线SB在侧面展开图中相应的线段，∵弧AA′＝2π，∴，∴，取SB′的中点D′，则D′为D在侧面展开图中的相应点．连接AD′，在△ASD′中，由余弦定理得AD′2＝SA2+SD2﹣2SA×SD′×cos∠ASD′＝．故AD的最小距离为；（2）设新正方体工件的棱长为x，沿正方体对角面切圆锥，得到一个轴截面，如图：∴EF＝，FG＝x，∵△BFG∽△BSO，∴，解得x＝，故，又π，∴原工件材料的利用率为．21．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量＝（a+b，sinA﹣sinC），向量＝（c，sinA﹣sinB），且∥．（1）求角B的大小；（2）如果△ABC是钝角三角形，求该三角形中最长边与最短边的比值m的取值范围．答案：（1）由∥，得（a+b）（sinA﹣sinB）﹣c（sinA﹣sinC）＝0，根据正弦定理，得（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣c）＝0，即a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理，得cosB＝＝＝，又B∈（0，π），所以B＝；（2）因为△ABC为钝角三角形，不妨设A为钝角，则0＜C＜，根据三角形的边角关系，必有a＞b＞c，于是m＝，根据正弦定理，有m＝＝＝＝＝+，由于0＜C＜，则0＜tanC＜，故m＝+∈（2，+∞），因此，该三角形中最长边与最短边的比值m的取值范围是（2，+∞）．22．如图所示，AD是△ABC的一条中线，点O满足＝，过点O的直线分别与射线AB、射线AC交于M、N两点．（1）求证：＝+；（2）设＝m，＝n，m＞0，n＞0，求的值；（3）如果△ABC是边长为2的等边三角形，求OM2+ON2的取值范围．答案：（1）证明：因为D是BC的中点，所以＝；（2）因为M．N，O三点共线，故存在实数λ使得：，即＝，整理可得：＝，由（1）可知，，由平面向量基本定理，，所以；（3）因为三角形ABC为边长为2的等边三角形，故AM＝2m，AO＝，在△AOM中，由余弦定理可得：OM2＝AM