2023届普通高等学校招生全国统一考试第二次模拟考试数学（理）含解析

2023年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知复数Z在复平面内对应的点为(1,2),2是Z的共辗复数，则==

Z

ʌ34.ŋ34.34.34.

A.-----1—1B.----------1C.—I—1D.-------1

55555555

2.已知集合4={1,2,3},B={x∣x2-Λ-+∕n=θ},若Ac8={2},则B=

A.{2,1}B.{2,4}C.{2,3}D.{2,-1}

3.已知命题尸的否定为“小cR,x2+l≤Γ∖则下列说法中正确的是

A.命题P为"3x∈R,x2+l>l''且为真命题

B.命题P为“WX/R,/+且为假命题

C.命题P为"∀x∈R,f+]>]”且为假命题

D.命题尸为"玉∈R,/+[2]”且为真命题

4.世界数学三大猜想：“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想“，其中“四色猜想”和“费

马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，

哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果力+2”由我国数学家陈景润在1966年取得.哥

德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.在不超过17的

质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的概率为

[2]2I

A.—B.-C.—D.—Cln

4735甲

5.执行如图所示程序框图，则输出的S的值是\

6

S=S+舟

78n=n+∖

工

6.下列函数中，定义域和值域不相同的是

A.y=τB.>=√7</7>5?∖ɪ

工

2[x-2,x≤0

c七d

∙∙y=1+2,x>oL/输出s/

ɪ

7.已知向量a=(2cos75",2sin75'),£>=(COSl5",-Sinl5"),

fi(2α+⅛)l(α-2⅛),则实数力的值为

A.8B.-8C.4D.-4

8.已知焦点在X轴上的双曲线，一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍,

则双曲线的离心率是

A.友B.2C.@D.也

322

9.如图，生活中有很多球缺状的建筑.球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底

面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠面

积公式为5=2兀/汨，球缺的体积公式为V=gπ(3R-")”2,

其中R为球的半径，”为球缺的高.现有一个球被一

平面所截形成两个球缺，若两个球冠的面积之比为1:2,

则这两个球缺的体积之比为

A.ɪB,ɪɪC,ɪD.ɪ

9202010

10.已知关于X的方程fcc+A+3=0有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是

*7X

A.-2B.ɪC.-

39

11.为了降低或消除白炽灯对眼睛造成的眩光，给光源加上

一个不透光材料做的灯罩，可以起到十分显著的效果.

某一灯罩的防止眩光范围，可用遮光角/这一水平夹

角来衡量.遮光角是指灯罩边沿和发光体边沿的连线与

水平线所成的夹角，图中灯罩的遮光角用tany=∕⅛2h

D+d

表示.若图中D=IO6,4=14,且-----彳=11,则〃=

cos27+1

A.44B.66C.88

2

y

12.曲线「-14+--9=0,要使直线y=，MmeR)与曲线「有四个不同的交

33/

点，则实数，”的取值范围是

A.(-3,-√3)(-√3,>^)("3)B.(-3,-√3)(√3j)

C.(3,3)D.(-√3,>^)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.总体由编号为01,02,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个

个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两

个数字，则选出来的第5个个体的编号为.

78166572080263140702436911280598

14.在等比数列｛4｝中，％、%是函数〃、)=§丁-4/+©-1的极值点，则为=

15.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中,

异面直线AB与CD的夹角为

16.若直线y=K(x+l)-l与曲线y=e*相切，直线

y=&(x+1)-1与曲线y=InX相切，则勺与的值为

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分

17.(12分)

已知S“为等差数列｛4｝的前〃项和，%=9,S3=15.

(1)求｛5｝的通项公式；

(2)若伉=」一，也｝的前〃项和为，，证明：Tn<^-.

anan^∖O

18.（12分）

某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和

职工乙微信记步数情况:

步数15524步数12396

职工甲

(1)从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于IooOO的概率；

(2)从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于IooOO的天数为X,求

X的分布列及数学期望；

(3)下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分

频率/组距

0.06

布直方图.已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名(按照从大到小排序)分别为第68

和第142,请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图(不用说明理由).

19.(12分)

已知O为坐标原点，F为抛物线C:y2=2a5>0)的焦点，抛物线C过点M(6,-6).

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)已知直线/与抛物线C交于A,8两点，且OALOB,证明：直线/过定点.

20.(12分)

如图，线段AA是圆柱。。的母线，BC是圆柱下底面O的直径

(1)弦AB上是否存在点。，使得。Q,・平面AAC,请说明理由；

(2)若BC=2,/钻。=30。，点41,A,B,C都在半径为&的

球面上，求二面角C-AB-A的余弦值.

21.(12分)

已知函数/(%)=a4+(x+l)2(x>-l).

JI1

(1)若F(X)在X=I处有极值，问是否存在实数如使得不等式病+〃"+/-1叱/(均对任意*€卜-1,4

及小［-1』恒成立？若存在，求出〃?的取值范围：若不存在，请说明理由.(e=2∙71828)；

(2)若a=l,设F(X)=/(x)-(x+l)2-x.

①求证：当x>0时，尸(X)<0；

11

②设勺=---+----+•••+--------("∈N'),求证：an>In2

H÷1∕τ+2π+(w+l)

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］

在直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为Λα为参数，常数几>0),以坐标原点为极点，无轴

y=-

t

正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的方程为PSin(e-∙^∣=2.

(1)写出C的极坐标方程和/的直角坐标方程；

(2)若直线O=S(OeR)和C相交于A8两点，以AB为直径的圆与直线/相切，求，的值.

23.［选修45不等式选讲］

己知函数/(x)=∣x+α∣+k+3α∣.

(1)当α=T时，求不等式f(x)<4的解集；

(2)若f(x)的最小值为2,且(α-m)(α+m)=4∙,求上+其的最小值.

nm~

2023届高三第二次模拟数学(理科)参考答案

一、单选题

1.答案：A

解析：依题意，z=l+2i,则W=I-2i，

由“yl+2i_(l+2i)(l+2i)-3+4i3工4.

“'人Zl-2i(l-2i)(I+2i)555

故选：A

2.答案：D

解析：由题意可知，2wB,即22-2+〃7=0,所以m=-2,

所以,B={X∣X2-X-2=0}={2,-1}.

故选：D.

3.答案：C

解析：命题/,的否定为特称命题，，P:Vx∈R,χ2+l>l,

当X=O时，Y+ι=ι,.∙.p为假命题，ABD错误，C正确.

故选：C.

4.答案：B

解析：不超过17的质数有：2,3,5,7,11,13,17,共7个，

随机选取两个不同的数，基本事件总数"=C=21,

其和为奇数包含的基本事件有：(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2』3),(2,17),共6个,

所以尸=A=Z

217

故选：B

5.答案：B

解析：由题意可知，流程图的功能为计算s=τ⅛+⅛rS+7⅛+盘的值,

裂项求和可得：S

故选：B.

6.答案：D

解析：对于A：函数y=-X+2的定义域为R,值域也为R,不符合题意;

对于B：函数y=√7的定义域和值域都为[0,+8),不符合题意；

对于C：y=(的定义域和值域都为{χ∣χ≠0},不符合题意；

对于D：y=1—：Xu的定义域为R；

[x+2,x>0

当x≤()时，y=x-2<-2∙当x>0时，y=x+2>2.

所以值域为(-8，-2]=(2,+8),定义域和值域不相同，符合题意；

故选：D.

7.答案：A

解析：因为“力=2cos75cos15-2sin75sin15=2CoS(15+75)=0,

M=2,W=I.

^↑∖^(2a+b)-(a-λb)=2a-λb"=8-2=0.

所以2=8.

故选：A

8.答案：A

解析：由题意设一条渐近线的倾斜角为α,αe（O,］）,

Tr

则另一条渐近线的倾斜角为5α,由双曲对称性可得α+5α=π,α=2,

O

则一条渐近线的斜率为tan工=3，

63

设双曲线的长半轴长为％短半轴长为8则2=正，

a3

故离心率为e=卜⑶=R=半,

故选：A

9.答案：C

解析：设小球缺的高为九，大球缺的高为也，则4+∕⅛=2R,①

4,2τιR%1_

由题意可得：亍号=5,即："=2九，②

所以由①©得：九=竽，坛罟,

所以小球缺的体积匕=；43R-竿上（与j=卷手

大球缺的体积K=，兀（3R-竺］x（竺］='皿，

23V3JV3J81

28兀」

所以小球缺与大球缺体积之比为"=τ⅛=ɪ.

V1ft（Jπ∕<20

81

故选：C.

10答案：B

解析：由题意可得4=T）2-4伏+3）..0,

解得化.6或A≤-2,

设两个为好，X”由两根为正根可得

N+x2=k>0

解得z>0,

XfX2=⅛÷3>0

综上知，k..6.

故两个根的倒数和为7+T∙=T?

人］ʌɔ√V∣

k1

氏+314.3,

1十一

1131

.6Γ--6f-2-

故

κ2

12

∙,∙1+-ɜ,

k

故两个根的倒数和的最小值是I.

故选：B

11.答案：B

EAIOsin2/20sinrcos∕S11

解析：嬴万丁11",βr即t2cN∕=Nn/=111,所以tany=而,

-ɪ=-2/?,解得∕z=66,

D+d106+1410

故选：B.

12.答案：B

解析：由题意得：x2+∕-9>0,BP√+∕≥9,即曲线「上的点(x,y)为圆Y+V=9上或圆Y+V=9夕卜

的点，

由1+Bi""''=。得:I-I=I或W+),2=9,

,---二=1先∫x=-√6∫x=-√6∫x=√6∫x=√6

由<33得：彳r或)厂或｛L或彳,

d+y2=9Iy=Kb,ɪ-vɜ[y=∙^Iy=-4

由此可得曲线「的图象如下图所示，

由图象可知：当，〃€卜3,-石)(有,3)时，直线y=m与曲线「有四个不同交点;

实数〃7的取值范围为(T-G)(√3,3).

故选：B.

二、填空题

13.答案：11

解析：由题设，依次取出的编号为08、02、14、07、11、05,

所以第5个个体的编号为11.

故答案为：11

14.答案：2

解析：∕,(X)≈X2-8X+4,

由题外,生是方程f-8x+4=0的两个不等实根,

则由韦达定理W7=4>0,〃3+%=8>0,所以%>O">()

又如是％，%的等比中项且％与生，%同号，则a；=4,4>0=>%=2∙

故答案为：2.

15.答案：60o

解析：

如图所示，把展开图恢复到原正方体.

连接AE,BE.由正方体可得C£7/Ao且CE=4),

：.四边形AoCE是平行四边形，,AE//DC.

NBAE或其补角是异面直线AB与CD所成的角.

由正方体可得：AB=AE=BE,；.ABE是等边三角形，；./BAE=60。.

.∙.异面直线AB与Q9所成的角是60°.

故答案为：60。

16.答案：1

解析：设“X)=e",则f'(x)=e*,设切点为(和必)，则勺=e*1,

x,jrV|

则切线方程为V-y∣=e(x-x1),BPy-e'=e(x-xl),

直线y=K(χ+1)τ过定点(-∣,-i).

所以-l-e"=ew(-l-x,),所以NeW=1，

设g(x)=lnx,贝∣Jg'(x)=L设切点为(入2，%)，则右=

X¾

则切线方程为y-%=’(χ-χ2),即yTn%ɪ-ɪ-u-ɪɔ),

X2*2

直线V=年(x+1)-1过定点(T-1),

所以-I-InX2=L(T-Xz),所以占lnx2=l,

X?

则中皆是函数/(x)=e'和g(x)=InX的图象与曲线y=J交点的横坐标，

X

易知KX)与g(x)的图象关于直线y=X对称，而曲线丫」也关于直线.v=X对称,

X

因此点(4y),(七，%)关于直线.V=X对称，

从而Xz=e*1,Xl=InX2，

所以"2=史=I.

X2

故答案为：1.

三、解答题

17.答案：⑴%=2"+1；⑵详见解析.

(4+31=9

解析：(1)由设数列伍“｝的公差为d,贝:ɔ,,

解得d=2,α∣=3,

所以｛q,｝是首项为3,公差为2的等差数列,

所以％=2〃+1；

(2)由q,=2"+l,可得"=-----=---=»

aftan+i(2〃+1)(2〃+3)22/?+12〃+3

所以τ,=4+a++a=:(〈一£)+(£-；)++q11J

2\_35572n+ι2〃+3_

=1(1__1_)=1__

232〃+364π+6,

又＞°,故・

4n+6

18.答案：⑴；⑵分布列见解析，E(X)=∣(3)3月3日

解析：(1)令时间A为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000«,

从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，

甲乙微信记步数都不低于10000,

故P(A)W

(2)由(1)知：X=O,1,2,

2112

P(X=OC)=I1l1,尸(X=I)=专CCV4，p(x=2)=∣C=72›

X的分布列为：

X012

ɪ42

P

777

（3）根据频率分步直方图知：微信记步数落在[20,25],[15,20）,[10,15）,[5,10）,

[0,5）（单位：千步）区间内的人数依次为200x0.15=30人，200x0.25=50人，

200x0.3=60人，2∞×0.2=40Λ,200x0.1=20人，

由甲微信记步数排名第68,可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，

根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.

由乙微信记步数排名第142,可知当天乙微信记步数在5000到IOOOO万之间，

根据折线图知：只有3月3日和3月6日，

所以3月3日符合要求.

19.答案：⑴/=6χ⑵证明见解析

解析：（1）因为抛物线C过点"（6,-6）,

二（-6）2=2px6,解得p=3,

：.抛物线C的标准方程为,V2=6x.

(2)设A(Jcl,y∣),B(w,y2),直线/的方程为畋=X-f，QK0),

联立:t,化为V-6my-6f=0,

[y=6χ

Δ=36rn2+24,>0,

：•y∣+y2=6∕H,γ1γ2=-6r,

9

：OAYOB9

：.OAOB=xx+yy=6t瞪+1卜0”,7“1

t2l2(必%)+%%=-<—

366

解得f=6,满足A=36,"2+24r>0,

二直线/的方程为瓶y=X-6,

.∙.直线过定点(6,0).

20.答案：⑴存在，理由见解析(2)独ɪ

19

解析：(1)当点。为A8的中点时，OiD平面AAC,证明如下:

取AB的中点。，连接。。，

'：O,O分别为BC,AB的中点，则。。AC,

Of)CZ平面AAC,ACU平面AAC,

ΛOD平面AIAC,

又∙.∙OO∣AA1,

0。(Z平面AAc,A4∣u平面AAC,

.∙.OO1平面4AC,

QQcOO=O,。ι0,。。<^平面。。〃

平面。QD平面AlAC,

由于OQU平面OOQ,故OQ〃平面AAC.

(2)TBC是。的直径，可得/B4C=90。，即ABIAC,

且JBC=2,ZABC=30。，故AB=√J,AC=I,

又∙.∙AΛ∣_L平面A8C,且A8,ACu平面A8C,

,

..AAtrAB,AA1rAC,

即48,AC,两两垂直，且点A,A,B,C都在半径为√∑的球面上,

可知该球为以AB、AC、AA为长、宽、高的长方体的外接球，

则AB2+4C2+AA2=(20『，可得AA=2,

以A为原点，AB,AC,AA所在直线分别为X,y,z轴建立直角坐标系,

则A(0,0,0),B(√3,θ,θ),C(0,l,0),A(O，0,2),

得48=侔,0,-2),A1C=(0,1,-2),

rz、.n∙An=∙√JX-ZZ=

设〃=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量，贝U'

n∙A1C=y-2z=0

令x=2,贝!∣V=2出,z=6，可得/2=倒,2Λ∕5∖Q),

且AC=(0,1,0)为平面∖AB的一个法向量，

设二面角C-Ab-A为巴

UuInrL/—

E∕I∕u^r∖lA。〃2√32√57

贝Ucosθ1—cos(AC,n)=IuuBj-F=-----=------------,

Iξ/I∣AC∣∣n∣1×√1919

所以二面角C-AB-A的余弦值为噜.

21.答案：(D存在，-2≤∕n≤2;(2)①证明见解析；②证明见解析.

解析：由题可知/(x)=αln(x+l)+(x+l)2,r/X)=击+2x+2.

(1)由/'⑴=0,可得:+2+2=0,«=-8.

PWQ，/X2(x+3)(x-l]

又当〃=—8时，f,(x]=~^————

`x+1

故“X)在区间(0,1)单调递减，在(ι,+∞)单调递增.

故函数/(x)在x=l处取得极值，所以“=-8.

・・[尸-ɛ,ɔ,ɔ2(x-l)(x+3)

•lve-l1,f(x)=-----+2x+2=------------------.

x÷lx+1

ΛΓ(x)>0,

当l,e]时，由上述讨论可知，/(x)单调递增，

故/(x)mM=f(e-D=-8+e2

不等式m2+tm+e2-∖4</(x)对任意xe[e-1,e]及fe[-1,1]恒成立,

22222

即：m+tm+e-∖4<f(x)mιnm+tm+e-l4≤-8+e,

即：+""-6≤0对1e[—1,1]恒成立，令g(r)=〃/+“”一6,

ng(T)≤0,g(l)≤0

BPm2-m-6≤0»fi∕∕z2+m-6≤0)

整理得(加一3)(加+2)≤0,且("7+3)("L2)≤O,

解得：-2<m<2,即为所求.

(2)®VF(x)=/(x)-(x+1)2-x=ln(l÷x)-x,.,.F,f(x)=------

1+x

当x>0时，Fr(x)<O,.∖^^在3+⑹上单调递减，

∙∙.F(x)<F(O)=OBPffi.

②由①可得：ln(l+x)<x(x>0)

令：X=T¼,得In(I+Jγ)vʃɪγ,即：-ɪ->ln(ʌ^)

k+1左+1Z+lZ