第十二章第三节正态平稳过程第四节遍历过程

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页第三节正态安稳过程正态过程正态随机变量复习一维正态随机变量,概率密度，;二维正态随机变量,概率密度维正态分布,概率密度，其中,,协方差矩阵,.定义5倘若随机过程,对随意正整数,随意,都顺从正态分布,则称为正态过程,又称高斯(Gauss)过程.即维随机变量的概率密度为其中,,协方差矩阵,.异常,设为正态过程,则 ,.自立正态过程:倘若是正态过程,同时又是自立过程,则称为自立正态过程.正态过程,倘若是可列集,,记,那么,是正态序列.正态安稳过程设是正态过程,于是顺从正态分布,则必存在,即二阶矩存在.定义倘若正态过程又是(广义)安稳过程,则称为正态安稳过程.正态安稳过程的性质:设是正态安稳过程,则有,,从而成立,即又是严安稳过程.于是有定理二.设是正态过程.则为严安稳过程为广义安稳过程.严(狭义,强)安稳过程,倘若二阶矩存在 是宽(广义,弱)安稳过程.例1设正态过程的均值函数,自相关函数,试写出过程的一维、二维概率密度函数.解按照题设条件,知 顺从正态分布,顺从二维正态分布;,,即得;,,,,,于是.例2设是正态安稳过程,且,令,证实是安稳过程.解因为是安稳过程,所以,又是正态过程,且,由上例,知道,,其概率密度,,,,(是常数)存在且有限,仅依赖于,故是安稳过程.第四节遍历过程时光均值和时光相关函数设随机过程,任固定,样本函数,样本函数在区间上的函数平均值定义为,在上的函数平均值定义为 .当变化时,.定义6设是安稳过程，倘若存在，则称之为随机过程在上的时光平均值,通常称为随机过程的时光均值.记为。显然是一个随机变量.在随意处,给随意实数,过程在和的两个状态的乘积在上的平均值,记为.定义7设是安稳过程，倘若存在，则称之为随机过程在上的时光相关函数，记为。显然是一个随机过程.对随机过程,此时,时光均值为,时光相关函数为.求随机相位正弦波的时光均值和时光相关函数.解时光均值，时光相关函数.(记住这个例题的结论,以后要用)安稳过程的数字特征可以由一个样本函数来决定这一性质，称为各态历经性，或称为遍历性。各态遍历性定义8设是一个安稳过程，(即,为常数,。)倘若成立,则称过程的均值具有各态历经性;倘若对随意的实数，成立,则称过程的自相关函数具有各态历经性；均值和自相关函数都具有各态历经性的安稳过程称为各态历经过程,或者说,该安稳过程具有历经性.各态历经性又称为遍历性。遍历过程的例子例设,,其中是实常数,顺从区间上的匀称分布,研究的各态遍历性.解由前面例题的结果,知是安稳过程,且;由上面的例1,知,于是有,故是均值和自相关函数都具有各态遍历性的安稳过程,即是遍历过程.不具各态遍历性的例子：设,是一个随机变量,且.则(1)是安稳过程;(2)的均值不具有各态遍历性.解(1)是常数,是常数,(与无关),由定义,是安稳过程.(2),利用定理,由条件，得,所以的均值不具有各态遍历性.安稳过程具有各态遍历性的判别定理设随机过程,倘若满意:对于随意，存在且有限，则称为二阶矩过程。设为二阶矩过程，（1）对，倘若成立，则称在处均方延续；（2）若在每一处都均方延续，则称是均方延续的。引理设是一均方延续的安稳过程,则它的时光均值的数学期待和方差分离为,.证实因为是一均方延续的安稳过程，所以有存在，，；，且是偶函数；由，得；，而，于是成立定理三(均值各态遍历定理)设是一均方延续的安稳过程，则时光均值具有各态遍历性的充要条件是.证按照方差的性质以及引理以概率1成立的充要条件是,再由引理,即得证.类似地，对均方延续的安稳过程,此时,时光均值为，成立,.定理设是一均方延续的安稳过程，则时光均值具有各态遍历性的充要条件是.引入遍历过程的目的,应用意义近似计算提供根据.例设是以为周期的随机相位周期过程,即满意(是周期函数),其中是在上顺从匀称分布的随机变量.试证:(1)是安稳过程;(2)是遍历过程.证(1)的概率密度,(常数),,存在,所以是安稳过程;(2),(这是因为,对随意,存在正整数,使得,,,,,,,于是,,,从而,所以有,,故是遍历过程.例设安稳过程的自相关函数