第二章-1 连续信号的分析

第二章连续信号的分析■连续信号的时域描述和分析■连续信号的频域分析■连续信号的复频域分析■信号的相关分析本章主要内容大纲连续的确定性信号:可用时域上连续的确定性函数描述的信号，是其它信号分析的基础。连续信号的分析方法通常可分为:时域分析法、频域分析法和复频域分析法。时域分析法：又称为波形分析，它是研究信号的幅值等参数、信号的稳态和交变分量随时间的变化情况的一种信号分析方法。其中最常用的是把一个信号在时域上分解为具有不同延时的简单冲激信号分量的叠加，并通过卷积的方法进行系统的时域分析。频域分析法：将一个复杂信号分解为一系列正交函数的线性组合后，再把信号从时域变换到频域中进行分析。其中最基本的是把信号分解为不同频率的正弦分量的叠加，即采用傅里叶变换(级数)的方法来进行信号分析。这种方法也称为频谱分析或傅里叶分析。复频域分析法：是以复指数函数(其中，复频率为分析变量，式中为复变量的实部，为复变量的虚部)作为基本信号，将任意信号分解为一系列不同复频率的复指数分量的叠加，即采用拉普拉斯变换的方法来进行信号分析，故又称为拉普拉斯变换分析。第一节连续信号的时域描述和分析一、连续信号的时域描述二、连续信号的时域运算三、信号的分解本节主要内容通常一个信号是时间的函数，在时间域内对其进行定量和定性的描述、分析是一种最基本的方法，这种方法比较直观、简便，物理概念强，易于理解。由于连续信号在其定义的任意时刻都应当具有确定的数值，因此信号的时域描述就是指：用一个时间函数或一条曲线表示信号随时间而变化的特性。一、连续信号的时域描述在信号的时域分析中，最重要的方法是将信号分解为冲激信号的叠加，在这一基础上，系统响应就可以应用卷积积分的方法来求解，而卷积的概念与相关函数有密切的联系。下面首先介绍几种包括冲激信号在内的几种基本的连续信号，然后再讨论卷积的概念。一、连续信号的时域描述

在连续信号的分析中，绝大多数的常用信号都可以用一些基本信号及其变化形式来表达，因此，对这些基本信号的分析可以说是信号分析与处理的基础。通常，基本信号可以分为普通信号和奇异信号两类。（一）普通信号的时域描述1.正弦信号波形：振幅：A

周期：

频率：f

角频率：

初相位：

余弦信号与正弦信号只是在相位上相差

,所以通常也归属为正弦信号。x(t)tAT正弦信号的性质:1）两个同频率的正弦信号相加,即使它们的振幅和初相位不同,但相加的结果仍是原频率的正弦信号。

3）正弦信号的微分、积分仍然是同频率的正弦信号。2）如果一个正弦信号的频率是另一个正弦信号频率的整数倍,即(n为整数),则其合成信号是频率为的非正弦周期信号。把称为该信号的基波频率,称为n次谐波频率。所以,可以把一个

周期信号分解为基波信号和一系列谐波信号。数学描述:

式中为复数。2.指数信号AO时，随t的增加而指数增长;时,随t的增加而指数衰减。

若，，则即为复指数信号，称为复指数信号的复频率。σ>0时,发散复信号1)

复指数信号的实部和虚部表示了指数包络的正弦型振荡;2)

它把直流信号、指数信号、正弦型信号以及具有包络线的正弦型信号表示为统一的形式，并使信号的数学运算简练和方便，所以在信号分析理论中更具普遍意义。

研究复指数信号的意义：在信号的数学运算中，经常会用到如下式子：3.抽样信号数学描述：抽样信号在信号处理理论中起着重要作用，它又称为插值函数或滤波函数，它可以用Sa(t)或

sinc(t)来表示,且有或,

其波形如下图。抽样信号的性质:1)是关于t的偶函数;2)

是一个以为周期,且具有的单调衰减幅值的振荡信号;3)除外它具有确定的值,当时,且有4)利用罗比塔法则,在时,和（二）奇异信号的时域描述

奇异信号是用奇异函数表示的一类特殊的连续时间信号,其函数本身或者函数的导数(包括高阶导数)具有不连续点。它们是从实际信号中抽象出来的典型信号,在信号的分析中占有重要的地位。1.单位斜坡信号（2）数学描述：从某一时刻开始随时间正比例增长的信号，其增长变化率为1。（1）定义：Otr(t)11Otr(t-t0)t0+11t0（3）波形图：在t=0处，导数不连续在t-t0=0处，导数不连续斜坡信号的一阶导数在t=0处不连续有延迟的单位斜坡信号2.单位阶跃信号Otu(t)1（3）波形图：

单位阶跃信号没有定义t=0时的取值,因为在t=0处函数出现了跳变。如果必要，则可以取

,即取其左、右极限的平均值。（4）延时单位阶跃信号：Otu(t-t0)t01延时单位阶跃信号“单位阶跃信号”是“单位斜坡信号”的导数;

“单位斜坡信号”是“单位阶跃信号”的积分。（5）“单位阶跃信号”与“单位斜坡信号”的关系：（6）用阶跃信号表示矩形脉冲：（7）单边特性：3.单位冲激信号（4）波形图：强度（5）延时单位冲激信号：单位冲激信号出现在t=t0处由于对除原点外的其它时刻t都有，故在所有的时刻，与任意信号的乘积均为0。因此，若时，存在，则有单位冲激信号的性质:1）取样(筛选)特性：于是这就是的取样特性，或称为筛选特性。（*）类似地，有意义：用于对模拟信号采样。表明：冲激函数在任意时刻都具有取样特性。单位冲激信号的性质:上式可从冲激信号的广义函数定义来证明，即只需证明其中为任意的连续时间信号。证明过程如下:2）展缩特性：左式=右式，因此得证。由展缩特性可得如下推论：推论1：冲激信号是偶函数。取即可得：推论2：卷积积分定义为：如果是一个任意连续时间函数，则有上式表明，任意连续时间信号与单位冲激信号相卷积，其结果为信号的延时。单位冲激信号的性质:3）卷积性质证明：根据卷积的定义有：利用偶函数特性和抽样（筛选）特性，可得：

由冲激信号的定义式有：4）冲激信号与阶跃信号互为积分和微分关系：即“单位阶跃信号”是“单位冲激信号”的积分；反之，“单位冲激信号”是“单位阶跃信号”的导数。单位冲激信号的性质:定义单位冲激信号的导数：3.单位冲激偶是位于t=0处强度分别为和的一对冲激函数，称为单位冲激偶。单位冲激偶的性质:2）单位冲激偶函数也具有取样(筛选)特性1）单位冲激偶是奇函数，即小结：r(t),u(t)和

(t)之间的关系二、连续信号的时域运算（一）基本运算1.尺度变换信号的频率特性与幅度不同，它是信号的基本特征。当时，将原信号以原点为基准沿横坐标轴展缩为原来的。当时，将原信号以原点为基准沿横坐标轴扩展为原来的。但信号的幅度都保持不变。2.翻转3.平移值得注意的是若将翻转信号x(-t)时移，也就是将x(-t)表达式及其定义域中的所有自变量t替换为,从而使x(-t)表达式变为。从信号波形上看，的波形是将x(-t)的波形向左移时间；的波形是将x(-t)的波形向右移时间（二）叠加和相乘（三）微分和积分在奇异信号中，“单位阶跃信号”为“单位斜坡信号”的微分;“单位冲激信号”为“单位阶跃信号”的微分。

卷积法是线性系统中连续信号时域分析的最常用方法，在信号理论中占有重要地位。（四）卷积运算1.卷积的定义在运算过程中，必须引起注意的是：t是参变量，它的取值不同，表示平移后的位置不同，引起被积函数的波形不同以及积分的上、下限不同。因此，在计算卷积积分过程中正确划分t的取值区间和确定积分的上、下限十分重要。偶函数[例]

计算下列各式

解:

2.对于

(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的展缩特性将其化为

(t+b/a)/|a|形式后，方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。1.在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是（-

，+

），但只要积分区间不包括冲激信号

(t-t0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。注意：三、信号的分解1.分解成冲激函数之和因此，任意信号x(t)分解为冲激函数之和，是连续时间系统时域分析的基础。2.正交分解正交函数集完备正交函数集举例三角函数集在区间(t0,t0+T)()内是正交函数集，而且是完备正交函数集。因为复指数函数集()内是完备正交函数集。在区间(t0,t0+T)

因为

信号分解为完备的正交函数集是信号分析理论的基础。如信号分解为复指数函数集或三角函数集就是数学中的傅里叶级数展开式，利用傅里叶级数展开式可以有效地分析信号的频域特性。第二节连续信号的频域分析一、周期信号的频谱分析二、非周期信号的频谱分析三、傅里叶变换的性质本节主要内容一、周期信号的频谱分析

由信号正交分解的思想可知，由于三角函数集是完备的正交函数集，任意信号都可以分解为三角函数表达式，换言之，任意信号都可视为一系列正弦信号的组合，这些正弦信号的频率、相位等特性势必反映了原信号的性质，这样就出现了用频率域的特性来描述时间域信号的方法，即信号的频域分析法。频率特性是信号的客观性质，在很多情况下，它甚至比信号的时域特性更能反映信号的基本特性。为了便于讨论，从周期信号入手，然后再延伸至非周期信号。（一）周期信号的傅里叶级数展开式其中：为周期；周期信号：为频率为角频率；(称为基频)；可将周期信号分解成傅里叶三角级数形式若x(t)满足狄里赫利(Dirichlet)条件DirichletDirichlet条件

Dirichlet条件，即：(1)在一个周期内绝对可积，即满足 (2)在一个周期内只有有限个不连续点；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1）为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。通常周期信号都满足这些条件1

周期信号傅里叶三角级数展开式

式中，系数an(n=0,1,2,……)

、bn(n=0,1,2,……)为傅里叶系数。利用正余弦函数的正交性求傅里叶系数直流分量基波分量n=1谐波分量n>1周期展开式在一个周期内积分，得：—直流分量直流系数展开式两边同乘以，积分，得余弦分量：余弦分量系数展开式两边同乘以，积分，得正弦分量：正弦分量系数傅里叶级数三角函数正交集表示物理意义明确，但运算不方便

a0/2称为信号的直流分量，

Ancos(n

0

t

+

n)称为信号的n次谐波分量。由于an是n的偶函数，bn是n的奇函数。所以An是n的偶函数，是n的奇函数。2周期信号傅里叶级数的指数形式

利用完备正交集由欧拉公式：由于An是n的偶函数，是n的奇函数。傅里叶级数的指数形式复变量称为复傅里叶系数，是(或)的函数（二）周期信号的频谱2.

频谱的概念

周期信号可以分解为不同频率复指数信号之和

复变量是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称为信号的频谱，也称为周期信号的频谱函数。

不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。周期矩形脉冲信号的频谱特点(1)

离散性周期信号的频谱是由间隔为w0的谱线组成的。信号周期

T0越大，w0就越小，则谱线越密。反之，

T0越小，w0越大，谱线则越疏。(2)

谐波性(3)

收敛性

0~2

/

这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即

物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。3.

周期信号的频谱特征（三）周期信号的功率分配（四）周期信号的傅里叶级数近似结论：二、非周期信号的频谱分析思路非周期信号可看成周期趋于无穷大的周期信号令T∞，对周期信号的傅里叶级数进行推广非周期信号频谱必定有别于周期信号的频谱。周期信号频谱非周期信号频谱？（一）从傅里叶级数到傅里叶变换物理意义:X(w)是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。傅里叶变换频谱函数与频谱密度函数的区别（1）周期信号的频谱为离散频谱，

非周期信号的频谱为连续频谱。（2）周期信号的频谱为的分布，表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为

的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。两者关系：傅里叶反变换物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为

，复振幅为[X(

)/2p]d

的虚指数信号ejw

t的线性组合。傅立叶正变换：傅立叶反变换：符号表示：狄里赫利条件是充分条件，但不是必要条件（二）常见非奇异信号的频谱频谱图：脉冲越窄,频带越宽.

与周期矩形脉冲的频谱图(见图2-29)相比可看出，单矩形脉冲的频谱与周期矩形脉冲频谱的包络线形状完全相同，这正是由于将非周期的单矩形脉冲看作为周期是无穷大的周期矩形脉冲，从而其频谱由周期矩形脉冲的离散频谱演变为连续频谱。分析：2.

周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔取样求得3.

信号在时域有限，则在频域将无限延续。4.

信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点