几何动态性问题之动图问题-中考数学复习题练习（教师版）

专题37几何动态性问题之动图问题(解析版)

类型一动直线问题

1.(2022•肥东县校级模拟)如图，在菱形ABC。中，连接AC,A8=5,AC=S,垂直于AC的直线/从点

A出发，按4-C的方向平移，移动过程中，直线/分别交A8(BC),AC,AD(Z)C)于点、E,G,F,

直到点G与点C重合，记直线1的平移距离为％/XAEF的面积为S,则S随X变化的函数图象大致为

()

思路引领：分两种情况，由三角形的面积公式列出S关于X的函数解析式即可,

解：连结交4C于O,

VAC,8。是菱形的对角线，

C.BDLAC,AO=OC=24C=4,

ΛBD=2B0=2-JAB2-AO2=2√52-42=6,

①当EF在5。左侧时，如图所示：

'：EFYAC,

：.EF//BDf

：.∕∖AEF^∕∖ABDf

AGEF

•λ∙-=~~"^,

AOBD

,,AGBD3

..rcM=R-=*

.*.S=^AG*EF=^χ∙-Λ-/2,

.・・当OWXW4时，图象是开口向上的抛物线，且S随X的增大而增大;

②当E尸在BO右侧时，如图所示：

AG=Xf

CG=S-χ,

EF//BD,

△CEFs^CBD,

EF_CG

BD-Cθ'

rrCGBD6（8T）3/Q、

EF=-C0-=~4-=2（87），

S=2^4G*EF=2^∖^×2（8-x）=—,∕=6x,

当4<x≤8时，图象是开口向下的抛物线，且S随X的增大而增大.

故选：A.

总结提升：本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据三角形

的面积公式列出函数解析式.

2.（2022春•南安市期中）如图1,在四边形ABC。中，AD//BC,直线当直线/沿射线BC的方向

从点B开始向右平移时，直线/与四边形A8CD的边分别相交于点E,F.设直线/向右平移的距离为X,

线段E尸的长为y,且y与X的函数关系如图2所示.下列结论：①BC的长为5；②AB的长为2百；③

当4WxW5时，ABEF的面积不变；④4ACD的面积为手，其中正确的结论是—（填写序号）.

图1图2

思路引领：分别研究直线I平移的位置的三种情况，线段I与四边形ABCD的位置，结合函数图象进而

求解.

；当4WxW5时，y的值不变，

.∙.相应的对应图I是：直线EF从过点A开始到经过C点结束，E尸的值不变,

即当BE=4,BE经过点A,当BE=5时，EF经过点C,

.∙.BC=5,

①正确；

从图1,BEI=4,EiFi=2,NBFlEl=90°,

.∖AB=√42-22=2√3,

②正确；

当4WxW5时，如图3,

SNBEF=^BE∙FH,

不变，BE变化，

.♦.△BE尸的面积变化，

故③结论不正确；

由函数图象可知AD=J-3=4,

由上可知FH=缉名=√3,

...△/16的面积为1*4*0=2百，故④不正确;

故答案为：①②.

图3

总结提升：本题考查了动点问题的函数图象，图形的实际运动和其对应的函数图象问题，解决问题的关

键是找出函数图象上关键点对应的实际图形的位置.

3.(2022•思明区校级二模)如图，四边形A8C。是矩形，平移线段48至E凡其中点A的对应点为点E,

点8的对应点为点F,且点E恰好落在边8C上.

(1)若AF=OF,求证：点E为BC中点；

(2)若BC=kAB,√2<λ<2,是否存在NBFC=90°?请说明理由.

思路引领：(1)根据矩形的性质证明AFTZ∖COF-(SAS),可得BF=CF,再根据等腰三角形的性质

即可解决问题；

(2)证明48EFS设BE=X,则CE=BC-BE=姑8-x,然后根据一元二次方程的根的情况即

可解决问题.

解：(1)：四边形ABa)是矩形，

：.AB=CD,/8Ao=/ADC=NABC=90°,

"：AF=DF

：.NBAF=NCDF,

在484F和△(?£)/中，

AB=CD

∆BAF=/.CDF,

AF=DF

.".∕∖BAF^∕∖CDF(SAS),

：.BF=CF,

由平移可知：EF//AB,

二/8EF=NABC=90°,

J.EFLBC,

.∙.点E为BC的中点；

(2)BC=kAB,√2<⅛<2,不存在NBFC=90°,理由如下:

若∕BFC=90°,

则∕F8C+NFC8=90°,

由平移可知：EF//AB,EF=AB,NBEF=NABC=90°,

.".EFLBC,

：.NBEF=NCEF=90°,

ΛZFBC+ABFE=W0,

：.ZBFE=AFCB,

：.XBEFsXFEC,

•BEEF

••—,

EFCE

.∙.EF2=BE∙CE,

"JBC=kAB,

设BE=x,

则CE=BC-BE=kAB-x,

."B2=XCkAB-χ),

整理，得：

X2-fcABx+AB)=。①，

：△=(-kAB~)2-4×1XAB2

=(必-4)AB2,

当√∑<λ<2时，⅛2-4<0,

.∙.△=(⅛2-4)AB2<O,

.♦.一元二次方程①没有实数根，

Λ⅛BC=MB,√2<λ<2,不存在NBFC=90°.

总结提升：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平移的性质，

解决本题的关键是得到aBEFs∕∖FEC.

4.(2021春•东港区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、8的坐标分别为

(12,0),(12,6),直线y=-*v+6(⅛>0)与y轴交于点P,与边OA交于点。，与边BC交于点E.

备用图备用图

(1)若直线y=-∣x+6(QO)平分矩形。48C的面积，求b的值；

(2)在(1)的条件下，过点P的直线，与直线BC和X轴分别交于点N、M.问：是否存在ON平分/

CMW的情况？若存在，求线段Z)M的长，若不存在，请说明理由.

(3)将(D中的直线沿y轴向下平移。个单位得到新直线/,矩形。48C沿平移后的直线折叠，若点。

落在边BC上的F处，CF=9,求出”的值.

思路引领：(1)根据直线y=-∣x+b(⅛>0)平分矩形OABC的面积，则直线必过矩形的中心，求出中

心坐标代入即可；

(2)假设存在ON平分/CNM,过点。作OH上MN于H,利用角平分线的性质得OH=OC=6,从而

NOPN=30°,则OM=OP∙tan30°=4√1,分两种情形，当PM与线段BC,OA交于N,M时，

利用DM=OD-OM即可，当PM与直线BC,OA交于N,M时，则DM=OD+OM∙,

(3)设平移后的直线)=-∣x+m,在Rt尸中，借助勾股定理得方程(〃[-6)2+92=W2,解方程

即可.

解：(1)：直线y=-∣x+b(b>0)平分矩形OABC的面积，

.∙.直线过矩形的中心，

VB(12,6),

二矩形中心为(6,3),

3

••—2x6+b=3,

解得⅛=12:

（2）如图，假设存在ON平分NCMW的情况,

YON平分NCNM,OCLBC,OHlMN,

.".OH=OC=6,

,：OP=⑵

；.NOPN=30°,

.∙.OM=OP∙tan30°=4√3,

当y=0时，-∣x+12=0,解得x=8,

ΛOD=8,

：.DM=0D-OM=8-4√3;

当PM与直线8C,OA交于N,何时，如图,

同理可得，止匕时。M=O∕HOM=8+4√^,

综上：存在ON平分/CMW的情况，1½⅛DM=8-4√3≡lc8+4√3;

(3)设平移后的直线y=-∣x+m与y轴交于点尸，沿此直线折叠，点。的对应点恰好落在BC边上F

在RtZXCP下中，由勾股定理得:

（川-6）2+92=zn2,

解得m=苧，

ΛPP'=12-3^9=J9

总结提升：本题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，角平分线的性质等知识，运

用分类讨论思想是解题的关键，题目综合性较强.

类型二动三角形问题

5.（2022∙黑山县一模）如图，等边AABC的顶点C和回Z）EFG的顶点。重合，且BC和Z）E在同一条直线

上，AB=2,DG=2,DE=3,ZGDE=60°.现将AABC沿OfE的方向以每秒1个单位的速度匀速运

动，当点B与点E重合时停止运动，在这个运动过程中，AABC与四边形DEFG的重合部分的面积S

与运动时间/之间的函数关系的图象大致是（）

思路引领：分三种情况：①0WrW2时，由重叠部分为边长为t的等边三角形可得S=冬2;②2<rW3时，

由重叠部分即为AABC得S=空X22=√3;③3<W5时由重叠部分是S用。-必/血且边长为t

-3可得S=-空P+竽一苧，据此可得答案.

解：①当0≤fW2时，如图1,

图1

由题意知8=f,ZHDC=ZHCD=60°,

；.△CCH是等边三角形，

贝US=

②当2<f≤3时，如图2,

ΛS=^×22=√3:

图3

根据题意可得CE=CD-OE=L3,/C=ZWEC=60°,

...△CEH为等边三角形，

则S=SMBC-SAHEC=ɪ×22-孚（L3）2=—守+亭—咯

综上，0WfW2时函数图象是开口向上的抛物线的一部分，2<fW3时函数图象是平行于X轴的一部分，

当3<fW5时函数图象是开口向下的抛物线的一部分；

故选：D.

总结提升：本题主要考查动点问题的函数图象，根据重叠部分形状的变化情况分类讨论是解题的关键.

6.（2021春•汉阴县月考）如图，在三角形42C中，ZABC=90°,8C=11,把三角形ABC向下平移至三

角形。E尸后，AO=CG=6,则图中阴影部分的面积为.

思路引领：先根据平移的性质得到AO=BE=6,EF=BC=11,SΛABC=SADEF,'Λ'lBG=5,由于S阴影部分

=SBEEC所以利用梯形的面积公式计算即可.

解：：三角形ABC向下平移至三角形QEF,

∙'∙AD=BE=6,EF=BC=11,SAABC=SADEF，

'."BG=BC-CG=W-6=5,

ι

.∙.SmBEFG=ʌ(5+11)X6=48,

∙'S用影部分+SZXΓ>8G=SADBG+S桃彩BEFG，

∙'∙S用彩部分=S梯，匕BEFG=48.

故答案为48.

总结提升：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图

形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两

个点是对应点.连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.

7.(2021•仪征市二模)如图，Rt∆ABC^Rt∆FZ)F,NABC=Nff>E=90°,ZBAC=30o,AC=4,将

RtZ∖FQE沿直线/向右平移，连接B。、BE,则BD+BE的最小值为.

J(Tn+I)2+(2√3)2+Jm2+(√3)2,欲求BD+BE的最小值，相当于在X轴上找一点R(m,0),使得

R到例(-1,2√3),N(0,√3)的距离和的最小值，如图1中，作点N关于X轴的对称点M,连接

MN'交X轴题意R,连接RN,此时RM+RN的值最小，最小值=MN'的长.

解：建立如图坐标系，

在RtZ∖A2C中，NABC=90°,AC=4,ZBAC=30o,

ΛBC=∣AC=2,

AB=√3βC=2√3,

/.斜边AC上的高=全善=√3,

zT

,.∙AABC名AFDE,

：.EF=AC=4,斜边E尸上的高为百，

二可以假设E(m,√3),则O(m+1,2√3),

.∙.BD+BE=J(m+I)2+(2√3)2+Jm2+(√3)2,

欲求3D+8E的最小值，相当于在X轴上找一点R(m,0),使得夫到M(-1,2√3),N(0,√3)的距

离和的最小值，如图1中，

∖N

\:

*;

----------------------H-----------------------------►v

RQλ

,N

图1

作点N关于X轴的对称点N',连接MN'交X轴题意R,连接KM此时RM+RN的值最小，最小值=

MN'=Jl2+(3√3)2=2√7,

：.BD+BE的最小值为2√7,

故答案为：2夕.

总结提升：本题考查轴对称最短问题，平面直角坐标系，勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的

思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

8.(2022春•古县期末)如图，Z∖A8C中，AC=2,BC=3,NAC3=90°,把AABC沿CB所在的直线平

移使点C与点B重合得到EBD,连接CE,则ACED的面积是.

思路引领：根据平移的性质推知CD=2BC=6,AC=EB=2,利用三角形的面积公式求解即可.

1

解：由平移性质知：NACB=NEBD=94°,CD=2BC=6,AC=EB=2f则的面积为：/AEB=

1

2×6×2=6.

故答案是：6.

总结提升；本题主要考查了平移的性质，平移时，新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后

得到的，这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.

9.(2022春•和平区期末)如图，点A为X轴负半轴上一点，过点4作X轴，与直线y=x交于点8,

将aABO沿直线y=x平移3位个单位长度得到4AE<7,若点4的坐标为(-2,0),则点9的坐标

思路引领:求得8的坐标,根据题意,将AABO向右平移3个单位，向上平移3个单位得到AA'B'0',

从而得到8'的坐标为(-2+3,-2+3),即8'(1,I).

解：；点A的坐标为(-2,0),ABLX轴，与直线y=x交于点B,

：.B(-2,-2),

将AABO沿直线y=x向上平移3鱼个单位长度得到△△‘B'0',实质上是将4480向右平移3个单

位，向上平移3个单位，

：.B'的坐标为(-2+3,-2+3),即8'(1,1),

故答案为：(1,1).

总结提升：本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，点的平移问题，能根据题意得出平移的实质是

本题的关键.

10.(2022春•鹿城区校级期中)如图，直角三角形ABC的边长AB=6a*AC=4cιn,将三角形ABC平移

得到三角形4B1C”边AiBi分别交AC,BC于点、E,F,当点E为AC中点时，此时4E=尸&=1.5cm,

思路引领：根据平移的性质可得S阴影=S梯形A8FE，结合三角形的中位线可求解E凡AE的长，再利用图

形的面积公式计算可求解.

解：由平移可知：ZVLBC丝z∖43ιCι,EF∕∕AB,

.♦SAABC=SA4]BIC],

∙'∙5Siaj-S梯影A8FE，

:点E是AC的中点，AB=6cm,AC=4cm,

1

.∙.EF是/MBC的中位线，AE=C=2即，

EF-^AB-3>cm,

11，

：•S阴彩=S梯柩ABFE=2∙(EF+AB)∙ΛE=2×(3+6)×2=9(cwr).

故答案为：9.

总结提升：本题主要考查平移的性质，梯形，三角形的中位线，由平移的性质得S明影=S榜HMBFE是解题

的关键.

11.(2018秋•太原期末)如图，菱形纸片ABC0中，AB=5,BD=6,将纸片沿对角线BO剪开，再将AABO

沿射线8。的方向平移得到44B'D',当CD1是直角三角形时，AABO平移的距离为.

思路引领：分两种情形分别求解即可解决问题.

∙.∙四边形A8C。是菱形，

.∖AB=AD=BC^CD=5,OB=OD=3,

'：BC//AD/∕A'D1,

：.ZBCD1=ZBOC=W,

“CBO=NCBD',

ΛΔCBO^∆D,BC,

.∖BC2=BO∙BD',

：.BD'=学，

7

：.DDf=BDf-BD=ʌ,

②当NeVD"=90°时，易知8。'=IBD'=苧，

•八八”5。,32

..DD=-ɜ—O=~,

732

/.∆ABD平移的距离为一或一.

33

732

故答案为：一或一.

33

总结提升：本题考查菱形的性质，平移变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属

于中考常考题型.

12.(2019∙宁夏)将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、8C分别与

X轴和)，轴重合，其中N4BC=30°.将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点。时运动停止.设

平移的距离为〃?，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s,s关于根的函数图象(如图2所示)

与m轴相交于点P(8，0),与S轴相交于点Q.

(1)试确定三角板ABC的面积；

(2)求平移前AB边所在直线的解析式；

(3)求S关于〃?的函数关系式，并写出Q点的坐标.

思路引领：(1)与，〃轴相交于点尸(√3,0),可知OB=H,OA=I;

(2)设AB的解析式y=履+从将点B(O,√3),A(1,0)代入即可；

(3)在移动过程中OB=遍-nι,则OA=tan30°×OB=ɪ×(√3-m)=l-ɪm,所以S=寺X(百一〃?)

×(1—ɪzw)=惠τ∏2-w7+苧，(Q≤w≤√3);当,"=O时，S=字，即可求Q(O,ɪ).

解：(1)•・・与比轴相交于点P(√5,0),

OB=V3,

VZABC=30o,

JOA=I,

1L/?

S=2×ɪ×V3=ɪ;

(2)YB(O,√3),A(I,0),

设AB的解析式y=kx+b,

•∖b—ʌ/ɜ

Ik+b=0,

.(k=-V3

L=vɜ

，尸—∕3x+V3;

(3)在移动过程中OB=百一〃?，则。A=tan30°XoB=亨X(√3-w)=1一号，”,

s=×(√3—m)×(1—ɪrn)=卷m2-”?+竽,(0≤m≤V3)

当»1=0时，S=竽，

总结提升：本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到B(O,√3)是解题的关键.

13.(2019秋•南岗区校级月考)如图，三角形ABC的三个顶点坐标分别是：A(0,6)、B(0,0)、C(12,

0),直线AC上的点的横坐标X、纵坐标y满足x+2y=12.

(1)如图1,三角形A8C经平移变换后得到三角形AIBIe1，三角形ABC内任意一点M(x,y),在三

角形481。内的对应点是Ar(x+2,>∙+l).请直接写出此时点4、Bi、Cl的坐标；

(2)如图2,在(1)的条件下，若三角形AIBlcl的两条直角边AiBi、BlCl分别与AC交于点ΛΛN,

求此时图中阴影部分的面积；

(3)在(2)的条件下，延长AlCI交X轴于点£>(16,0),在X轴上有一动点P,从点。出发，沿着X

轴负方向以每秒两个单位长度运动，连接PM,PN,若点P的运动时间是f,是否存在某一时刻，使三角

形PMN的面积等于阴影部分的面积的3若存在，求出f值和此时。P的长；若不存在，说明理由.

4

思路引领：(I)根据平移的性质即可求解；

(2)阴影部分的面积=Z∖A∣B∣Cj的面积-AMNBi的面积=Z∖4BC的面积-AMNBi的面积,即可求解;

(3)利用SZ√>Λ∕N=SZ√ΛW>+Sz∖HNM=JX20,即可求解.

解：(1)点M(x,y)平移后对应点是M'(Λ+2,y+l),

则三角形A8C向右平移J'2个单位向上平移J'1个单位，

故点A、B、C均向右平移了2个单位向上平移了1个单位，

故4、Bi、CI的坐标分别为(2,7)、(2,1)、(14,I)；

(2)；点M和点Bl的横坐标相同，将x=2代入x+2y=12,

解得：y=5,故点M(2,5),

同理可得点N(Io,1),

则MBl=5-1=4,NBl=IO-2=8,

1

图中阴影部分的面积=△4的。的面积-Z∖MNB1的面积=Z∖A5C的面积-Z∖MN3∣的面积=*x6X

1

12-i×4×8=20;

（3）存在，理山:

设直线MP交直线BiCi于点H,

而点M（2,5）,

_Λ=_5_

设直线PM的表达式为尸立也<Ξ⅛‰+h.解得二疏O

-214

故PM的表达式为y=2上14G^16+2/）,

当y=l时，则尸舟（X-16+2，）=1,

AJ□4Θ66—8£HΠ⅛U/66—81

解i^∙:X=F,即点RH（~，I）,

ɔ5

66-8t16-8t

则HN=∖-^~7O∣=∣-^一|,

1116—8t1Q41

SAPMN=SAHNP+S>HNM=对N（ʃʌ/^JP）=2×∣-ʒ-1×5=ξ×20,解得：Γ=-ɛ（舍去）或三,

故U箸，此时尸。=2/=系

总结提升：本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图形的平移、面积的计算等，有

一定的综合性，难度适中.

类型三动矩形问题

14∙（2019∙青岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，08=1,点A在函数

y=（x<0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A∖B∖O∖C∖的位置，此时点Al在函数.y=号（x

>0）的图象上，CloI与此图象交于点P,则点P的纵坐标是（）

思路引领：先求出4点坐标，再根据图形平移的性质得出4点的坐标，故可得出反比例函数的解析式,

把Oi点的横坐标代入即可得出结论.

解：：08=1,AB_L08,点A在函数y=(x<0)的图象上，

,当X=-1时，y=2,

...A(-1,2).

；此矩形向右平移3个单位长度到A∖B∖O∖C∖的位置，

：.B\(2,0),

ΛAl(2,2).

:点4在函数y=5(x>0)的图象上，

；"=4,

反比例函数的解析式为)=3Oi(3,0),

♦CiOiLt轴,

4

，当x=3时，)=不，

4

：.P(3,-).

3

故选：C.

总结提升：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上点的坐标一定适合此

函数的解析式是解答此题的关键.

15.(2022秋•颍州区校级月考)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=((QO)的图象和矩形ABCo

在第一象限，AO平行于X轴，且A8=2,AO=4,点A的坐标为(2,6).将矩形向下平移，若矩形的

两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离“的值为()

思路引领：平移后只能A、C同时落在反比例函数图象上，平移后A(2,6-α)C(6,4-a),列得“

=2(6-a)=6(4-a),计算可得.

解：平移后只能A、C同时落在反比例函数图象上，

平移后A(2,6-a),C(6,4-a),

'.a=2(6-67)=6(4-a),

".a-^i,

故选：B.

总结提升：此题考查了反比例函数图象上点的坐标符合解析式的特点，正确理解点平移的规律列得方程

是解题的关键.

16.(2022•惠阳区二模)在aEfG中，∕G=90°,EG=FG=2√2,正方形ABCC的边长为1,将正方形

ABC。和如图放置，AO与EF在一条直线上，点A与点E重合.现将正方形ABCO沿EF方向以

每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止.在这个运动过程中，正方形ABC。和aEFG

重叠部分的面积S与运动时间，的函数图象大致是()

思路引领：分0忘/或1、1<^・2、2<r≤3.3VfW4分别求出函数表达式即可求解.

解：EG=FG=2√2,则EF=4,

①当OWfWl时，如图1,设AB交EG于点”，

图1

S=^×AE×AH=^t2,函数为开口向上的抛物线，当时，j=ɪ;

②当1<K2时，如图2,设直线EG交BC于点G',交CD于点H,

则EO=AE-AD=LI=HD,贝∣JC"=CD-H£>=2-f=CG',

2

S=S^iABCD-SΛCGH=1-∣×CW×CG=1-j(2-r),函数为开口向下的抛物线，当f=2时，y=∖i

③当2<fW3时，

S=S区方形ABCD=1，

④当3V.W4时，

同理可得：S=l-∣(/-3)2,为开口向下的抛物线;

故选：C.

图2

总结提升：本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

17.(2021春•河东区校级期末)已知，大正方形的边长为4厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如

图.大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为f秒，两个

正方形重叠部分的面积为S平方厘米.完成下列问题：

(1)平移1.5秒时，S为平方厘米；

(2)当2WfW4时，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为平方厘米；

(3)当5=2时，小正方形平移的距离为厘米.

思路引领：(1)1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，即可计算出重叠部分面积;

(2)画出图形，计算所得图形面积即可；

(3)小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离.

解：(1)1.5秒时，小正方形向右移动1.5厘米，S=2X1.5=3平方厘米；

(2)如图所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为红色平行四边形，

面积为2X2=4平方厘米；

(3)S等于2时，重叠部分宽为2+2=1,

①如图，小正方形平移距离为1厘米；

②如图，小正方形平移距离为4+1=5厘米.

故答案为3；4；1或5.

总结提升：此题考查了平移的性质，要明确：平移前后图形的形状和面积不变.画出图形即可直观解答.

18.(2021秋•高州市期末)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,

/480=30°,矩形CoDE的顶点Q,E,C分别在04,AB,OB上，OD=2.

(1)如图，求点E的坐标；

(2)将矩形CoZ)E沿X轴向右平移，得到矩形CoT)E,点。，O,C,E的对应点分别为C,OlD',

E.设O(7=r,矩形CO'D,E与AABO重叠部分的面积为S.如图，当矩形COTJE与AABO重叠部分为

五边形时，CE.OE分别与AB相交于点M,F,试用含有，的式子表示s,并直接写出，的范围.

思路引领：(1)由已知得出Ao=OA-。。=4,再由含30°角的直角三角形的性质得AE=2AO=8,由

勾股定理得出ED=4内即可得出答案；

(2)由平移的性质得：0'D1=2,E1D1≈4√3,ME1=00'=t,D1E1//0'C1//OB,则NE'

尸用=乙48。=30°,再由含30°角的直角三角形的性质得MF=2ME'=2/,FE1=√3∕,求出SAMFE∙

=∣√3f2,S≡cO'D-E'=8√3,即可得出答案.

解：(1)由点A(6,0)得OA=6,

又OO=2,

.'.AD=OA-OD=4,

在矩形COCE中，由。E〃C。，得NAEC=NABo=30°,

在Rtzλ4E。中，AE=2AD=8,

由勾股定理得：ED=>JAE2-AD2=4√3,

又CO=4√3,

点E的坐标为(2,4√3);

(2)由平移可知，0'0'=OD=2,ED'=ED=46,ME=OO'=t.

由£7J〃80,得∕EFΛ∕=NA8O=30°,

在RtZ∖MFF中，MF=IME=Zt.

：.由勾股定理得FE'=√MF2-ME'2=√3t,

2矩形曰=1

:&MFE，=^ME'-FE'=^tV3t=^t,SCoa0'D'-ED'=8√3,

Zo

∙'∙s=—^2-+8√3(OVrV2).

总结提升：本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、含30°角的直角三角形

的性质、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和直角三角形的性质是解题的关键.

16

19.（2020•吉林一模）如图，一条顶点坐标为（-1，W）的抛物线与y轴交于点C（0,5）,与X轴交于点

A和点3,有一宽度为1,长度足够的矩形（阴影部分）沿X轴方向平移，与）'轴平行的一组对边交抛物

线于点P和Q,交直线AC于点M和N,交X轴于点E和产

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点M和N都有在线段AC上时，连接例凡如果MF=当4F,求点。的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，当以点P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标.

思路引领：（1）设抛物线为y=α（x+l）2+学，把点（0,5）代入即可解决问题.

(2)作尸O,4C于。，设AF=∕n,则MF=孚τn,ME=AE=m+l,列出方程求出机的值即可解决

问题.

(3)设F(30)，E(/+1,0),N(r,f+5),Λ∕(f+1,f+6),Q(t,—ɜ—ɜt+5)>P(t+1,一可产—ɜt+4).(1)

当MN是对角线时，由QN=PM,列出方程即可解决问题.②点。，P在直线AC异侧时，QN=MP,

解方程即可.

解：⑴根据题意，抛物线顶点为(一1,竽)，

设抛物线为y=α(x+I)2+学.

抛物线过点C(0.5),

._1

,'a--3,

抛物线解析式为y=-∖(x+1)2+竽=-∣x2-∣x+5.

(2)易得：A(-5,0),β(3,0).如图，作尸D_LAC于O,

,.,OA=5,OC=5,

.∙.∕CAO=45°.

设4f=机，则MF=零m,ME=4E=m+l.

在AME尸中，FM1=ME1+EF2,

Λ(ɪ-m)2=(m+I)2+I2,

解得z∏ι=2,zn2=-j(不符合题意，舍去).

.∙.AF=2,

，点。的横坐标为-3.

又点。在抛物线y=-∣(x+l)2+⅛±,

：.Q(-3,4),

(3)设直线AC的解析式y=⅛x+∕ι,

由题意，得『=。解存..产=%..直线AC的解析式J=X+5.

由已知，点Q,N,尸及点P,M,E横坐标分别相同.

设F(t,O),E(∕+l,O)>N(t,/+5),Λ7(Z+1»/+6)>Q(t>一ɜ—ɜt+5),P(t+1,一ɜ—ɜt+4).

在矩形平移过程中，以P,。，N,M为顶点的平行四边形有两种情况：

①点。，P在直线AC同侧时∙，QN=PM.

(一ɜ-ɜt+5)—(t+5)—■(—w严—Wt+4)—(t+6),

解得：t=-3.：.M(-2,3).

②点Q,P在直线AC异侧时，QN=MP.

1ɔIC4

∙*∙(-w严—wt+5)—(t+5)=(t+6)—(―ɜt2-2t÷4),

解得t1=-3+√6,C2=-3-JβΓ.'.M(-2+V6,3+√6),⅛f(-2-√6,3-√6).

符合条件的点M是(-2,3),(-2+√6,3+√6),或(一2-布，3-√6).

总结提升：本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会

待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题.

20.(2022秋•和平区校级月考)如图1,在坐标系中的AABC,点A、B在X轴，点C在y轴，且NACB=

90o,NB=30°,AC=4,。是AB的中点.

(1)求直线BC的表达式.

(2)如图2,若E、尸分别是边AC,CD的中点，矩形EFG”的顶点都在AACO的边上.

①请直接写出下列线段的长度：EF=,FG=.

②将矩形EFGH沿射线AB向右平移，设矩形移动的距离为〃?，矩形EFG”与ACBO重叠部分的面积为

S,当S=空时，请直接写出平移距离小的值.

(3)如图3,在(2)的条件下，在矩形EFG”平移过程中，当点尸在边BC上时停止平移，再将矩形

EFGH绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在直线CD上时，此时矩形记作E∖F∖GH∖,由Hl向X轴作

思路引领：(1)根据含30°直角三角形的三边关系和待定系数法可得出直线BC的解析式；

(2)①根据已知，由直角三角形的性质可知AB=8,从而求得AO,CD,利用中位线的性质可得ER

DF,利用三角函数可得GF；

②首先利用分类讨论的思想，分析当0<wιWl,当l<∕nW2,当2<,"W3,当3<mW4,当4<,wW5,

当5<mW7,当列出方程解得机；

(3)根据题意，需要分两种情况:①当点Hi在线段CD上时,作H∖QLAB于。,设QQ=L则MQ=√3∕,

又3G=1,H↑G=2,利用勾股定理可得f,在RtAQHIG中，利用三角函数解得等g.②当点在CO

的延长线时，方法同上.

解：(1)在AABC中，

VZACB=90o,N8=30°,AC=4,

."8=8,

FC=4,NAOC=90°,

.∙.OA=2,OC=2√3,

.∙.O8=6,

：.C(O,2√3),B(6,0),

二直线BC的解析式为：y=-^x+2√3.

(2)；/)是AB的中点，

.∖AD=4,CO=为8=4,

又,：EF是AACO的中位线，

：.EF=DF=I,

在AACZ)中，AD=CD,NA=60°,

：.ZADC=60°,

在△"；£>中，GF=DF∙sin60o=√3,

故答案为：2：V3：

②当O<%W1时，如图1,

：.FN=m,ZFNM=ZADC=GOQ.

ΛFΛ∕=√3x,

S=^m*y∕3m=苧“P，

ʌɔ/ɜ、√f3

令∙y,犷=V

解得〃?=¥(负值舍去)；

当l<wW2时，如图2,

-l+w)×V3=ɪ(2m-1)；

(2m-1)=4，

24

解得"?二',舍去；

当2VmW3时，如图3,

S=字(2ιn-1)—ɪ×ɪ？-2)2=乎,

解得"?=5±^(不合题意，舍)；

当3<mW4时•，如图4,

S=2√3-∣×ɔy(w-2)2=亨，

解得，*=2±乎(不合题意，舍)；

当4<mW5时，如图5,

S=卓(7-m)2一造(5-m)2=ɪ,

oo4

解得初=等（不合题意，舍）:

图6

S=4（7-m）2=亨，

64

解得加=7—乎或加=7+坐（舍）；

综上，符合题意的/M的值为/或7-苧.

图7

设OQ=3则HιQ=√5r,

VDG=I,H∖G=2,

J.GQ=t+∖,

222

在Rt4H∣QG中，根据勾股定理得，HiQ+GQ=HiG,

.".3t2+(r+l)2=4,

解之得U辱ɪ（负的舍去）,

SI+宇=卒Hg3虎声

√39-√3

""H1G~28

②当点”1在CO的延长线上时，如图8,

设GQ=Hf

.∖DQ=n+∖f

，HiQ=ʌ/ɜ(〃+1)，

在RIZ∖∕∕∣QG中，根据勾股定理得，H∖Q2+GQ1=H∖G2,

：.[√331)]2+n2=4,

解之得〃=缚且(负的舍去)，

4,

ΛβG=√3(n+l)=国产,

√39+√3,—_

.HIQ—4-√39÷√3

・~~2---8•

-g”√39-√3.√39+√3

故答案为：或.

88

总结提升：本题是一次函数背景下四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，矩形的性质，中位线

的性质和三角函数定义等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键.

21.(2021•成都自主招生)如图.已知直线小)=∣Λ∙+∣⅛直线'y=-2x+16相交于点C,∕∣,/2分别交

X轴于A,8两点，矩形。EFG的顶点力，E分别在直线∕ι,Z2±,顶点尸，G都在X轴上，且点G与点