（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 立体几何初步 第52课 空间几何体的表面积与体积 文-人教版高三全册数学试题

第52课空间几何体的表面积与体积(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2P55习题2改编)已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，那么这个正四棱柱的侧面积是.【答案】72cm2【解析】易求侧面矩形的高为6cm，所以侧面积为4×3×6=72(cm2).2.(必修2P63习题2改编)若一个正六棱锥的底面边长为6cm，高为15cm，则它的体积为.【答案】270cm3【解析】体积为V=Sh=×6××6×6××15=270(cm3).3.(必修2P69复习题5改编)若长方体相邻的三个面的面积分别是，则长方体的体积为.【答案】【解析】可求三棱长为1，，则体积为1××=.4.(必修2P71复习题20改编)设P，A，B，C是球O表面上的四点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=，PC=3，则球O的表面积是.【答案】16π【解析】可把PA，PB，PC看成长方体从同一个定点出发的三条棱，则球O的半径的大小为=2，所以球O的表面积为16π.1.一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫作该多面体的平面展开图.2.侧棱与底面垂直的棱柱叫作直棱柱，把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积.底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.3.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，这样的棱锥为正棱锥.棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积.4.正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台.5.多面体的面积与体积公式(1)底面周长为c，高为h的直棱柱的侧面积公式是S直棱柱侧=ch；(2)长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的体积为V长方体=abc；(3)柱体的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体=Sh；(4)底面周长为c，斜高为h'的正棱锥的侧面积为S正棱锥侧=ch'；(5)锥体的体积为V锥体=Sh，其中S为锥体底面积，高为h.(6)上、下底面周长分别为c，c'，斜高为h'的正棱台的侧面积公式是S正棱台侧=(c+c')h'；(7)台体的体积为V台体=h(S++S')，其中台体的上、下底面面积分为S'，S，台体的高为h.(8)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式：S圆柱侧=cl=2πrl、S圆锥侧=cl=πrl、S圆台侧=(c+c')l=π(r+r')l.(9)球体的体积公式为V球=πR3，球体的表面积公式为S球=4πR2，其中R为球的半径.【要点导学】要点导学各个击破与简单多面体表面积有关的问题例1如图(1)，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4cm的正三角形，侧棱长为3cm，侧棱AA1与底面相邻的两边都成60°角.(例1(1))(1)求证：四边形CC1B1B是矩形；(2)求这个棱柱的侧面积.【思维引导】该棱柱为斜三棱柱，并且知道侧棱长为3cm，欲求侧面积，可先求各侧面的面积，再相加即可.【解答】(例1(2))(1)如图(2)，因为AA1与A1B1，A1C1所成的角都为60°，所以点A在平面A1B1C1上的射影O在∠C1A1B1的平分线上.又因为△A1B1C1是正三角形，A1O⊥B1C1，所以AA1⊥B1C1.又因为AA1∥BB1，所以BB1⊥B1C1，所以四边形CC1B1B是矩形.(2)=AB×AA1×sin120°=4×3×=6(cm2)，所以=6(cm2).又=BC×CC1=4×3=12(cm2)，所以S侧=++=12+12(cm2).【精要点评】对于斜三棱柱，分别求三个侧面的面积，然后求和是常用的求侧面积的方法.变式1如图(1)，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，且顶点A1到底面各顶点的距离都相等，侧棱AA1和底边AB的夹角为45°，求此三棱柱的侧面积.(变式1(1))【解答】如图(2)，过A1作A1O⊥平面ABC，过O作OD⊥AB，连接A1D.由题意得A1A=A1B=A1C，∠A1AB=45°，(变式1(2))因为底面△ABC是正三角形，所以点O为△ABC的中心.在Rt△A1AO中，AO=a·=a.在Rt△AOD中，cos30°=，所以AD=AO·=a·=a.在Rt△A1AD中，AA1=AD=a，A1D=a.所以S侧面积=a·a·2+a·a=a2+a2=a2.变式2(2015·南通期末)底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为.【答案】4【解析】正四棱锥的底面边长为2，高为1，则侧面的高为，所以该正四棱锥的侧面积为4××2×=4.与简单多面体体积有关的问题例2(2014·重庆卷)在如图(1)所示的四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=.(例2(1))(1)求证：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱锥P-ABMO的体积.【思维引导】要证BC⊥平面POM，可证BC⊥OM，BC⊥PO.要求体积，关键是找到多面体的高与底面面积.题中PO为高；根据条件有S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB，然后再求两个三角形的面积.【解答】(1)如图(2)，连接OB，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，则AO⊥OB.(例2(2))因为∠BAD=，所以∠OAB=，OB=AB×sin∠OAB=2sin=1.又因为BM=，且∠OBM=，在△OBM中，OM2=OB2+BM2-2OB×BM×cos∠OBM=12+-2×1××cos=，所以OB2=OM2+BM2，故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.又PO∩OM=O，所以BC⊥平面POM.(2)连接AM，由(1)可得OA=AB×cos∠OAB=2×cos=.设PO=a，由PO⊥底面ABCD，知△POA为直角三角形，故PA2=PO2+OA2=a2+3.又△POM也是直角三角形，故PM2=PO2+OM2=a2+.在△ABM中，AM2=AB2+BM2-2AB×BM×cos∠ABM=22+-2×2××cos=.由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2+PM2=AM2，即a2+3+a2+=，解得a=或-(舍去)，即PO=.此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=×AO×OB+×BM×OM=××1+××=.所以=×S四边形ABMO×PO=××=.【精要点评】(1)正确运用公式是求得多面体体积的前提；(2)正确求得某些关键量(比如高或底面面积)是求得多面体体积的关键；(3)对于不易直接求解体积的复杂问题，要时刻关注转化.变式1(2014·辽宁卷)如图(1)，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.(变式1(1))(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D-BCG的体积.【解答】(1)由已知得△ABC≌△DBC.所以AC=DC.又G为AD的中点，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD.因为CG∩BG=G，所以AD⊥平面BGC.因为E，F为AC，CD的中点，所以EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)如图(2)，在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB延长线于O，由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.(变式1(2))又G为AD的中点，因此点G到平面BCD的距离h是AO长度的一半，在△AOB中，AO=AB·sin60°=，所以=VG-BCD=·S△DBC·h=··BD·BC·sin120°·=.变式2(2015·宿迁一模)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，求三棱锥M-AB1C的体积.(变式2)【解答】=---=×2×2×2-×2=.简单旋转体的面积与体积例3已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积.(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大?并求出最大值.(例3)【解答】(1)如图，△SAB为圆锥的一个轴截面，设圆柱底面圆半径为r，则=，所以r=，所以S圆柱侧=2πrx=2π·=·.(2)由(1)知，当x=时，圆柱的侧面积最大，Smax=πRh.变式1(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为.【答案】【解析】由体积相等得×4×π×52+π×22×8=×r2×π×4+π×r2×8，解得r=.变式2(2015·全国卷改编)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为.【答案】144π(变式2)【解析】如图所示，当点C位于垂直于平面AOB的直径的端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时==×R2×R=R3=36，故R=6，则球O的表面积为S=4πR2=144π.1.(2015·盐城三模)已知正四棱锥P-ABCD的体积为，底面边长为2，则侧棱PA的长为.【答案】【解析】由题意得V=·22·h=，解得h=1，所以侧棱长为=.2.(2015·苏州调查)若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1，S2，则S1∶S2=.【答案】3∶2【解析】设球的直径为2R，则S1∶S2=(2πR2+2πR·2R)∶4πR2=3∶2.3.(2016·苏北四市期中)底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为.【答案】【解析】由题意知底面面积S=2×2=4，正四棱锥的高为h==1，所以正四棱锥的体积V=×4×1=.4.(2015·苏锡常镇、宿迁一调)如图(1)，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=3，PA=4，E为棱CD上一点，求三棱锥E-PAB的体积.(第4题(1))【解答】如图(2)，在矩形ABCD中，过点E作EH∥AD.因为四边形ABCD为矩形，所以EH⊥AB.(第4题(2))又因为PA⊥底面ABCD，EH底面ABCD，所以PA⊥EH.又AB∩PA=A，AB，PA平面PAB，所以EH⊥平面PAB.即三棱锥E-PAB的高为EH，故三棱锥E-PAB的体积为V=×EH××AB×PA=×3××2×4=4.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第103~104页.【检测与评估】第52课空间几何体的表面积与体积一、填空题1.若两个球的表面积之比为1∶4，则这两个球的体积之比为.

2.(2014·苏州调研)若圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为.3.(2015·南通、扬州、淮安、连云港二调)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AD=2cm，AA1=1cm，则三棱锥B1-ABD1的体积为cm3.(第3题)4.(2015·泰州二模)若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为.5.(2014·苏北四市摸底)若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则它的体积为.6.(2015·苏州期末)已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积为.7.(2015·山东卷)在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为.8.(2014·南京、盐城一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=2，E为AB的中点，则四面体PBCE的体积为.(第8题)二、解答题9.如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积.(第9题)10.(2014·福建卷)如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB=BD=CD=1，M为AD的中点，求三棱锥A-MBC的体积.(第10题)11.(2014·徐州质检)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点.(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E-BCD的体积.(第11题)三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·广东卷)如图，△PDC所在的平面与矩形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3.(第12题)(1)求证：BC∥平面PDA；(2)求证：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离.【检测与评估答案】第52课空间几何体的表面积与体积1.1∶8【解析】由S1∶S2=1∶4，得r1∶r2=1∶2，则V1∶V2=1∶8.2.π【解析】先求得圆锥的母线长为，再结合侧面积公式求得侧面积为π.3.1【解析】三棱锥B1-ABD1的体积==·A1D1=××3×1×2=1.4.3【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h，则解得h=3，r=2，所以该圆柱的高为3.5.【解析】设该正三棱锥的高为h，则h===2，所以该正三棱锥的体积V=××22×2=.6.π【解析】设该圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l=2，则由2πr=×2πl，得r=1，从而h=，所以该圆锥的体积为V=πr2h=π.7.【解析】V=π×12×2-π×12×1=.8.【解析】高PA=2，底面积S△EBC=，所以体积为.9.如图，由题设可知正三棱锥O-ABC的底面△ABC是边长为2的正三角形，经计算得△ABC的面积为，所以该三棱锥的体积为××1=.设O'是正三角形ABC的重心.由正三棱锥的性质可知OO'⊥平面ABC.延长AO'交BC于点D，得AD=，O'D=.又因为OO'=1，所以正三棱锥的斜高OD=，故侧面积为×2××3=2，所以该三棱锥的表面积为+2=3.因此，所求三棱锥的体积为，表面积为3.(第9题)10.(1)因为AB⊥平面BCD，CD平面BCD，所以AB⊥CD.又因为CD⊥BD，AB∩BD=B，AB平面ABD，BD平面ABD，所以CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.因为AB=BD=1，所以S△ABD=.因为M是AD的中点，所以S△A