第03讲 导数题型全归纳（十一大题型）（原卷版）

专题03导数题型全归纳【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点1、恒成立问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．知识点2、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．知识点3、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．知识点4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．知识点5、利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形【典型例题】题型一：构造函数解不等式问题【例1】（2024·江苏南京·高二期末）设是定义在上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式1-1】（2024·宁夏银川·高二校考期末）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2024·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集为（

）A．或或 B．或或C．或或 D．或或【变式1-3】（2024·四川成都·高二校考阶段练习）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．题型二：单调性问题【例2】（2024·江苏·高二期末）已知函数.(1)若，求实数的值;(2)求函数的单调区间.【变式2-1】（2024·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）设函数，曲线在点处的切线方程为.(1)求a，b的值；(2)若，设函数，求的单调区间．【变式2-2】（2024·江苏连云港·高二校考期末）已知，它们的图象在处有相同的切线．(1)求与的解析式；(2)若在区间上存在单调递增，求的取值范围．【变式2-3】（2024·四川自贡·高二统考期末）已知函数．(1)若的单调递减区间为，求实数的值；(2)若函数在单调递减，求实数的取值范围．题型三：极值问题【例3】（2024·河南焦作·高二焦作市第一中学校考期末）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若在上存在极值，求的取值范围.【变式3-1】（2024·陕西西安·高二校考期末）若函数在处有极值，则实数（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式3-2】（2024·安徽滁州·高二统考期末）已知存在唯一极小值点，则的范围是（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2024·江西宜春·高二校考期末）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-4】（2024·广西钦州·高二统考期末）已知函数在处取得极值5，则（

）A． B． C．3 D．7题型四：最值问题【例4】（2024·湖北·高二期末）函数的最小值为.【变式4-1】（2024·吉林长春·高二长春市第十七中学校考期末）已知函数，则函数的最大值为.【变式4-2】（2024·陕西西安·高二长安一中校考期末）若函数在上有最小值，则实数的取值范围是.【变式4-3】（2024·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）函数在区间上有最大值，则的取值范围是．题型五：切线问题【例5】（2024·海南海口·高二海南中学校考期末）已知函数是曲线和的一条公切线．(1)求实数的值；(2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围．【变式5-1】（2024·安徽芜湖·高二校考期末）已知曲线．(1)求平行于直线且与曲线相切的直线方程；(2)求过点且与曲线相切的直线方程．【变式5-2】（2024·黑龙江双鸭山·高三阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【变式5-3】（2024·江苏南京·高二期末）已知函数在点处的切线方程为，则（

）A． B． C． D．【变式5-4】（2024·湖北·高二期末）点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【变式5-5】（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，求出了精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求，我们先求得在处的切线方程为，再把代入切线方程，即得，类比上述方式，则（

）A．1.0005 B．1.0001 C．1.005 D．1.001题型六：证明不等式【例6】（2024·湖北·高二期末）已知函数(1)讨论的单调性；(2)当，时，证明：【变式6-1】（2024·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数．(1)求的最小值；(2)设，证明：【变式6-2】（2024·湖南衡阳·高二校考期末）已知函数，.(1)若的极大值为1，求实数a的值；(2)若，求证：.【变式6-3】（2024·湖南衡阳·高二校考期末）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：.题型七：恒成立问题【例7】（2024·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）已知函数，.(1)当时，求函数的图像在点处的切线方程；(2)若，求证：当时，；(3)若对任意恒成立，求的取值范围.【变式7-1】（2024·江苏常州·高二统考期末）已知函数，，且.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若对于区间上的任意两个实数，，都有，求实数的最小值.【变式7-2】（2024·贵州黔东南·高二校考期末）已知函数，其中．(1)若函数在处取得极值，求实数a；(2)若函数在上恒成立，求实数a的取值范围．【变式7-3】（2024·江西宜春·统考一模）已知函数．(1)当时，求函数图象在点处的切线方程；(2)当时，讨论函数的单调性；(3)是否存在实数，对任意的且有恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．题型八：能成立问题【例8】（2024·黑龙江双鸭山·高二校考期末）已知函数．(1)求的单调区间；(2)存在且，使成立，求的取值范围．【变式8-1】（2024·辽宁·高二校联考期末）已知函数满足，且，函数．(1)求的图象在处的切线方程；(2)若对任意，存在，使得，求的取值范围．【变式8-2】（2024·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知函数.(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若，使得，求实数a的取值范围.【变式8-3】（2024·山东青岛·统考模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若存在，使成立，求a的取值范围.题型九：零点问题与方程的根问题【例9】（2024·广西南宁·高二统考期末）已知函数．(1)求的导函数；(2)若在上有零点，求的取值范围．【变式9-1】（2024·山东菏泽·高二统考期中）已知函数.(1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；(2)判断函数f（x）的零点的个数，并说明理由.【变式9-2】（2024·山东聊城·高二统考期末）已知函数，在处切线的斜率为-2.（1）求的值及的极小值；（2）讨论方程的实数解的个数.【变式9-3】（2024·天津和平·高二天津一中校考期中）已知函数(1)若，求的增区间；(2)若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围；(3)若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.题型十：双变量问题问题【例10】（2024·上海浦东新·高二校考期末）已知，函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若有零点，求实数的取值范围；(3)若有两个相异零点，，求证：.【变式10-1】（2024·安徽蚌埠·高二统考期末）已知函数．(1)讨论在区间上的单调性；(2)当时，若存在满足，证明．【变式10-2】（2024·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知函数．(1)讨论函