特殊的平行四边形（8个知识点）-中考复习讲义及练习（解析版）

第五部分四边形

专题18特殊的平行四边形（8大考点）

核心考点一矩形的性质与判定

核心考点二矩形的相关证明与计算

核心考点三菱形的性质与判定

核心考点四菱形的相关证明与计算

核心考点

核心考点五正方形的性质与判定

核心考点六正方形的相关证明与计算

核心考点七中点四边形

核心考点八三角形的中位线

新题速递

核心考点一矩形的性质与判定

命鼠豳尼究

雨（2022•内蒙古鄂尔多斯・统考中考真题）如图，菱形ABCD中，AB=2√3,NABC=60。，矩形BEFG

的边EF经过点C,且点G在边A。上，若BG=4,则BE的长为（）

B

E

A.-B.迪C.√6D.3

22

【答案】B

【分析】过点G作GMLBC于点M,过点C作CNLAD于点N,由菱形的性质得出AB=BC=CD=26,

AD=BC,ZABC=ZD=6Qo,AD//BC,由直角三角形的性质求出MG=3,证明△CE,山相似

三角形的性质得出空=?竺，则可求出答案.

【详解】解：过点G作GMLBC于点M,过点C作CNLAD于点M

B

Y四边形ABCD为菱形,

o

：・AB=BC=CD=,AD=BC,ZABC=ZD=GOfAD//BC,

：.NMGN=90。，

，四边形GMCN为矩形,

：.GM=CN,

在△CDN中,NZ）=60。，CD=2√3,

/.CN=CZ）∙sin60o=273×—=3,

2

,MG=3,

Y四边形BEFG为矩形，

o

ΛZE=90,BG//EF9

,NBCE=NGBM,

又<ZE=ZBMGf

L∕∖GBMsABCE,

.BGGM

••=，

BCBE

・4_3

,*2√3^,

ΛBE=-√3,

2

故选：B.

【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质,相似三角形的判定与性质，熟

练掌握菱形的性质是解题的关键.

§3（2022•湖北随州•统考中考真题）如图1,在矩形ABCZ）中，AB=S,AD=6,E,F分别为AB,AD

的中点，连接EF.如图2,将AAEF绕点A逆时针旋转角6（0＜，＜90。），使EFJAD,连接BE并延长交

DF于点H,则NBH。的度数为,。〃的长为

【分析】设E尸交4。于点M,BH交AD于点N,先证明△A。尸S△月打日可得NA。尸=NABE可得

/84Q=NBAQ=90°；然后过点E作EG_LAB于点G,可得四边形AMEG是矩形,从而得到EG=AMtAG=ME,

ioAF3

ZABE=ZMEN然后求出EG=AM=”，再利用锐角三角函数可得tanZA"=F=:，从而得到

f5AE4

AG=ME=———=—,进而得至IJBG=AB-AG=8—3=二，可得至IJtanNMEN=tanNABE=-=

tanZAEF555BG2

Q

从而得到“N=g,进而得到。N=2,即可求解.

【详解】解：如图，设EF交AD于点M,BH交AD于点N,

根据题意得：ZBAE=ZDΛF,ZEAF=90°,AFAD=3,AEAB4,

22

.AE3

••---=-f

AF4

在矩形ABCQ中，AB=8,Az)=6,ZBAD=90o,

.AD3

..---——,

AB4

/.XNDFsXABE、

：.ZADF=ZABE9

,.β/ANB=/DNH,

：.NBHD=NBAD=90。；

如图，过点E作EGLAB于点G,

・・・ZAGE=ZAME=ZBAD=90o,

・・・四边形AMEG是矩形，

：.EG=AM,AG=MEfME//ABf

：.NABE=NMEN,

在∕⅛Z∖AE/中，EF=√AE2+AF2=5»

Ap3

・・・tanZAEF=——=-,

AE4

YSaef=^AMEF=-AE∙AF9

tanZAEF5

tanZMEN=tanZABE==ɪ,

BG2

：.DN=AD-AM-MN=I1

•；NADF=NABE,

.*.tanZ.ADF=tan/ABE=—,

2

BfJDH=2HN9

VDH2+HN2=DH2+{-DH∖=DN2^4,

解得：OH=拽或-撞（舍去）.

55

故答案为：90°,延

5

【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解直角三角形，矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，熟

练掌握直角三角形的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的判定和性质是解题的关键.

瓯（2022•云南・中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，连接BO,E为线段AO的中点，延长BE与

C。的延长线交于点片连接A尸，NBDF=90°

（1）求证：四边形ABO尸是矩形；

（2）若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积5.

【答案】（1）见解析；

⑵18.

【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得一ABE〈ADFE,即可得到ΛB=DF,从而

证明四边形ABQF是平行四边形，再根据NBDF=90唧可证明四边形ABD尸是矩形：

（2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到48=Z）F=3,AF=4,由平行四边形性质求得CF=6,最后利

用梯形的面积公式计算即可.

【详解】（I）证明：；四边形A8C。是平行四边形，

.".AB∕∕CD,B[JAB//CF,

：.ZBAE=ZFDE,

TE为线段AC的中点，

：.AE=DE,

又：NAEB=NDEF,

二.,ABEgΛDFE（ASA）,

LAB=DF,

5L,：AB//DF,

四边形ABOF是平行四边形，

,.∙NBQF=90°,

；•四边形ABO尸是矩形；

（2）解：由（1）知，四边形483尸是矩形，

J.AB=DF=?,,ZAFD=t)0o,

在用ADF中，AF^y∣AD2-DF2≈√52-32≈4,

∙/四边形ABCD是平行四边形，

；.AB=CD=3,

，CF=C0+Z)F=3+3=6,

Λ5=∣(ΛB+CF).AF=^×(3+6)×4=18.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理

等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键.

厚命题出敬

1.矩形的性质：

(1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

(2)矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直知；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等且互相平分；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称

中心是两条对角线的交点.

(3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

2.矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是宜角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)

•鹭瑟硼演

【变式1](2022•山东泰安・模拟预测)如图，在四边形ABCO中NADC=ZABC=90。，AD=CD,DPYAB

于点P,若四边形ABa)的面积是9,则。尸的长是()

D

A.6B.4.5C.3D.2

【答案】C

【分析】如图，过点。作。交BC的延长线于E,先证明四边形。/归E是矩形，再利用AAS证明

ΛADP^ΛCDE,得到DE=DP,SMDP=SMDE,再由四边形ABCD的面积=9,得到DP∙DE=9,则DP=3.

【详解】解：如图，过点。作OE,JeC交8。的延长线于区

•：ZABC=90o,DP1.AB,

・・・四边形。尸是矩形，

VZCDE+ZCDP=90o,ZADC=90o,

JZADP+ZCDP=90°,

：.ZADP=NCDE,

'/DP工AB,

,ZAPD=NE=90。，

在&DP和,CDE中，

ZADP=ZCDE

«乙APD=NE,

AD=CD

ΛADP^CDE(AAS),

∙*∙DE=DP，SAADP=SACDE

・•・四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=9,

."∙DPDE=9,

：.DP=3,

故选C.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形

是解题的关键.

【变式2］（2023•安徽淮北•校联考一模）如图，矩形A8C3中，Aβ=4,8C=6,点P是矩形ABa）内一

点，连接Q4,PC,PD,若PALPD,则PC的最小值为（）

A.2√13-4B.2√10-3C.2D.4

【答案】C

【分析】由可得点尸在以AO中点O为圆心AD为直径的圆上，连接8交圆于一点即为最短距离

点，即可得到答案；

【详解】解：J-Pr＞，

点P在以中点。为圆心AO为直径的圆上，如图所示，

连接Cc）交圆于一点即为最短距离点P,如图所示,

VAB=4fBC=6,

∙*∙OD=3，DC=4,

根据勾股定理可得，

OC=J32+42=5,

；•CP=5-3≈2,

故选C.

【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与

圆心连线的交点.

【变式3］（2022•黑龙江哈尔滨•校考二模）如图，矩形ABCZ）中，AB=4,βC=10,“为的中点，把矩

形沿着过点M的直线折叠，点A刚好落在边BC上的点E处，则AE的长为.

A___________M___________D

BC

【答案】2不或4石

【分析】如图1,连接EM,过M作，BC于，,根据矩形的性质得到NBAD=ZABC=90o,AD=BC=IO,

求得B"=40=5,由折叠的性质知是线段AE的垂直平分线，得到EM=AM=5,根据勾股定理得到

AE=y∕AB2+BE2=√4¼27=2√5.如图2,连接AF,根据线段垂直平分线的性质得到AG=£G，根据全

等三角形的性质得到EF=AM=3AO=5,根据勾股定理即可得到结论.

【详解】解：为AD的中点，

.∙.AM=-AD,

2

如图1,连接EM,过仞作BC于",

•；四边形ABCD是矩形，

.∙.ZBAD=ZABC=90o,AD=BC=IO,

二四边形ABHM是矩形，AM=S,

：.MH=AB=4,

：.BH=AM=5,

由折叠的性质知叱是线段AE的垂宜平分线，

EM=AM=5,

在Rt∆AEH中，EH=VEM2-MH?=√52-42=3，

BE=BH-EH=2,

在RtAABE中，AE=y∣AB2+BE2=√42+22=2√5>

••♦把矩形沿着过点M的直线折叠，点A刚好落在边8C上的点E处,

.∙.MF是线段AE的垂直平分线，

，AG=EG,

,/AD//BC,

：.ZAMG=ZEFG,

,/ZAGM=NEGF,

：...AMG^..EFG(AAS),

.∙.EF=AM=-AD=5,

2

：.AF=5,

二BF=BF=√AF2-AB-=3，

.,.BE=8,

AE=>JAB2+BF2=√42+82=4√5，

故答案为：2石或4√L

【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理，全等三角形的性质和判定，分类讨

论是解题的关键.

【变式4］（2023•陕西西安•陕西师大附中校考模拟预测）如图，在矩形488中，A8=3,AO=4,点E、

F在边AB、ADl.,且ΛE=AF=1,点P为BC上一动点，点。为矩形内部一动点，且NEQF=I35。，连接

PD、PQ,则PQ+即的最小值为.

【答案】2屈-I

【分析】连接EF,作点。关于BC的对称点“，连接C"、PH,根据题意可知点。在以A为圆心，AE长

为半径的圆上运动，从而将PQ+尸。的最小值转化为圆外一点到圆心的最小值问题.

连接EF,作点D关于BC的对称点H,连接CH、PH,

VAE=AF=I,NEQF=I35。

点Q在以A为圆心，AE氏为半径的圆上运动

点。关于BC的对称点为H

-,.PD=PH

.,.PQ+PD=PQ+PH

，PQ+尸。的最小值为4∕-AE

在RtAAHD中根据勾股定理得

AH=4AD'+DH-=√42+62=2√H

∙,.P。+尸。的最小值为A∕∕-AE=2屈-I

故答案为2g-1.

【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称最短路线问题、定弦定角、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知

识点是解答本题的关键.

【变式5】（2022•云南文山・统考三模）如图，在，ABC中，AB=AC,点。是BC的中点，连接"）,点E

是AO的中点，延长BE至点F,使EF=BE,连接AF、CF,BF与AC交于点G,连接。G.

（1）求证：四边形ADCF是矩形；

（2）若ACJ_8/，AC=3,tanNABC=Ji,求。G的长.

【答案】（1）见解析

⑵6

【分析】（1）证明AAEFHOEB（SAS）,推出A尸〃DB,由等腰三角形的性质推出。B=DC,ADIBC,

证明四边形AoCF是平行四边形，据此即可得出结论；

（2）由等腰三角形的性质以及tanNABC=0,推出AO=08，由勾股定理推出CD?+人》==9，

求得8C=2√j,再根据直角三角形斜边中线的性质即可求解.

【详解】（I）证明：；点E是AD中点，

AE=DE,

AE=DE

在△AEF和▲DEB中，｛NAEF=ZDEB,

[EF=EB

：.AAEF学乙DEB(SAS),

：.AF=DB,ZAFE=ZDBE,

.,∙AF//DB.

；AB=AC,点。是BC中点，

DB=DC,ADlBC,

：.AF=DC,ZADC=90°.

，四功形M)C尸是平行四边形，

,/ZADC=90。，

；♦平行四边形A。CF是矩形；

(2)解：；A3=AC,点。是BC中点，

ΛDB=DC,AD±BC,tanZABC=tanZACB=√2.

∙'∙-^=V2,即Ar)=辰》，

VCD2+AD2=AC2=9B∣JCD2+2CD2=9.

∙,.CD=√3.βC=2CD=2√3,

VAClBF,即NBGe=90。，且点Z)是BC中点，

.,.DG=>BC=6.

2

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，矩形的判定，解答本题

的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

核心考点二矩形的相关证明与计算

£3(2021.四川绵阳.统考中考真题)如图，在等腰直角JLBC中，ZC=90o,M.N分别为8C、AC上

的点，NCNM=50°,尸为MN上的点，且尸C=IMN,NBPC=II7。,则NABP=()

B

CNA

A.22oB.23oC.25oD.27o

【答案】A

【分析】作辅助线，构建矩形，得P是MN的中点，则例P=NP=CR根据等腰三角形的性质和三角形外

角的性质可解答.

【详解】解：如图,过点M作MG，BC于过点N作NGLAC于N,连接CG交MN于”,

.∙.ZGMC=NACB=NCNG=90°,

二四边形CMGN是矩形，

：.CH=gcG=∙^MN,

：PC=与MN,

存在两种情况：

如图，CP=CPI=WMN,

B

①尸是MN中点时，

LMP=NP=CP,

：.ZCNM=NPCN=50。,NPMN=ZPCΛ∕=90o-50o=40o,

：・ZCPM=180o-40o-40°=100°,

・・・ZXABC是等腰直角三角形，

：•NABC=45。，

YNCPB=Il7。,

JNBPM=I17o-∣00°=17。，

•：ZPMC=ZPBM+ZBPM9

ΛZPBΛ∕=40o-17o=23o,

：,NA8P=450-23°=22°.

②CP】=；MN,

：.CP=CPh

工NCPPl=NCP)=80。,

•；NBPlC=M7。,

：.ZSP∕M=H7o-80°=37°,

ΛZΛ∕BP∕=40o-37o=3o,

而图中NMBH>NMBP,所以此种情况不符合题意.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，作出辅

助线构建矩形CNGΛ∕证明P是MN的中点是解本题的关键.

瓯（2021•四川内江•统考中考真题）如图，矩形ABC。，AB=I,8C=2,点A在X轴正半轴上，点。

在y轴正半轴上.当点A在X轴上运动时，点。也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点。的

最大距离为

【答案】√2+l⅛⅛l+√2

【分析】取AD的中点H,连接C”，OH,由勾股定理可求CH的长，由直角三角形的性质可求的

长，由三角形的三边可求解.

【详解】如图，取AD的中点〃，连接CH,OH,

.∙.CD=AB=∖,AD=BC=2,

点//是AD的中点，

.-.AH=DH=I,

.-.CH=y∣DH2+CD2=7F+T=√2，

.ZAOD=90°,点H是AO的中点,

..OH=-AD=X,

2

在AOC”中，CO<OH+CH,

当点H在OC上时，CO=OH+CH,

：.C0的最大值为OH+CH=yIl+∖,

故答案为：>∕2+1-

【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加恰当

辅助线构造三角形是解题的关键.

瓯(2022.湖北十堰•统考中考真题)如图，YABC。中，AC,3。相交于点0,E,F分别是Q4,OC

的中点.

D_____________________c

⑴求证：BE=DF-,

AΓ

(2)½-=⅛,当A为何值时，四边形OEB尸是矩形？请说明理由•

BD

【答案】(1)证明见解析

(2)当&=2时，四边形£>£BE是矩形，理由见解析

【分析】(I)连接OEBf,先根据平行四边形的性质可得04=OC,08=OD,再根据线段中点的定义可

得OE=gθA=gθC=OF,然后根据平行四边形的判定可得四边形OEB尸是平行四边形，最后根据平行四

边形的性质即可得证：

(2)先根据矩形的判定可得当BD=所时，四边形Z)EB尸是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的

性质可得AC=2EF,由此即可得出女的值.

【详解】(1)证明：如图，连接。E,BF,

Z)________________________=C

••・四边形ABCD是平行四边形,

OA=OCyOB—OD,

E,F分别是Q4,OC的中点,

.'.OE=-OA=-OC=OF,

22

.•・四边形Z）EB/是平行四边形，

.-.BE=DF.

（2）解：由（D已证：四边形DEB厂是平行四边形，

要使平行四边形DEBF是矩形，则BD=EF,

OE=-OA=-OC=OF,

22

.∙.EF=OE+OF=-OA+-OC=OA=-AC,AC=IEF,

222

：.k=-2,

BDEF

故当％=2时，四边形DEBF'是矩形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质

是解题关键.

【变式1】（2021.浙江宁波•校考三模）如图，在ASC中，点E是线段AB上一点，EDLBC于点D,四

边形GE为矩形，若BC=DG,ΛBC的面积为“，矩形Ez）G尸的面积为匕，则下列图形中面积可以确

定的是（）

A.Z∖8∕）E的面积B.四边形ACG尸的面积

C.梯形。CH的面积D.△AEF的面积

【答案】D

（分析］过点A作AN，BC于点N,交EFF点M,根据矩形的性质和梯形的性质利用面积公式解答即可.

【详解】解：过点A作4V_LBC于点N,交EF千点、M,

BC=DG,

：.Sλbc=^DG-AN=a,

则4V∙0G=20,

，S矩形EDGr=ED∙DG=b,

则石。・DG=力,

.•四边形EZ)G尸为矩形，

.∙.AFED=ZEDG=90°,

.ANlBC,

..ZANB=W,

••・四边形EZWM为矩形,

MN=ED,

.∖DG×(AN-ED)=2a-bf

:.AN-ED=^^-=AM,

DG

SAEF=gAA/∙EF,

EF=DGf

,S语=；X第XDG=g(2α-b),

ZIJKJZ

.二AE尸的面积可以确定，

故选：D.

【点睛】此题考查梯形，解题的关键是根据矩形的性质得出MN=ED解答.

【变式2】(2022•湖南娄底•统考模拟预测)如图，在矩形ABC。中，OE平分一ATQ交BC于点E,点产

是CQ边上一点（不与点。重合）.点尸为OE上一动点，PE<PD,将NDPF绕点尸逆时针旋转90。后,

角的两边交射线。A于"，G两点，有下列结论：ΦDH=DE;②DP=DG；③DG+DF=6DP;④

DPDE=DHDC,其中一定正确的是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

【答案】D

【分析】根据旋转的性质判断得AGPH三ΔDPF(A弘)，可判断③正确，证APr归ACDE可判断④正确,

从而得出结果.

【详解】解：根据旋转的性质可知，NDPH=NGPF=90。,

∙.∙OE平分NAr>c,

.∙.NHDP=45°,

二ZDHP=ZPDH=ZPDF=45°,

：.PH=PD,

,/NDPH=NGPF=90。

：.NGPH=ZDPF

在AGPH和ADP尸中，

ZGHP=ZFDP

•：PH=PD

NGPH=ZDPF

：.AGPH≡ADPF(ASA)

：.HG=DF

∖,ZPDH=45°

∙-∙DH=y∣2DP

DF+DG=GH+DG=DH=y[2DP

故③正确；

∖∙ZPDH=ZPDF=45o,ADPH=ZDCE=90°

∖PDHACDE

.DHDP

"DE-CD

即DP∙DE=DH∙DC,

故④正确；

根据已知条件无法证明①O"=OE,②DP=DG.

故选：D.

【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关

键.

【变式3］（2022•黑龙江哈尔滨•校考二模）已知矩形ABCQ,点E在AO边上，DE<AE,连接8E,点G

在BC边上，连接EG,BE平分ZAEG,若BG=5GC,DE=2CG,Bf=2√10,则一ABE的面积是

【答案】4√6

［分析］过点E作£415C于H,设CG=X,则。E=2x,8G=5x,证明ZAEB=ZEBG,得到BG=EG=5x,

再求出HG=GC=1,则8G=5,BH=4,由勾股定理可求E"的长，即可求解.

【详解】解：如图，过点E作于“，

BG=5x,

8E平分NAEG,

:.ZAEB=ABEG,

AD//BC,

.∙.ZAEB=NEBG,

BG=EG=5x,

QEHABC,ZD=ZC=90o,

••・四边形OC是矩形，

DE=CH=2x，

.∖HG=x,BH-4x,

EH'=BE1-BH2，EH2=EG2-HG2,

Λ40-16√=25√-X2.

.,.χ=l（负值舍去），

.∙.BG=5,BH=4,HG=I=GC,DE=I,

..BC=6,EH=yjBE2-BH2=√4O-I6=2√6，

.∖AE=4,

=—×2>∕6X4=4>∕6,

故答案为：4χ∕δ.

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理求出CG的长是解题的关键.

【变式4］（2022•陕西咸阳・统考一模）如图，在RtA4BC中，ZC=90o,AC=3cm,βC=4cm,。是AB

上一点，Z）EJ_AC于点E,BC于点F,连接E尸，则EF的最小值为cm.

【答案】2.4##M

【分析】证明四边形CF7)E是矩形，由垂线段最短可得，当时，线段。的值最小，即线段EF的

值最小，求得此时的最小值即可.

【详解】解：如图，连接CD

VZACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,

.,.ΛB=√9+16=5(cm),

VDELAC,DF±BC,ZACB=90°,

二四边形CFZ)E是矩形.

：.EF=CD,

由垂线段最短可得，当时，线段C。的值最小，即线段E尸的值最小.

此时，SABC=^BCAC=^ABAC-

解得C£）=2.4Cm.

.∙.EF的最小值是2.4cm.

故答案为：2.4.

【点睛】本题考杳了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理,解决问题的关键在于判断出C

时，线段CO的值最小.

【变式5］（2022•黑龙江哈尔滨•统考三模）在四边形ABCZ）中，AB〃C。，点E在Az）上，连接BE,CE,

AABE”ADCE.在四边形ABCz）中，AB∕/CD,点E在A。上，连接8E,CE,AABE丝ADCE.

⑴如图1,求证：四边形4BCE＞为矩形；

⑵如图2,连接AC交BE于点尸，点G在CF上，AF=2CG,连接BG,在不添加任何辅助线的情况下,

直接写出图中所有面积为四边形ABCO面积的g的三角形.

4

【答案】（1）见解析

（2）ABE，CDE,ΛACE,BFG

【分析】（1）先证明四边形四边形ABCD为平行四边形，然后再证得有一个角是直角即可;

（2）根据题意直接写出即可.

⑴

∖∙AABE名ADCE,

ΛAB=CDfZA=Zr>,

・・•AB∕∕CD,

・•・四边形A3C。是平行四边形，ZA+ZD=180°,

/.ZA=ZD=90。，

・♦・四边形ABCD为矩形；

(2)

・.,AABE会LDCE,

・・・AE=DE=-AD.

2

∙■SΔABE=^AB-AE=^AB^AD=^ABAD=^n.ABCDi

^cde=^AB-DE=^AB^AD=^ABAD；

^ACE=∖AB-AE=^AB-^ADΛAB-AD=^Smco..

VAD/∕BC,AE=DE=-AD=-BC,

22

JAAEFS∕∖CBF,

,AFAEI

••-------=一,

CFBC2

XVAF=2CG,

:・CF=ACG,

/.FG=3CGfAC=AF+FG+CG=6CG,

.,.FG=-AC,

2

.-LIc-ɪe

ςd_-

**ɔBFG-/ΔASC2。矩形ABCO'矩形ABCD*

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

核心考点三菱形的性质与判定

D意题图究

雨（2022.山东荷泽・统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,ZABC=60°,M是对角线8。上的

一个动点，CF=BF,则M4+M厂的最小值为（）

D

Λ/

A.1B.√2C.√3D.2

【答案】C

【分析】连接AF,则AF的长就是AM+所的最小值，证明AABC是等边三角形，A尸是高线，利用三角函

数即可求解.

【详解】解：连接4凡则AF的长就是AM+FM的最小值.

；四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC,

又：NABC=60°,

...△A8C是等边三角形，

,/CF=BF

尸是BC的中点，

：.AF±BC.

则AF=A小sin60°=2x正=6.

2

即M4+MF的最小值是6.

故选：C

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是的最小值是关键.

瓯（2022•辽宁鞍山•统考中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2,NABC=60。，对角线AC与8。交

于点。，E为。B中点，尸为中点，连接班则EF的长为.

【答案】叵

2

【分析】由菱形的性质可得A8=AO=2,NABD=30。,ACYBD,BO=DO,由三角形中位线定理得尸”=

yΛO=y,FHAO,然后求出OE、OH,由勾股定理可求解.

【详解】解：如图，取的中点"，连接

：四边形ABCQ是菱形，NABC=60。，

：.AB=AD=-2,ZABD=30o,ACLBD,BO=DO,

：.AO=^AB=\,BO=√22-I2=也=DO,

；点H是。。的中点，点尸是AO的中点，

：.FH=AO=^-,FH.AO,

：.FHlBD,

∙.∙点E是B。的中点，点”是On的中点,

IOE=B,OH=B,

22

LEH=日

：.EF=>JEH2+FH2=,3+：=孚，

故答案为：巫.

2

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键.

瓯（2022.广东广州.统考中考真题）如图，在菱形ABeD中，NBAD=I20。，AB=6,连接BD.

（1）求BD的长；

（2）点E为线段8。上一动点（不与点B,。重合），点尸在边AO上，且8E=√^OF,

①当CE」.AB时，求四边形ABEF的面积；

②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+6CF的值是否也最小？如果是，求CE+6CF的最小值；如

果不是，请说明理由.

【答案】（I）BO=6石；

⑵①四边形ABEF的面积为7百：②最小值为12

【分析】（I）证明AABC是等边三角形，可得803√3∙即可求解；

（2）过点E作AD的垂线，分别交4。和8C于点M,N,根据菱形的面积可求出MN=36,设BE=X,

则EN=gx,从而得到EM=MN-EN=3√5-gx,再由BE=R可得/从而得至IJ四边形ABE尸

的面积s=SzAM-SDEF+笥巨，①当CELAB时，可得点E是AABC重心，从而得到

βE=CE=∣B（9=∣×3√3=2√3,即可求解；②作CHLAD于",可得当点E和尸分别到达点。和点”位置时,

C尸和CE分别达到最小值；再由S=*（χ-3√5）'+竽，可得当X=3√5,即时，S达到最小值,

从而得到此时点E恰好在点。的位置，而点尸也恰好在点H位置，即可求解.

【详解】（1）解：连接AC,设AC与BO的交点为0,如图，

D

Y四边形ABC。是菱形，

.".ACl-BD,OA=OC,AB//CD,AC平分NOA8,

；NBAD=120°,

ZCAB=60o,

二Z∖A8C是等边三角形，

二BO=AB∙sin60°=6×^=3√3.

二BD=2BO=6也；

（2）解：如图，过点E作A。的垂线，分别交4。和BC于点M,N,

•.•△A8C是等边三角形，

∙u∙AC=AB=G,

由（1）得：BD=60

菱形ABC。中，对角线80平分NA8C,AB∕∕CD,BC=AB=6,

,MN工BC,

β.∙ZBAD=120°,

JNABC=60。，

.β.NEBN=30°；

：・EN=；BE

∙^ABCD=∖ACBD=MN-BC.

∙.MN=3g,

设BE=X,则EN=,

2

1

X

〈EM=MN-EN=362-

•S修ABCD=ADaMN=6Xɜʌ/ɜ=18√3，

*.SΔΛBD=5SrΛBCD=9>∕3>

：BE=y∕3DFt

∙.DF=华力

X，

√33

∙.SADEF=WDF=EM=S&+，，

122

记四边形ABM的面积为s,

：.S=S屈BD-SADEF=96-(-—x2+^x)=乌χ-3扃+空回,

122121J4

：点E在Bo上，且不在端点，.∙.0<BE<BQ,B∣Jθ<x<6√3;

①当CElAβItt,

VOBlAC,

点E是△ABe重心，

.,.BE=CE=-BO=-×3√3=2√3,

33

此时S=^l(2百-3后『+笞8=76，

,当CEL48时，四边形ABE尸的面积为7√L

②作C〃_LAO于H,如图,

D

'JCOl-BD,CHLAD,而点E和尸分别在8。和A。上，

当点E和尸分别到达点0和点”位置时，CF和CE分别达到最小值；

在菱形ABCZ)中，AB//CD,AD=CD,

'：ZBAD=120o,

：.NAOC=60。，

.∙.ZVlCO是等边三角形，

：.AH=DH=3,

,∙CH-ɜʌ/ɜ,

..√3∕.∕τ√27√3

•s=*∙(x-3j3)+丁，

二当x=3石,即BE=3百时，S达到最小值，

YBE=6DF,

.,.DF=3,

此时点E恰好在点0的位置，而点尸也恰好在点“位置，

当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，

∙∙.CE+GCF的值达至IJ最小，

其最小值为CO+√3CW=3+√3×3^=12.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直

角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解

直角三角形等知识是解题的关键.

厚命题西破

1.菱形的性质:

(1)菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

(2)菱形的性质：

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

(3)菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式.②菱形面积=L必.(a、b是两条对角线的长度)

2

2.菱形的判定：

①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形)；

②四条边都相等的四边形是菱形.

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”).

【变式1】(2023•安徽淮北•校联考一模)如图，菱形ABCD的边长为4cm,NA=60°,点E,F在菱形ABa)

的边上，从点A同时出发，分别沿A→8→C和A→D→C的方向以每秒ICm的速度运动，到达点C时停

止，线段EF扫过区域的面积记为y(c∏?),运动时间记为MS)，能大致反映y与X之间函数关系的图象是

【答案】C

【分析】根据菱形的性质，结合题意，分两种情况讨论，0≤x≤4时，当4<x≤8时，根据三角形的面积公

式建立函数关系，根据二次函函数的图象的性质即可求解.

【详解】解析：当Ow4时，过点尸作户MLAB于如图1,

.∙.AF=AE=x,ZA=60°,

G

贝IJFM=AF-sinA=-x,

2

••・线段EF扫过区域的面积y=2x∙立X=走炉，图象是开口向上，位于y轴右侧的抛物线的一部分，

224

当4<x≤8时,

如图2,过点JF作短VJ.BC于N,则CE=CF=8-x,

...FN=Qg-X）,

线段EF扫过区域的面积y=4x26-；x（8-x）X#（8-x）=8石-乎（8-x『，

图象是开口向下，位于对称轴直线x=8左侧的抛物线的一部分，

图1图2

故选：C.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，解直角三角形，二次函数图象的性质，掌握二次

函数图像的性质是解题的关键.

【变式2】（2022•辽宁营口•一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=°a>O,x>0）的图像与菱

形Q4BC的边OC,A8分别交于点V、N,且OM=2MC,0A=6,ZCftA=60°,则N的横坐标为（）

A.7B.6+√3C.3√13D.3+√13

【答案】D

【分析】分别过点M、N作X轴的垂线，垂足分别为从G,根据题意求得OM=4,在放_。例”中，OM=4,

NAOC=60。，则。〃=2,.扬/=2√3.故点M的坐标为（2,2√5）,利用待定系数法求得氏=48，在RtNAG

Ψ,设4V=24,ZM4G=60o,则AG=α,NG=也a，则点N的坐标为（6+α,岳），代入反比例函数的解析

式，即可得到关于。的方程，解方程求得“的值，进而求得点N的横坐标.

【详解】解：分别过点M、N作X轴的垂线，垂足分别为〃、G,

OC=OA=6,

•：OM=2MC,

2

JOM=-χ6=4,

3

在HoM，中，OM=4,NCOA=60。，则0H=2,MH=2√3-

∙,.点M的坐标为（2,2百），

；点M在反比例函数y=4k>0,x>0）的图像上,

X

A:=2×2√3=4√3,

.∙.反比例函数的表达式为y=生叵（尤>0）,

X

设4V=24,

∙.∙OC//AB.

：.ZAOC=ZΛ¼G=60。，

在MΛ¾G中，设ATV=2α,ZΛ¼G=60o,则AG=α,NG=®，

，点N的坐标为((6+α,√3α),

点N在反比例函数y=&叵(x>0)上，

X

•**(6+α)∙∖∣3a=4›/3,

解得α=-3+(负值已舍去)，

,∙6+α=3+>/13,

・・・乂的横坐标为3+至，

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数的性质，菱形的性质，解直角三角形等，

求得点M的坐标，表示出点N的坐标是解题的关键.

【变式3］（2023.陕西西安.陕西师大附中校考模拟预测）如图，在菱形ABCQ中，对角线AC与8。相交于

2

点0,过点。作。EIC。，交AC于点£,若AC=6,tanZACB=-,则OE的长是.

【答案】巫

3

【分析】先求出菱形的边长，再利用等角的正切值相等求解即可.

【详解】解：：四边形ABCD是菱形，

ΛAC±BD,0A=0C=-AC=3,DC=BC,ZDCE=ZACB,

2

•：tanZACB=-,

3

.,.OB=3×-=2,

3

∙'∙BC=√32+22=√13-

，CD=√13,

2

∙/DEVCD,tanZDCE=tanZACB=-,

3

JOE=CDtanNZ）CE=√ilχ2二独ɪ,

33

故答案为：口叵.

3

【点睛】本题考查J'菱形的性质与正切函数的应用，解题关键是掌握菱形的性质，本题用到的有菱形的四

条边都相等，菱形的对角线互相垂直平分，且平分一组对角.

【变式4】（2022•江西萍乡•校考模拟预测）如图，在菱形ABCz）中，BC=IO,尸为AO的中点，点E在8。

上，FELBD,EF=4,将△。户E沿OB方向平移，使点F落在AB上，则ADFE平移的距离为.

【分析】连接AC交3。于点0,过点F作FG〃BD交43于点G,根据菱形四边相等得到Az）=I0,根据中

点定义得到。尸=5,根据勾股定理得到DE=3,根据菱形对角线互相垂直证明防〃AC,求出8=6,根

据菱形对角线互相平分得到%>=12,根据平行线分线段成比例得到FG=6,即得△£>/话平移的距离.

【详解】解：如图，连接AC,交5。于点0,过点F作尸G〃加，交AB于点G,

；四边形A6C。是菱形,

二AD=BC=XQ,

：于为AD的中点,

.,.DF=-AD=5,

2

VEF=A,FELBD,

∙"∙DE=y∣DF2-EF2=3，

,.∙AClBD,

/.EF∕7AC,

.DEDF

..--=--=1λ,

OEAF

：.OD=2DE=6,

OB=ODf

：.BD=2OD=12,

VAF=DF.FG//BDf

.AGAF

..==1λ

BGFD

・•・AG=BG.

：.FG=-BD=6,

2

二将△。尸E沿OB方向平移，使