2022-2023学年苏教版（2019）必修一第五章指数概念与性质 单元测试卷（含答案）

苏教版(2019)必修一第五章指数概念与性质单元测试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、已知函数"X)=白ɪ,则/(In(Ig2))+/(In(Iog210))=()

A.lB.lC.2D.4

2

2、已知函数/(x)=x(X-α)+h,若函数y=∕(x+l)为偶函数，且/⑴=0,则〃的值

为()

A.-2B.-lC.lD.2

3、已知函数/(x)与g(x)是定义在｛xeR∣x≠0｝上的奇函数，且

xf(X)+g(x)=l-x2+bsin2x,若/(g)+g(：)=∣∙,则力=()

A.lB.2C.3D.4

4、已知函数/(X)=1-。0-1)2-(2。+1口在(1,2)上单调，则实数α的取值范围为()

,zc—1c^—1.C-Iε^-1、

A.(-∞,一一—)1z(­―,+∞)B.(-∞,--—1r——>+∞)

2424

e—1ɑɔ—1e—1—1

C.(-∞,^~∙)1(--->+∞)D,(-∞,-^―![---,+∞)

5、定义在(0,+∞)的函数y=∕(χ)满足：对％,Λ2∈(O,+∞),且

X,≠⅜,>°成立,且/(3)=9,则不等式/(x)>3x的解集为()

A.(9,+∞)B.(0,9)C.(0,3)D.(3,+∞)

6、若函数y=5∕-40r+9在[-3,+∞)上是增函数，则实数α的取值范围是()

A.a≥—B.iz≤——C.a≤---D.cι≤一3

1522

7、函数/(X)=j3+2x—*的单调递增区间是()

A.(-∞,l]B.[l,+∞)C.[l,3]D.[-l,l]

8、函数y=∕(x)对任意XeR都有"x+2)=∕(T)成立，且函数y=∕(xT)的图象

关于点(1,0)对称，/⑴=4,则/(2020)+/(2021)+/(2022)=()

A.lB.2C.3D.4

9、下列函数既是奇函数又在定义域上为增函数的是（）

A.y=y[xB.y=——C.ʃ=tanxD.y=x3

x

10、设/(x)为定义R上奇函数，当x≥0时，/(x)=2A+2X+∕7S为常数)，则

/(-1)=()

A.3B.-?C.-lD.-3

2

二、填空题

11、写出一个定义域不是R,但值域是R的奇函数/(X)=.

12、已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(x+l)=∕(l-x),且当T≤x<0时，

f(x)=log2(-3x+l),贝I/(2019)=.

13、已知/(x)是定义域为R的奇函数，且对任意的X满足/(x+2)=∕(x),若

0<x<l时，有/(χ)=4'+3,则/(3.5)=.

14、若函数/(x)=Iog4(4'+l)-丘为偶函数，则Z=.

15、已知/(x)是奇函数，且当无<0时，/。)=一6'".若/(1112)=8,则α=.

16、若定义在R上的偶函数/(x)在区间[O,-)上单调递增，且/(3)=0,则满足

J√,(X-2)≤0的X的取值范围为.

三、解答题

17、已知函数/(x)=f,a,匕均为正数.

2x

(1)若a+b=2,求证：f(d)+f(b)≥3;

(2)若/(-“)=/(〃)，求α+6的最小值.

18、已知函数/(x)=Or-XInX,aeK.

(1)讨论/(x)的单调性：

(2)当4=1时，证明：f(x)<x2+~.

4

19、已知函数/(χ)=(4-1)2*+2t(⅛∈R).

⑴若函数f(x)是定义在R上的奇函数，求k的值；

⑵当一l≤x≤l时，"x)≥4,求实数k的取值范围.

20、已知函数AX)=土士■是定义域上的奇函数，且/(T)=-2∙

ax+b

⑴求函数/(x)的解析式，判断函数/(x)在(0,1)上的单调性并证明;

(2)令〃(X)=X2+4■-2"(x)Q<0),若对任意XPΛ,∈[1,2]都有|/?(与)-/Z(X7)∣≤",求实数Z的取值

XT24

范围.

参考答案

1、答案：C

解析：对任意的

2222•2*22∙2jc

XKLv)2x+l2^x+l2t+l2'(2^Λ'+1)2r+l2Λ+1

1(1A

log210=豆，贝Uln(log?10)=In=-ln(lg2),

因此/(In(Ig2))+/(In(Iog/0))=/(In(Ig2))+∕(-ln(lg2))=2∙

故选:C.

2、答案：C

解析：由/(x+l)=(x+l)(x+l—a)+/?=/+(2—Q)X+1—。+〃为偶函数，得〃=2.又

/(l)=-l÷⅛=0,所以匕=1.故选C.

3、答案：A

解析：因为/(x)与g(x)都是定义在｛x∈R∣x≠0｝上的奇函数，且

xf(x)+g(x)=l-x2+Ain2x，所以-jζf(-x)+g(r)=xf(x)-g(x)=l-x2-Z?sin2x，得

IIJr1TT5

/(X)=——x(x≠0),g(x)=8sin2x(xHθ),由∕(-)+g(-)=(2——)+bsin-=—，解得

X24222

Z?=l.

4、答案：D

解析:依题意,∕,(x)=ex-2a(x-1)-(2a+1).⅛∕,(x)≥O⅛(1,2),则

H≥2α.令g(x)=",故g<χ)"xe'U'+l=(九-I)：'+1〉。,故函数g(χ)在(1,2)

XXXX

P—1AΛ—1e?—1

上单调递增，故JNα;若r(x)≤O在(1,2)上恒成立，则~≤2α,则一

2X4

A—1A^—1

故实数a的取值范围为(fo,故选D.

24

5、答案：D

解析:由WG)TJ(X2)>0J[∀χ1,χ2∈(0,+∞),

王一w

/(XJ/⑸

则两边同时除以X/2可得%Z〉0，

X1-X2

令g(χ)=迫,则g(χ)=迫在(0,+∞)单调递增,

XX

由"x)>3x得>3且g(3)=孚=3,

Xɔ

即g(x)>g(3)解得x>3,

故选:D.

6、答案：C

解析：因为函数y=5χ2-40r+9在［-3,+∞)上是增函数，所以∣α≤-3,解得

a<,故选：C.

2

7、答案：D

解析：函数/(χ)=j3+2x->2的定义域需要满足3+2x-χ2zθ,解得/(χ)定义域为

［T3］，

因为y=3+2x-f在［-1,1］上单调递增，所以/(x)=J3+2x—/在［—1,1］上单调递增,

故选：D.

8,答案：D

解析：因为函数y=∕(x-l)y=f(x-l)的图象关于点(1,0)对称，

所以函数y=/(x)的图象关于原点对称，即函数/(x)是R上的奇函数，

因为/(%+2)=-/(力岖+2)=-岖),所以“x+4)=-∕(x+2)=∕(x),故/(x)的周

期为4.所以,f(2()21)=〃5()5x4+l)=/(l)=4f(2021)=f(505×4+1)=f(l)=4,

所以f(2020)+f(2022)=f(2020)+f(2020)+f(2022)=f(2020)+f(2020+2)

=/(2020)+/(-2020)=/(2020)-∕(2020)=0

所以“2020)+/(2021)+/(2022)=4f(2020)+f(2021)+f(2022)=4.故选D.

9、答案：D

解析：

10、答案：D

解析：由于/(x)为定义域R上奇函数，所以/(O)=Onl+人=Onb=-1,

所以当x≥0时，/(x)=2*+2x-l,

因此/(_1)=_/(1)=_(2+2_1)=_3,

故选：D

11、答案：tanx

解析:略

12、答案：2

解析：/(x)是R上的奇函数，.•./(-x)=-∕(x),

又；f(x+1)=/(l-x),：.f(2+x)=f(-x)=-/(x),

.∙.∕(x+4)=-∕(χ+2)=∕(x),所以/(x)是周期函数，且周期为4,

.∙.∕(2O19)=/(3)=/(-1)=log2[-3×(-l)+l]=Iog24=2.

故答案为：2.

13、答案：-5

解析：因为/(x+2)=√(x),/(x)是定义域为R的奇函数，

所以"3∙5)=∕(√)∙5)=-”0.5)

因为当0<x<l时，有/(χ)=4,+3,所以〃0.5)=4°$+3=5

所以/(3.5)=—5

故答案为：-5

14、答案：k=—

2

解析：因为/(X)=IogJd'+1)-依，定义域XeR,

又f(,-x)-Iog4(4T+1)+AX=Iog4(4*+1)-x+Ax,

由/(x)=∕(-x),贝IJ-AX=-x+Ax对任意x∈R都成立，

故一上=—1+左，解得&=’■,

2

故答案为：ɪ.

15、答案：-3

解析：设x>(),则一x<0,所以/(-x)=-e”.因为函数/(X)为奇函数，所以当x>0

时，/(x)=-/(-X)=e-%所以/(ln2)=e-"m2=PL[=8,所以。=一3.

∖2√

16、答案：(-∞,T]UO⑸

解析:2)≤0等价于x=0或X.>0_*0或X/<0.2)≥(√

因为/(x)为偶函数，且/⑶=0,故-2)≤0即为"x-2)≤∕(3),

即为川x-2∣)≤∙*3),

而/(x)在区间[0,+∞)上单调递增，故∣x-2∣≤3即T≤x≤5,

同理/(x-2)≥0的解为XK-I或xN5,

故…八的解为0<x≤5,

[/(x-2)≤0

f%<0Lt

而c∖C的解为x≤-L

[f(x-2)≥0

故0∙(x-2)≤O的解为(-8,-l]"0,5]∙

故答案为：(→o,-l]∪[0,5]

17、答案：(1)见解析

(2)√3

解析：(1)证明：a+b=2,且α,匕均为正数，.∙.H≤(号)=1,当且仅当α=6=I时，取

等号，

M=ab,则0<∕41,.'./(«)+f(h)=a2+b2+-+-=4-2ab+-=4-2t+~,令

2a2baht

h(t)=4-2t+-,易知〃⑴在(0,IJ上为减函数，

t

.∙.∕z(r)≥Λ(l)=4-2+l=3,即/(tz)÷/(/?)≥3.

22

(2)-f(-d)=f(b),.∙.α-J-=⅛+±,

2a2b

2a+b

：.a-b,2=---,

2ah

a，均为正数，.∖a+b≠G,

1

ci-b=----->O,2cιb=-------

2aba-b

2

.,.(α+b)2=(a-b)2+4ab=(a-b)2H-------

a-b

令x=a-b,则x>0,

、2

可设g(x)=jr+-,x>0,

X

任取芭，x2∈11,+00),且%>9之1，

ɔ

贝IJg(XJ-g(χ2)=52+一―《

x∖

2

易知芯―x7>0,X1+X9>2,-----<2,g(%)—g(马)>。，

XZ

∙∙∙g(χ)>g(w),

同理，任取芭,x2∈(0,l],且石>%2,则g(w)vg(w),

.∙.g(x)=犬+2在(0,1]上单调递减，在[1,+O0)上单调递增，

X

∙∙∙g(x)min=g(D=3,即(〃+力∖n=3，

.∙.(α+6)πAl=X/5,.∙.α+〃的最小值为6.

18、答案：(1)在(θ,e"T)上单调递增，在(e"T,∙κχ>)上单调递减.

(2)证明过程见解析.

解析：(1)Qr(X)=Q-(InX+1)=Q-I-InX,x>0,

.・.当x∈(θ,e"-)时，∕,(x)>0;

当X∈(e"T,+∞)时，f,(x)<O,

Λ∕(X)在(0,尸)上单调递增，在(4,E)上单调递减.

(2)证明：当a=l时，设g(x)=/(JV)-+：[=X_XInX-[X*+1],x>0,

只需证当X>O时，g(x)<O.

Qg'(x)=-InX-2x,

丁・显然函数g'(x)在(0,+oo)上单调递减.

,

Qg(B=l_2>o,4g^=ln2-l<O,

・•・存在唯一/W使得g'(ʌŋ)=-InXO-2%=0.

当XW(O,M)时，g'(x)>0；

当XE(Λ∙0,+∞)时，g'(x)V0,

.∙.g(x)在(0,玉))上单调递增，在(Ao,+00)上单调递减,

.∙.当%>O时，

g(x)≤g(/)=X0-X0Inx0-fx^+∣J

=Ao-⅞(-2⅞)-fɪʊ+1

//、23

「•/(x)VX÷~•

4

19、答案：(I)ife=O.

(2)取值范围是K,M).

解析：⑴因为函数/(x)是定义在R上的奇函数，所以〃-X)=-〃x)对任意XeR恒成立，即

(⅛-1)2^JC+2X=-(⅛-I)2X-2-'对任意XeR恒成立，

整理得&Q2,+1)=0对任意XWR恒成立，所以％=0∙

⑵根据题意，不等式住-1).2"+2-*≥4对于任意的X∈［-1,1］恒成立，

即不等式％-l≥;(3对于任意的xe［-l,l］恒成立.

令JL=f,则re1,2,

2*L2.

令g(f)=-/+*,所以Z-l≥g(r)nm.

而g(f)=τ2+4f=-(f-2f+4在；,2上单调递增,

所以g(')∏≡=g(2)=4,所以A-124，解得A≥5∙

故k的取值范围是［5,+∞).

3

1—≤rVO

20、答案：⑴/(x)=x+：,具体见解析⑵2

-^—=-2

~a+b，解得a=1

解析：⑴/(-1)=-2,又"x)是奇函数，'F⑴=2,j

b=0

^=2

a+b

,∙,/(x)=x+^∙;

函数f(