一元二次方程完整版

2.1一元二次方程第2章一元二次方程

导入新课讲授(jiǎngshòu)新课当堂(dānɡtánɡ)练习课堂(kètáng)小结九年级数学上（XJ）教学课件第一页，共三十页。学习(xuéxí)目标1.理解一元二次方程的概念.（难点）2.根据一元二次方程的一般形式(xíngshì)，确定各项系数.3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）第二页，共三十页。导入新课复习(fùxí)引入没有(méiyǒu)未知数1.下列式子哪些是方程？2+6=82x+35x+6=22x+3y=8x-5＜18代数式一元(yīyuán)一次方程二元一次方程不等式分式方程第三页，共三十页。2.什么(shénme)叫方程？我们学过哪些方程？含有未知数的等式(děngshì)叫做方程.我们学过的方程有一元(yīyuán)一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.3.什么叫一元一次方程？含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.想一想：什么叫一元二次方程呢？第四页，共三十页。问题1:如图，已知一矩形(jǔxíng)的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）.解：设由于圆的半径(bànjìng)为xcm，则它的面积为3x2

cm2.整理(zhěnglǐ)，得根据题意有，200cm150cm一元二次方程的概念一讲授新课第五页，共三十页。问题2:如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均(píngjūn)增长率x应满足的方程.解：该市两年来汽车(qìchē)拥有量的年平均增长率为x整理(zhěnglǐ)，得根据题意有，第六页，共三十页。问题3

在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛(huātán).如图要使花坛(huātán)的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？3220x第七页，共三十页。1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面______m2，纵向小路的面积(miànjī)是

m2,两者重叠的面积是

m2.32x2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意(tíyì)，列出方程吗？整理(zhěnglǐ)以上方程可得：思考：2×20x32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=5702x2x2-36x＋35=0③3220x第八页，共三十页。想一想：还有其它的列法吗？试说明(shuōmíng)原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x3220第九页，共三十页。观察(guānchá)与思考方程(fāngchéng)①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？特点(tèdiǎn):①都是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.x2-36x＋35=0③第十页，共三十页。只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以(kěyǐ)化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.ax2+bx

+c

=0(a

,

b

,

c为常数(chángshù),

a≠0)ax2称为(chēnɡwéi)二次项,

a

称为二次项系数.

bx

称为一次项, b

称为一次项系数.

c

称为常数项.知识要点一元二次方程的概念

一元二次方程的一般形式是第十一页，共三十页。想一想为什么一般形式(xíngshì)中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c可以为零吗？当

a=0时bx＋c=0当

a≠0，b=0时

，ax2＋c=0当

a≠0，c

=0时

，ax2＋bx=0当

a≠0，b

=c

=0时

，ax2

=0总结(zǒngjié)：只要满足a≠0，b，

c

可以为任意实数.第十二页，共三十页。典例精析例1

下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）C不是整式(zhěnɡshì)方程含两个(liǎnɡɡè)未知数化简整理(zhěnglǐ)成x2-3x+2=0少了限制条件a≠0提示

判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.第十三页，共三十页。

判断下列方程(fāngchéng)是否为一元二次方程(fāngchéng)？(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0

(1)x2+x=36第十四页，共三十页。例2:a为何值时，下列(xiàliè)方程为一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1

－2x－7=0.解：(1)将方程式转化为一般(yībān)形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；

(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数(cìshù)等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．第十五页，共三十页。变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0,（1）在什么(shénme)条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？解（1）当2a－4≠0，即a≠2时是一元二次方程（2）当a=2且b≠0时是一元(yīyuán)一次方程第十六页，共三十页。一元一次方程一元二次方程一般式相同点不同点思考(sīkǎo)：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b(a≠0）ax2+bx+c=0(a≠0）整式方程，只含有(hányǒu)一个未知数未知数最高次数(cìshù)是1未知数最高次数是2第十七页，共三十页。例3：下列方程是一元二次方程吗？若是，指出其中(qízhōng)的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x(1–x)

+10=2(

x+2)（2）5x(

x+1)

+7=5x2-4.解：（1）去括号(kuòhào)，得3x-3x2+10=2x+4.移项(yíxiànɡ)，合并同类项，得-3x2+x+6=0，这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6.第十八页，共三十页。可以(kěyǐ)，其中二次项系数是3，一次项系数是1，常数项是6.思考：上式可以写成3x2-x-6=0

吗？那么各项系数又是多少(duōshǎo)？常数项是多少(duōshǎo)呢？第十九页，共三十页。去括号(kuòhào)，得移项(yíxiànɡ)，合并同类项，得这是一元(yīyuán)一次方程，不是一元(yīyuán)二次方程.（2）5x(

x+1)

+7=5x2-4.5x2+5x+7=5x2-4.5x+11=0，第二十页，共三十页。练一练：将方程(fāngchéng)3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号(kuòhào)，得3x2-3x=5x+10.移项、合并(hébìng)同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.系数和项均包含前面的符号.注意第二十一页，共三十页。视频(shìpín)：一元二次方程一般式第二十二页，共三十页。当堂(dānɡtánɡ)练习

1.

下列(xiàliè)哪些是一元二次方程？√×√××√3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-1第二十三页，共三十页。2.填空(tiánkòng)：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项-21313-540-53-2第二十四页，共三十页。3.关于x的方程(fāngchéng)(k2－1)x2＋

2(k－1)x＋

2k

＋

2＝0,当k

时，是一元二次方程．当k

时，是一元一次方程．≠±1＝－1第二十五页，共三十页。4.(1)有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分(bùfen)折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？100cm50cmx3600cm2解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据(gēnjù)方盒的底面积为3600cm2,得化简，得该方程中未知数的个数和最高次数(cìshù)各是多少？第二十六页，共三十页。(2)要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划(jìhuà)安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?解：根据(gēnjù)题意，列方程：化简，得：该方程中未知数的个数和最高次数(cìshù)各是多少？第二十七页，共三十页。课堂(kètáng)小结一元二次方程概念(gàiniàn)是整式方程；含一个(yīɡè)未知数；最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；列方程第二十八页，共三十页。见本课时(kèshí)练