陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模理科数学试题（解析版）

陕西省西安市长安区2023届高三一模数学（理科）试卷

长安区高三质量检测

数学（理科）试题

注意事项：

L本试题共4页，满分150分，时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题K答案X后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的K答案》标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它K答案X标号，回答非选择题时，将K答案』

写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合A={X°<■x≤4，xeN}，■β={x∣2•v≤6},则A'B=（）

A.{1,2}B.[1,2JC.{1,2,3}D.[1,3]

K答案』A

K解析』

K祥解》解指数不等式化简集合B,再利用交集的定义求解作答.

K详析D解不等式2、≤6得：x≤10g26,则B={x∣xG0g26},而2<logz6<3,又A={l,2,3,4},

所以AB={l,2}.

故选：A

2.甲乙两位射击运动员参加比赛，抽取连续6轮射击比赛的成绩情况如下:

甲：80、70、80、90、90、70；乙：70、80、80、80、70、80

则下列说法中正确的是（）

A.甲比乙平均成绩高，甲比乙成绩稳定

B.甲比乙平均成绩高，乙比甲成绩稳定

C.乙比甲平均成绩高，甲比乙成绩稳定

D.乙比甲平均成绩高，乙比甲成绩稳定

K答案，B

K解析D

K祥解Il根据给定数据，求出甲乙成绩的平均数及方差，再比较判断作答.

80+70+80+90+90+70Q八

K详析Il依题意，甲射击成绩的平均数内--------------------=oθ>

6

方差s；='[2(80-80)2+2(70-80)2+2(90-80)2]=—

63

70+80+80+80+70+80_230

乙射击成绩的平均数%=

63

.->IrC∕rc23092302τ200.-...22

方差jSW=—[2(70——)^+4(——80)^]=———,因此玉>χ,5∣^>S，

633992

所以甲比乙平均成绩高，乙比甲成绩稳定.

故选：B

3.复数Z满足z3=—2+2i，贝IJz=()

A.1-iB.l+iC.-l-iD.-l+i

K答案HB

K解析』

K祥解》设复数z=α+加,mSeR),则根据题意根据复数相等列出关于。力的方程，即可求得K答案1

K详析』设复数z=α+历,(α,∕∈R),则由=-2+2i可得3+历)'=-2+2i,

即ai+3a2bi+3ab2i2+(⅛i)3=-2+2i,

则/_3时=-2,3a2b-bi=2,整理得(«-b)(a2+4ab+b2)=0,

当α=〃时，解得。=匕=1,此时Z=I+i,

当α2+44b+∕=o时，即(θ+26)2=3必，

则结合各选项，该式均不成立，

故选：B

IOx-I「乃乃

4.函数/(x)=U__Lsinx在区间一彳上的图象大致为()

10'+122

K答案1A

K解析』

K祥解》利用函数的奇偶性和指数函数的性质，排除选项得出正确K答案儿

ι∏-χ_i1_10v

K详析UVʃ(-ɪ)----------sin(-X)=-----------sinX=/(x)

10^v+l',1+10'

10,-1

.∙./(%)=—~-∙sinx偶函数，排除选项B和D

10'+1

1CX1

当0<x<5时，sinx>O,IoA>1,即/（x）=Uɪi∙sinx>O,排除选项C

2101+1

故选：A

11

5.在平行四边形ABCO中,AE=-AD,CF=-CD,则BA=（）

6923

A.-AF——CEB.-AF——CE

5555

6923

C.-AF+-CED.-AF+-CE

5555

K答案』C

K解析1

R祥解』设A8=α,AD=Z?，将84，AF-CE都用a，6表示，设84=MA尸+"CE，解出机，机

设A8=a,AD=b>

12

因为AE=—AD,所以CE=CD+DE=-a——b,

33

I2

因为CT=—CO,所以A尸=A。+。/=/?+—a,

33

设64=mAf+〃CE，则一a=根S+§a）+〃（一。一§〃），

-2,

-m-n=-1

36969

，解得根=一，〃=一，即BA=-Ab+-CE.

25555

m——n=On

3

故选：C.

6.我国古代数学家僧一行应用“九服号影算法”在《大衍历》中建立了辱影长1与太阳天顶距

6(0。≤e≤180。)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，唇影长

度/等于表高/Z与太阳天顶距。正切值的乘积，即∕=6tane.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳

天顶距分别为a,£，且tan（α-4）=；,若第二次的“唇影长”与“表高”相等，则第一次的“唇影长”是“表高”

的（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

K答案》B

K解析》

K祥解Il根据给定条件，可得tan分=1,再利用和角的正切公式计算作答.

K详析》依题意，tan力=1,则tanα=tan[(α-夕)+0=网丝旦粤J=2,

1-tan(tz-p)∙tanβɪɪ

~3

所以第一次“辱影长”是“表高”的2倍.

故选：B

3TT71

7.下列是函数/(X)=2Sin(X+—)Sin(X+—)图像的对称轴的是()

44

πC兀〃兀C兀

A.X——B.X=-C.X=-D.X=一

6432

K答案》D

K解析》

K祥解D根据给定条件，利用诱导公式及二倍角公式化简函数/(X),再利用余弦函数的性质求解作答.

JiTTTTTTJiTT

K详析H/(x)=2sin[(ɪ+—)+—]sin(x+—)=2sin(ɪ+—)cos(x+—)=sin(2x+—)=cos2x,

424442

显然/(*=CoSl=gw±l,/(?)=COSI=OW±1,/(])=cosg=-g≠±l,ʃ(ɪ)=cosπ=-1,

所以函数/'(x)=2Sin(x+型)sin(x+q)图像的对称轴的是x=5,ABC错误，D正确.

442

故选：D

8.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为8cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒

内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（）

A,/∏√B.空C.2√

1D-

3333

K答案2c

K解析』

K祥解》棱长为8的正四面体放入正方体，使正方体面对角线长等于正四面体棱长，然后求出体积作答.

K详析》依题意，要使棱长为8cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，

则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，

如图，正四面体ABC。的棱长为8cm,该正四面体的所有棱均为正方体对应的面对角线,

所以该正方体棱长为4√∑cm，盲盒内剩余空间的体积为4×∣×→4√2×4√2×4√2="等(cm3).

故选：C

，2

9.己知点尸(4,0)是双曲线C:，-与=1(。>O/>0)的右焦点,过点尸向C的一条渐近线引垂线垂足为A,

cΓb2

交另一条渐近线于点艮若2Ab=/8,则双曲线C的方程为()

222222ɔ2

A.^-2L=1B.土-匕=1C.土-匕=1D.三-工=1

124412106610

R答案?A

K解析》

K祥解』根据给定条件，利用点到直线距离公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式计算作答.

2

K详析』双曲线C:二=1的渐近线方程为：bx±ay=0,不妨令点A在直线bx-αy=0上,

a^

a2+⅛2=16.如图,

4h4h,

因为AFJ_Q4,则IAFl=/,,=;=b，而2AF=FB，即有IFBI=2∣AEI=2"IABl=32,

____________________b

1222

IOAI=y∣∖OF∖-∖AF∖=√4-b=a.sinZAOF=-,由2A/=/8知，点AB在），轴同侧,

兀h

于是/4。8=2/4。尸6(0,—),cosZAOB=1-2sin2ZAOF=1——>0，⅛2<8>

28

在RtAAOB中，1081=JIoAI2+1AgI2=y∣a2+9b2=J16+8/,由IQ4∣=∣OBleOSNAOB得：

a=√16+8Z?2∙(1--).整理得：8(16-〃)=(户+2)(8％化简得/一以〃+40=0,解得/=4

8

或加=10(舍去)，

22

所以从=4,/=12,双曲线方程为土—匕=1.

124

故选：A

10.已知函数"x)满足2f(x)+y(τ)=-2x,若2"=log2b=c,则()

A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(b)<f(c)<f(a)

C./(«)</(c)<∕(∕?)D.f(c)<f(^)<f(a)

K答案2B

K解析H

K祥解》求出/(X)的K解析】式，在同一坐标系中作y=c,y=23y=l0g2X,V=X的图象，得到

a<c<b,借助/(X)的单调性进行判断即可.

K详析D因为2∕(x)+∕(-x)=-2x,所以2∕(-x)+√∙(x)=2x,

^2∕(%)+∕(-x)=-2x

联立＜得/(x)=-2x,在R上单调递减,

2∕(r)+f(X)=2x

在同一坐标系中作y=c,y=2*,y=Iog2ɪ,y=x的图象，如图,

所以α<c<h,故/(匕)<∕(c)<∕(a).

故选：B.

11.在三棱锥A—JeCD中，平面AeD，平面BCD,.ACD是以CQ为斜边的等腰直角三角形，M为CD

中点，BMYBC,AC=23C=4,则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A.16πB.24兀C.32πD.40π

K答案》D

K解析』

K祥解』分析得到球心。在平面ACD的投影与M点重合，由面面垂直得到球心O在平面8C。上，作出

辅助线，球心。在上，设OM=X,由半径相等列出方程，求出X,进而得到外接球半径，求出表面积.

K详析》因为ACD是以CO为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点,AC=4,

所以AMJ_C£>,且AΛ∕="C=2√^,

因为23C=4,所以3C=2,而

由勾股定理得：BM=VCM2-BC2=2，所以BM=BC,

故」BOW为等腰直角三角形，ZBMC=45°,ABMD=I35。,

由题意得：球心。在平面ACD投影与M点重合，

因为平面4CD，平面BCD所以球心O在平面Ba）上，

在平面BC。上，过点历作M8,故NBMH=45°,

球心。在上，设OM=X,

由余弦定理得：OB2=。"2+8知2_2OM∙8McosN8W∕=χ2+4-2缶，

则Ao2=A"+Q”=8+f,

由=AO2得：X2+4-2√2%=8+X2>解得：x=-√2.

设外接球半径为R,则心=8+卜起『=10,

故该三棱锥的外接球的表面积为4兀W=4（）兀.

A

故选：D

H点石成金口解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要

注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相

等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求

得球的半径.

12.设函数/(x)的定义域为R,满足/(x+2)=2"x),且当x∈(0,2］时,/(χ)=χ(2-x).则下列结

论正确的个数是()

①〃7)=8；

(13~

②若对任意x∈(-8,问，都有/(x)≤6,则用的取值范围是I-8,了；

③若方程/(力=加(％-5)恰有3个实数根，则"，的取值范围是(一1,一；)

①函数/(力在区间［2〃-2,2〃］(〃£氏)上的最大值为《，若⅛IGN+,使得∕L4<2”7成立，则

2/3一

λ∈I—∞,—16」.

A.1B.2C.3D.4

K答案』B

K解析》

K祥解》由题意推出函数的K解析D式，作出函数图象，利用K解析』式可判断①；解方程，结合函数

图象可判断②；举反例取特殊值，”=-1,可判断③；根据函数K解析》式求得最值，可得勺表达式，分离

参数，^3rt∈N+,使得；lα,,<2〃-7成立转化为数列的单调性问题，可判断④.

K详析』函数〃尤)的定义域为R,满足/(x+2)=2∕(x),即F(X)=2/(%-2),

且当x∈(0,2]时,/(x)=x(2-x),

当x∈(2,4]时，x-2∈(0,2],故/(x)=2(x-2乂4—x)=-2χ2+12x-16,

当％∈(4,6]时,%-2∈(2,4],故/(x)=2[—2(X-2)2+12(X-2)—16]=-4x2+40X-96,

依次类推，

当Xe(2〃-2,2n]时，/(X)=-2',-ix2+2"(2〃—I)X—2,,^'(2〃)(2〃-2)

=-2,,^'X2+2n(2n-I)X-2nn(2n-2),

由此可作出函数/(x)的图象如图：

对于①，7e(6,8),此时〃=4,⅛∕(7)=-23×72+24(2×4-l)×7-24×4(2×4-2)

=-392+784—384=8,①正确；

对于②，当x≤6H寸，/(x)≤4;结合①可知当6<x≤8时，/(x)≤8;

故当X∈(6,8)时，⅜∕(χ)=-8x2+112x-384=6,

1513

即4χ2+56x+195=0,.∙.(2x-15)(2x-13)=0,解得玉>7,々=万<7,

又/⑺=8,故对任意x∈(τΛ,m∣,都有/(x)≤6,则加的取值范围是b*T,正确;

对于③，取机=-∣,则直线y=-χ+5,过点（3,2）,

结合图象可知y=∕'(x),y=-%+5恰有3个交点,

即/(x)=MX-5)恰有3个实数根，即说明机=T符合题意，则③错误；

对于④,当X∈(2M-2,2Q时,/(x)=-2n^'X2+2"(2n-l)x-2nn(2n-2),

其最大值为4=2n-'χ8"Q"2芋2"—1)-=

2n-7In-I

若⅛ιeN+,使得44<2〃-7成立，即4<方丁，即需

2〃一5

记勿=一^口一，则。用

2"

故也用一勿=^——k=三，当〃≤4时，2用一2>0,也,}递增;

13

当〃≥5时，h-b<0,{"J递减，又“=於4=77，

j+1n816

则85〉勿，故勿=MY的最大值为工

216

33

则λ<—，即％∈(―∞,—)，故④错误,

1616

综合可知，结论正确的个数是2个,

故选：B

Kr点石成金口难点『点石成金』：本题综合考查了函数的性质以及数列的单调性等，综合性较强，解答的

难点在于要明确函数的性质，明确函数的K解析』式，从而作出函数图象，数形结合，解决问题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设”为实数，mf(x)=ex-e-x+ax2导函数为/'(x),若f(x)是偶函数，则α=

此时，曲线y=八幻在原点处的切线方程为

K答案1①.0y=2x

K解析D

K祥解》由偶函数的定义得出“的值，再由导数的几何意义求切线方程.

K详析Hf∖x)=e'+e-χ+2ax,因为/(x)是偶函数，所以/'(-x)=J"(x)在XeR上恒成立，

则e`+e^v-2ax=e'+e^v+20x恒成立，故α=().

因为/(O)=1-4=0,∕,(%)=ev+e-v,∕,(0)=2,

所以曲线y=∕(x)在原点处的切线方程为丁-0=21-0),即y=2x.

故K答案U为：0；y=2x

14.已知直线A∕nx+y+百加-I=O与圆V+/=4交于A,8两点，若IABl=2,则a=.

K答案》—且##」四

33

K解析』

K祥解》根据给定条件，利用圆的弦长公式求出圆心到直线/的距离即可求解作答.

K详析》圆V+y2=4的圆心O(0,0),半径r=2,因为圆。的弦A8长为2,

则点O到直线/的距离d=,产一(；IABl)2=√22-l2=√3,

∣G∕I∣m,uJV3∕∏-l∣瓜融鸡√3

而d=—j=，因此一=√3,解得m=-----，

‰2+l2√l∕n2+l3

所以/〃=一^~∙

3

故R答案》为：-且

3

15.已知在_A3C中，角A3,C所对边分别为ab,c,满足2。COSA+α=2c,且。=26，则2。一C

的取值范围为.

K答案力(-2√3,4√3)

K解析H

K祥解》根据已知利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得8=三，从而可表示出2α-c的表达式，

利用辅助角公式化简结合三角函数的性质，即可求得K答案』.

K详析D由题意在一ABC中，满足2)CoSA+〃=2c,即2sin3cosA+sinA=2sinC=2sin(A+3),

即sinA=2sinAcosB,而A∈(0,π),/.SinA≠0,

1π

故COSJB=―,又3∈(0,π),8=—,

23

Z?sinA2ʌ/ɜsinA..1

则sin8G，同理c=4smC,

~2

2TT

故2。-c=8sinA-4sinC=8sinA-4sin(--A)

=6sinA-2Λ∕3COSA=4√3sin(A--),

6

B,小2兀、.π/兀兀、M∙(兀、(1八

又A∈(0,—),/.A-—∈(一;，7)，故SlnA71-—∈,1,

3662I6j{2J

则2〃-CE2∖∕3,4∙x∕3),

故K答案D为：(一2g,4√5)

16.在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，已知。是滑杆上的一个定点，力可以在滑杆上自由移动，线

段∣Q4∣=∣4D∣=3,点E在线段Ar)上，且满足AE=AED，若点E所形成的椭圆的离心率为当，则2=

K解析》

K祥解11建立坐标系，求得尸点的轨迹方程，从而求出点E的轨迹方程，结合椭圆的几何性质，列方程即

可求得K答案U.

K详析》如图，以。为原点，。。为X轴，过点。作。。的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，

过点E作。。的垂线交延长线于P,交。。于M

作AF_LPK,垂足为F，则A尸〃。D,

因为IOAI=I的=3,故ZPAF=ZAOD,ZEAF=ZADO,则ZPAF=ZEAF,

故IPAl=IAE∖,∖PF∖=∖EF∖

设AE=rAD,(O<∕≤l),贝∣]IΛ41=∣AE∣=3z,故IoPl=3+3，,

则P点的轨迹方程为X2+/=9(1+O2，

IEFIIAEI

由于则扇=房=''^I^HEFhZ∣MF∣,

则IPMI=(l+r)∣MF∣,∣EM∣=(l-r)∖MF∖,

2

设E(X,y),则X=xp,y=ɪ-1力,而Xp+yj,=9(1+r)t

故/+(∙L±Iy)2=9(l+f)2,即为E点轨迹方程，表示椭圆，

1-t

29

即上＞+上^=］，

9(1+7)29(17A

由于椭圆的离心率为侦，BPl-9αɪ⅞=(-)2,

59(1+r)25

22

解得『=§,即AE=§A。，

由于AE=∕IE。，故2=2，

故K答案》为：2

Kr点石成金口关键点『点石成金』：解答本题时，要明确由该题中的方法形成椭圆的过程，因此解答时结

合平面图形几何性质，判断尸点轨迹为圆，由此解答本题的关键在于要由此确定E点的轨迹方程，从而根

据椭圆的性质求得K答案n.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17〜21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为洗考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.已知等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，满足%=6,.

在①S3=%；②E=20；③4+%+“8=3。这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答(注：

如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选”)

(I)求｛4｝的通项公式；

(2)设"=2。”+可，求也｝的前〃项和北.

K答案JI(I)4=2〃

(2)7；,=∣(4n-l)+π2+π

R解析工

2

K祥解II(I)根据等差数列的基本量的运算可得＜C，进而即得;

2

(2)利用分组求和法即得.

K小问1详揄

设等差数列｛风｝的首项为4,公差为d

若选择条件①S3=ab,则由4=6,

q+2d=6a,=2

解得,C

3al+3d-aλ+5Jd=2

.∙.all=2+2(〃-I)=2〃；

若选择条件②品=20,则由%=6,

q+2d=6

α∣=2

得《4×3J解得,

4ZIq÷-J=20d=2

/.an=2+2(〃-1)=2〃；

若选择条件③4+。5+。8=30，则由。3=6，

a.+2d-6[a.=2

得”/八W解得]ɔ-

3(q+4d)=30Id=2

.*.all-2+2(〃-l)=2n∙

K小问2详析)

由(1)知，选择三个条件中的任何一个，都有《,=

2n,

则bn=T-+a,,=2+2n=4'+2n,

，也}的前〃项和(=(4∣+下+型+∙+4(,)+2(l+2+3++〃)

,

4(l-4')n(l+∏)4\2

=--------+2×-------=-(z4"-↑}+n^+n

1-423、7

18.如图，在四棱锥P-ABCD中，24，平面ABCr>,AD±CD,AD//BC,∕%=AT>=8=2,

BC=3,E为Po的中点，尸在PC上，满足所_LPC.

(I)求证：CD_L平面PAZM

(2)求二面角3-AF-C的余弦值.

K答案1(1)证明见K解析D.

K解析H

K祥解D(1)根据线面垂直的判定定理即可证明结论；

(2)建立空间直角坐标系，根据题意求得相关点坐标，求出点尸的坐标，求出平面ABE和平面AC尸的

法向量，根据空间角的向量求法，即可求得K答案》.

K小问1详析』

证明：因为B4_L平面ABC。，CoU平面ABCA所以LCD,

又因为LCr>,PACAz)=APAADU平面尸A。,

所以Cr)，平面/%。.

小问2详析工

过4作AO的垂线交BC于点M,

因为PAJ_平面ABCD,AM,AoU平面ABCr>,

所以P4,AM,P4LAD,

以A为坐标原点，以A",AD,AP分别为X,Xz轴，建立空间直角坐标系如图,

八Z

则A(0,0,0),3(2,TO),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),

因为E为尸。的中点,所以E(OJl),

因为F在PC上，设AR=2元="2,2,-2),则方(24242-2%),

i⅛EF=(22,22-1,1-22),

因为砂_LPC,所以所J.PC,:.E/JPC=0,

即(242/l—l,l—24)∙(2,2,—2)=0,即12X-4=O,r.2=’,

3

即《|令，

224

所以A尸=AB=(2,-1,0),

m∙AB—0

设平面AB/7的一个法向量为m=(x,y,z),贝叫，

m∙AF=0

2x-y-Q

即《224，令χ=2,则y=4,z=-3,故m=(2,4,-3)；

-x+-y+-z-0

〔333

UUUιi∙AC=Q

AC=(2,2,0),设平面AC尸的一个法向量为"=(α,4c),则＜

n∙AF=0

2a+2b=0

即《224，令α=l,则A=-LC=0,故方=(1,-1,0),

-a+-b+-c=G

1.333

m∙n-2√58

故cos(m,〃〉=

阿川√29×√2^29^

由图可知二面角8—AE—C为锐角，故二面角8—A/一C的余弦值为叵.

29

19.设抛物线。：〉2=2,工(〃>0)的焦点为尸，MeC,。在准线上，Q的纵坐标为6p,点M到尸与

到定点Q的距离之和的最小值为4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过产且斜率为2的直线/与C交于A、B两点，求二ABQ的面积.

K答案》(1)y2=4x,

(2)√15+2√5.

K解析』

K祥解』(I)由已知可推得IFQl=4,求出RQ的坐标代入，即可得出关于P的方程,求解即可得出p=2；

(2)由已知可求得直线方程为y=2(x-1),联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理求出弦长IA同.然后

根据点到直线的距离求出点。到直线的距离，即可得出面积.

K小问1详析』

由已知可得，/(与°}—多

因为月+IMQ∣≤∣EQ∣,当且仅当M,EQ三点共线时，取得最小值.

又阿同+∣M2∣≤4,所以Wa=4,

即J")+(Gpj=4,整理可得p2=4,

因为〃>0，所以p=2.

所以，抛物线C的方程为V=4χ.

K小问2详析』

由(1)知，F(l,0),所以直线/的方程为y=2(x-l),e(-l,2√3).

V2=4x

联立直线/与抛物线的方程「7八可得，X2-3X+1=0.

y=2(x-l)

x+X=3

设A(χ,y),3(w,%),则由韦达定理可得＜l2

xlx2=1

所以IAM=J(Xl-々I+(M-必)~=Vl+22J(Xl+%)2-4中2=5.

又点°(一1,2@到直线/:y=2(x-1),即直线2x—y—2=()的距离为

∣2×(-l)-2√3-2^2√i5+4√5

二衣+三

所以，-ABQ的面积S=LXIA3∣∙d=Lχ5x冬昼也叵=岳+2百.

21125

K『点石成金D方法『点石成金』：求圆锥曲线中的有关三角形的面积时，常联立直线与曲线的方程，根据

韦达定理求出弦长.然后根据点到直线的距离公式，求出三角形的高，即可得出.

20.某学校组织知识竞答比赛，设计了两种答题方案：

方案一：先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；

方案二：全部回答单选题.

其中每道单选题答对得2分，答错得0分；

多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项得0分.

每名参与竞答的同学至多答题3道.在答题过程中得到4分或4分以上立刻停止答题.统计参与竞答的500名

同学，所得结果如下表所示：

男生女生

选择方案一10080

选择方案二200120

（I）能否有90%的把握认为方案的选择与性别有关？

（2）小明回答每道单选题的正确率为0.8：多选题完全选对的概率为0.3,选对且不全的概率为0.3.

①若小明选择方案一，记小明的得分为X,求X的分布列及数学期望；

②如果你是小明，为了获取更好的得分你会选择哪个方案?请通过计算说明理由.

K答案R（1）没有.（2）①分布列见K解析》；4.016.②选方案一，理由见K解析Il.

K解析》

K祥解》（1）根据题意完善列联表，计算K?的值，即可判断结论；

（2）①确定X的取值，求出每个值对应的概率，可得分布列，进而求得数学期望；②计算出选择方案二的

数学期望，和方案一进行比较，可得K答案》.

K小问1详析U

由题意完善列联表如图：

男生女生总计

选择方案一10080180

选择方案二200120320

总计300200500

故”=MX(I吵磔-2呼迎。2.315<2,706

300×200×320×180

故没有90%的把握认为方案的选择与性别有关.

K小问2详析】

①山题意可知X的所有可能取值为0」,2,3,4,5,

则P(X=O)=0.4X0.2X0.2=0.016,P(X=D=0.3×0.2X0.2=0.012,

P(X=2)=0.4X2X0.8x0.2=0.128,P(X=3)=0.3×0.2×0.2+0.3×2×0.8×0.2=0.108

P(X=4)=0.4x0.8x0.8=0.256,

P(X=5)=0.3x0.8+0.3x0.2x0.8+0.3x0.8χ0.8=0.480,

故X的分布列为：

X012345

P0.0160.0120.1280.1080.2560.480

故X的数学期望E(X)=IXO.012+2x0.128+3x0.108+4x0.256+5x0.480=4.016.

②设选择方案二的得分为K则y的可能取值为0,2,4,

则P(y=0)=0.2×0.2×0.2=0.008,P(Y=2)=3χ0.8χ0.2χ0.2=0.096,

P(Y=4)=0.8×0.8+2×0.82×0.2=0.896,

故E(Y)=2×0.096+4×0.896=3.776,

因为E(X)>E(y),故为了获取更好的得分,小明会选择方案一∙

21.已知函数/(x)=e*-χ2,求证:

(1)/(χ)存在唯一零点；

(2)不等式e'T-胃+%一1+(InX)2N0恒成立.

K答案力(1)见K解析》(2)见K解析』

K解析】

K祥解D(1)由导数得出f(χ)的单调性，结合零点存在性定理证明即可；

(2)先证明InX≤x-l,再由/*)的单调性，证明不等式即可.

K小问1详析』

尸(X)=e*-2x=g(x),g<x)=e*-2.

当x>ln2时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增：

当x<ln2时，g'(x)<O,此时函数g(x)单调递减；

所以g(ln2)=eh*2-21n2=2-ln4>0,即g(x)>0J'(x)>0.

所以/(X)在(-∞,+∞)上单调递增，/(0)=1,/(—1)=!一1<0.

则在(TO)上，存在%,使得/(xo)=O,即/(X)存在唯一零点;

K小问2详析》

/(ln%)=elnr-(lnɪ)2=%-(ln%)2,/(ɪ-l)=ev-'-(%-1)2=er^'-x2+2x-∖

11—Y

令〃(X)=InX-x+l(x>0),h,(x)=——1=-----.

XX

当0<x<l时，/(x)>0,此时函数∕z(x)单调递增；

当x>l时，WXO,此时函数〃(％)单调递减；

即Mx)≤Zi(I)=O,故InX≤x-l.

因为函数/(ɪ)在(-∞,+∞)上单调递增，所以/(InX)≤/(x-1).

即ejr^'-x2+2%-l-x+(ln%)2≥0.

故不等式e'T-/+χ-1+(InX)2NO恒成立.

H点石成金』』关键『点石成金』：在证明第二问时，关键是由导数证明InX≤x-l,再利用函数/S)的单

调性证明，在做题时，要察觉到这一点.

(二)选考题：共10分.考生从22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

K选修4-4：坐标系与参数方程』

2

t11

X=W+科

22.在直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为《La>0,t为参数).

,3-逑

It

(I)求曲线C的直角坐标方程；

(2)己知直线/：X—y-l=0与X轴的交点为尸，且曲线C与直线/交于A、B两点，求∣E4∣∙∣EB∣的值.

K答案Il(I)y2=l2x

(2)24

K解析D

t21

X=—