2022年四川省达州市渠县涌兴中学高二数学理上学期摸底试题含解析

2022年四川省达州市渠县涌兴中学高二数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若f（x）=﹣x2+（a+2）x+lnx在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣3，﹣1） C．[﹣1，0） D．[0，+∞）参考答案：A【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，当x＞1时，f′（x）≤0，即a≤x﹣﹣2．利用单调性求得函数y=x﹣﹣2＞﹣2，从而求得a的范围．【解答】解：由题意可得，当x＞1时，f′（x）=﹣x+a+2+≤0，即a≤x﹣﹣2．由于函数y=x﹣﹣2在（1，+∞）上单调递增，∴y＞﹣2，∴a≤﹣2，故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，函数的单调性与导数的关系，利用函数的单调性求函数的最值，属于基础题．2.椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B3.下列四个命题中的真命题是（

）A．经过点P(x0，y0)的直线一定可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示B．经过任意两个不同点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示C．不经过原点的直线都可以用方程=1表示D．经过点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx＋b表示参考答案：B4.若函数在R上可导，且=，则（

）A.

B.

C.

D.不能确定参考答案：C略5.函数在区间上的最大值为（

）A.2 B. C. D.参考答案：D【分析】求出导函数，利用导数确定函数的单调性，从而可确定最大值．【详解】，当时，；时，，∴已知函数在上是增函数，在上是减函数，.故选D．【点睛】本题考查用导数求函数的最值．解题时先求出函数的导函数，由导函数的正负确定函数的增减，从而确定最值，在闭区间的最值有时可能在区间的端点处取得，要注意比较．6.设，为复数且满足，则在复平面内对应的点在（）．Ａ．轴下方

Ｂ．轴上方

Ｃ．轴左方

Ｄ．轴右方参考答案：B7.若数列由确定，则的值为（

）A.9900

B.9902

C.9904

D.9906参考答案：B8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则sinB=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】先根据正弦定理以及题设条件可知==sinA进而求得sinB的值．【解答】解：由正弦定理可知=∴==sinA∵sinA≠0∴sinB=故选B9.不等式的解集为A.

B．

C．

D．参考答案：A10.一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积为（）A． B． C．1 D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，分别求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=×1×1=，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故选：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r=

．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，由此能求出半径r．【解答】解：∵直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，∴圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，即d=，解得r=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．12.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD–A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，，3D打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.参考答案：118．8【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量.【详解】由题意得，，四棱锥O?EFG的高3cm，∴．又长方体的体积为，所以该模型体积为，其质量为．【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．13.已知直线与轴，轴分别交于两点，若动点在线段上，则的最大值为________.参考答案：略14.已知，则

．参考答案：因为，所以,所以|－+2|．15.如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE,BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于C、D，若∠AEB=,则∠PCE等于

.参考答案：16.已知的三个内角,,所对的边分别为，，，则边=

．参考答案：17.已知函数f（x）=axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=2，则a的值为

．参考答案：2【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x），根据f′（1）=2列出方程解出a．【解答】解：f′（x）=alnx+a，∵f′（1）=2，∴a=2．故答案为2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，该椭圆的离心率为，A是椭圆上一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过F2的直线l交椭圆于P、Q两点，且满足△POQ的面积为，若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设F2（c，0）（c＞0），由椭圆的离心率为，A是椭圆上一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为．列出方程求出a，b，即可求解椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，化简利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，然后求解直线l的方程．当直线l垂直于x轴时，运算即可．【解答】解：（1）设F2（c，0）（c＞0），由得，，∴b=c，∵，直线即，∵，∴即所求椭圆的方程为．

…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程得：（1+2k2）x﹣4k2x+2k2﹣2=0，k2…点O到直线l的距离…，解得k2=1，∴k=±1…所以，直线l的方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0当直线l垂直于x轴时，，不符合

…所以，所求直线l的方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．…19.如图，弧为半圆，为半圆直径，为半圆圆心，且，为线段

的中点，已知，曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变。

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；

（Ⅱ）过点的直线与曲线交于、两点，与所在直线交于点，若求证：为定值。参考答案：解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，

∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．且点Q在曲线C上,

∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．

∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1．

∴曲线C的方程为+y2=1

……………6分（Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为，

又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

∵，∴．

∴，．

……………8分

将M点坐标代入到椭圆方程中得：，

去分母整理，得．

……………11分

同理，由可得：．

∴，是方程的两个根，

∴．

……………14分（Ⅱ）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

显然直线

的斜率存在，设直线

的斜率为，则直线

的方程是．

将直线

的方程代入到椭圆

的方程中，消去

并整理得

．

……………9分

∴，．

又∵，

则．∴，

同理，由，∴．

……………12分

∴．……………14分20.已知函数（为常数,）.（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）当时，判断在上的单调性；（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.参考答案：解：.（1）由已知，得且，，，.（2）当时，,,当时，.又，，故在上是增函数.

（3）时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为，于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.记，（）则，当时，，在区间上递减，此时，，由于，时不可能使恒成立，故必有,.若，可知在区间上递减，在此区间上，有与恒成立矛盾，故，这时，在上递增，恒有，满足题设要求，，即，所以，实数的取值范围为.

略21.(本题满分10分)求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率。参考答案：设所求双曲