2023高考数学复习 23　最值、范围问题

微专题23最值、范围问题

高考定位解析几何中的最值与范围问题是解析几何中的典型问题，是教学的重

点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行

研究，而且要从代数角度进行函数、三角等相关运算.

真题研析类题突破研真题析类题

2

［高考真题］(2022∙浙江卷)如图，已知椭圆?√=L设A,B是椭圆上异于P(O,

1)的两点，且点Q(0,J)在线段AB上，直线以,PB分别交直线y=-∣x+3于C,

D两点.

⑴求点P到椭圆上点的距离的最大值；

(2)求ICDl的最小值.

解⑴设M(2√5COS8,Sine)(8∈［0,2兀))是椭圆上任意一点，

由P(0,1),知∖PM∖2=12COS2∕9+(1—sin9)2=13—11Sin2。一2sinθ

144(1'21441

=T-11sin9+γγ,Wη~p,当且仅当Sine=­ɪɪ时取等号，

故IPM的最大值是卑ɪɪ,

即点P到桶圆上点的距离的最大值为卑ɪɪ

(2)易知直线AB的斜率存在，设直线A&y=kx+^,联立直线AB与椭圆的方程,

消y整理得(炉+・卜+丘一(=0.

设AQi,ʃi),B(X2,"),

k

则Xl+冗2=一1，

^2+⅛

3

X1X2

⅛+⅛)

直线PA的方程为y="τ~x+ɪ,

ʌI

代入y=-^x+3,

整理得XC=广C**——V

xι+2yι-2(2⅛+1)xι~1

同理可得'崂益T(VI，

则ICQl=yi7IkC-XDl="|⑵+票XLl4x2

(2攵+1)X2—1

Xl-X2,

1

[(2^+1)ɪɪ-l][(2A:+1)Λ2-1]

_∣-_______________X∖-X2

2Λ∕5∣(2⅛+l)2χ↑χ2—(2/:+1)(xι+x2)+1

3小Λ∕16⅛2+1,

=2-I3⅛+11

6√5W2+1Xd⅞+1

5∖3k+l∖

4^x(+lXl)

›6√5

-5∖3k+↑∖

6√5

5，

3

当且仅当4攵=不

3

即Z=需时等号成立,

所以当Z=讳时，∣CD∣取得最小值，最小值为力一.

样题1(2022•北京丰台区模拟改编)已知椭圆C=^-+y2=l的左、右顶点分别为A,

B,P是椭圆C上不同于A,B的一点，直线布，PB与直线尤=4分别交于点M,

N,若IMMW4,求点尸横坐标的取值范围.

解设PQn,n)(~~2<m<2),

易得A(—2,0),BQ,0),

所以直线AP,BP的方程分别为

Yl几

y=κɑ+2),k=?L2),

令x=4,得点M的纵坐标为加=瘾，

9H

点的纵坐标为

Nm—2

〜6〃2〃4〃(加一4)

所以l

IMM=m-2"汴一4

因为点P在椭圆c±,

2

所以詈+/=1,

22

即m—4=-4n9

〃一4

则IMNI=

—n

因为IMNl<4,

m—4

所以一〃≤4,

即(〃L4)2W16/,

所以(〃?一4)2≤—4(m2—4),

整理得5m2-8m≤0,

Q

解得04"瑞

-Q-

故点P横坐标的取值范围是O,f.

99

样题2(2022.马鞍山模拟改编)在平面直角坐标系My中，椭圆E的方程为叁+]=

1,若坐标原点到直线/：y=丘+机的距离为1,直线/与E交于A,B两点,求H同

的最大值以及此时直线/的方程.

∣m∣

解由坐标原点到直线/：y=依+机的距离为1,可知

Λ∕I+⅛2

得m2=k2-∣-1,

y=kx+m,

联立

得(23+l)x2+Akmjc+2∕n2—8=0,

当直线/与椭圆E交于两点时，满足/>0,

即J=(4W-4(2⅛2+l)(2zn2-8)>0,

得∕=56S+24>0恒成立，

设A(XI,yι),B(X2,>2),

4krn2汴一8

则Xl÷X223+1'XIX2=2斤+］，

则IABl=∙∖∣l+尔(尤i+x2)2-4九1X2

=2√2∙√T÷P∙⅛^

2啦ʌ/(⅛2+1)(7⅛2+i5~

12F+1，

令2Λ2+lj

则记=丁~

代人得|A8|=A.3D：7LD

=#\/-T)+16,

由f21,可知0<;W1,

故当f=l时，IABl取得最大值2瓜

此时，Z=O,w=+l,直线/的方程为y=l或y=-1.

综上，IABl的最大值为2加，直线/的方程为y=l或y=—1.

样题3(2022•长沙联考改编)已知椭圆C：~+y2=l,其右焦点为R经过点尸的

直线/交椭圆C于P,。两点，点M—1，0),求aNPQ面积的最大值.

解易知/不与X轴重合，设/的方程为x=my+l,P(XI,yι),Q(X2,*),

.xz=my-∖-1

J=8m2+8>0,

2m

所以"+"=一赤，

2

(XI、”.f-.~~ɪ~Tl~^；∕δ(/M+D2&X∙‰2+ι

所以Iy2-H=N(yι+y2)-4yιy2=γ(//?+2)2=^+2

所以SANPQ=习NflIy2—ʃɪ∣=2×2×∣>'2-yι∣=∣p—yι∣=

令t=y∕m2+l,则t?1,

当且仅当r=γ,

即r=l时，等号成立，

此时，/层+1=1,即加=0,

所以ANPQ面积的最大值为也.

规律方法求解范围、最值问题的常见方法

(1)利用判别式来构造不等关系.

(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.

(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.

(4)利用基本不等式.

训练已知抛物线γ2=2px(p>0)的焦点/到点M(0,2)的距离为小.

(1)求抛物线的方程；

(2)若直线AB过点(2,0)与抛物线交于A,B两点,B关于X轴的对称点为。，直

线Ao与X轴的交点为E,求点E到直线AB的距离的取值范围.

解(1)由题意可知抛物线的焦点理，0),则点尸到M(0,2)的距离

d=∖l喷+4=小,

解得p=2或〃=—2(舍负)，

所以抛物线的方程为V=4χ.

(2)设直线AB的方程为X=〃少+2,

A(xι,γ∣),3(x2,”)，O(X2,—y2),

{x=my-∖-2,

联立直线AB与抛物线的方程2

[y2=4x,

消去X可得y2-4my-S=Q,

J=16m2+32>0,

所以yι+y2=4∕n,yi”=-8.

直线AO的方程为

yι+j2

Lyl=(X—Xl),

X]~X2

„.,—yi(Xl-X2)y∣Λ2÷V2XI

当y=0时，X=Xl+q-T--------=λ,?.

y十"y∣+γ2

将x2=∕ny2+2,XI="zyι+2代入上式可得

迎送

√VII乙乙,

y∖+yι

所以点风一2,0),

所以点E到直线AB的距离

„=L2-2|_4

ʌ/l+(­//2)2γ∣1+zn2

因为qi+'p'i,

所以"∈(0,4],

即点E到直线43的距离的取值范围为(O,4],

高分训练对接高考重落实迎高考

一、基本技能练

1.(2022・赣州模拟改编)已知直线y=履+〃2与椭圆：了+产=1相交于A,B两点,

与y轴交于点M,若存在加使得为+3为=4而，求实数m的取值范围.

解设A(XI,ʃɪ),Ba2,”)，

XX

又M(O,m)，由次1+3为=4而得(Xi+3x2,γι+3y2)=(0,4m),Λ∣=-32,

得(4⅛2+1)Λ2+8kmx-i-4m2—4=0.

VJ=(8M2-4×(4⅛2+l)×(4∕√-4)>0,

即64k2—16m2+16>0,

.∙.4⅛2-λn2+1>0,

由根与系数的关系得Xl+X2=-XIX2=北+：,

又Xl=-3x2,

.4km

∙∙X2=4∕+1'

2

(4kmY4/7z2—4

为・%I,

则2=_3/=_3(4F+J=4F+1

.*.16k2m2—4⅛2+m2—1=0,

.2^2~1

,"4-16m2*

代入4⅛2-m2+1>0,

///2-J1

得"j一m2>0,~τ<m2<l,

1—4m4

解得机∈(-1,—0u(3,1),

.∙.实数，〃的取值范围是

I-加&1)∙

2.如图，已知椭圆Cf+γ=l,点P(2,1)为椭圆C上一点.过点尸作两直线/1

与/2分别交椭圆C于A,B两点，若直线人与/2的斜率互为相反数，求IABl的最

大值.

解设直线/1为y=k(χ-2)+1,

则直线h为y——左(x—2)+1,

y=k(X—2)+1,

联立

=1,

整理得(2d+l)f+(4A—8d)x+(8F—8A—4)=0,

由J=(4⅛-8⅛2)2-4(2A2÷1)(8。一8A—4)=16(2+1)2>0,解得A≠一1,

R,8Λ2-8JI-4

又由XAXP=-2∣c+1-

4Zr-4⅛-2

可得XA=

2床+1

—2—1

-

贝1]yA=k(xA2)+1=一2Zr+l

4⅛2+4%-2

同理可得XB=

2d+1

-2⅛2+4⅛+l

”=2庐+1^^'

所以IABF=(XA-XBp+(泗一”)2=(2玄%)2=号≤J28]=16,

-，43+/+42\4出市+4

当且仅当七=±半时，等号成立,

因此，IABl的最大值为4.

3∙(2022∙淮安调研)设椭圆C：,+g=l(α>A>O)的左、右焦点分别为Fι,F2,离心

率为:，过原点。的动直线/与椭圆C交于M,N两点，其中点M在第一象限，

且IMF2∣+WB∣=4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过乃的直线交C于A,B两点，求面积的最大值.

解(1)连接MFi,NFi.

线段MN与线段尸互相平分，则四边形MnNR2为平行四边形，

则INBI=IMRI,又IMF2∣+∣Nf'2∣=4,

所以IMRl+1MF2∣=2α=4,故a=2,

又e=2=T'故c=l,贝IJb=小，

故椭圆C的方程为Y+?=i.

(2)由题意知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=/ny—1,A(x∖,y∖),

B(X2,m),

x=my-1,

{<+f=l,

消X得(3m2+4)γ2-6加)-9=0,

贝IJ=36m2+36(3m2+4)>0,

I6m

-9

3∕n2+4,

又尸ιB∣=2,所以的面积

5∆ABF2=2∣FιF2∣∙∣γι~y2∣

=^×2×∙∖∣(y∣+y2)2―领口

=A∕f-⅞^-f+-36-

∖[3m2+4)+3m2+4

144(w2÷1)

^∖∣(3m2÷4)2

令r=n?+i,121,

所以当f=l,即m=O时取得最大值3,

所以4A8F2面积的最大值为3.

二'创新拓展练

4.(2022∙长郡中学模拟)设椭圆C：5+5=1的左、右顶点分别为A,B.

⑴若P,。是椭圆上关于X轴对称的两点,直线AP,BQ的斜率分别为k∖,fo(hfo≠O),

求同十网的最小值;

(2)已知过点。(0,—3)的直线/交椭圆。于M,N两个不同的点，直线AM,AN

分别交y轴于点S,T,记丞=2前，访=〃庆>(0为坐标原点)，当直线/的倾斜

角。为锐角时，求a+"的取值范围.

解(1)由题意设点P(X0,yo),(2(x0,—yo),—3<xo<3,不妨令O<yo<小，

因为A(-3,0),3(3,0),

所以左1§，kι=

xo—3

则同十网=音一+A=事,

3+Xo3—Xo9~x6

由您+g=1可得9—面=黑

yɔɔ

则同+|依|=都,

因为O<