数学北师大版必修2课时作业2-2-2圆的一般方程

课时作业21圆的一般方程时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1表示的几何图形是(A)A．圆 B．直线C．点 D．不表示任何图形解析：将方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1化为x2＋y2＋2x＋3y－eq\f(1,2)＝0.则D＝2，E＝3，F＝－eq\f(1,2).计算得D2＋E2－4F＝22＋32－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝15>0.所以方程表示圆，故选A.2．下列方程中表示圆的是(C)A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0 B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0 D．x2＋2y2－2x＋4y－1＝0解析：选项C中的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，表示圆，其余选项中的方程均不表示圆．3．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0，它们表示的图形是(D)A．都是两个点B．一条直线和一个圆C．前者表示两个点，后者表示一条直线和一个圆D．前者表示一条直线和一个圆，后者表示两个点解析：x(x2＋y2－1)＝0⇒x＝0或x2＋y2＝1表示一条直线和一个圆，而x2＋(x2＋y2－1)2＝0⇒x＝0且y＝±1表示两个点．4．若曲线Cx2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则aA．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)解析：曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则该方程表示圆心为(－a,2a)，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以5．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，那么l的方程是(D)A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0解析：l为两圆圆心的垂直平分线，两圆圆心分别为(0,0)和(－2,2)，其中点为(－1,1)，垂直平分线斜率为1，方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.6．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与两坐标轴都相交的条件是(D)A．D>E>4F B．E>D>C．D2<4F且E2<4F D．D2>4F且E解析：令x＝0得，y2＋Ey＋F＝0，要使与y轴相交，应有E2－4F>0即E2>4F；令y＝0得，x2＋Dx＋F＝0，要使与x轴相交，应有D2－4F>0即D27．圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当圆面积最大时，圆心坐标为(D)A．(－1,1) B．(1，－1)C．(－1,0) D．(0，－1)解析：原方程变形为(x＋eq\f(k,2))2＋(y＋1)2＝1－eq\f(3,4)k2.∴r2＝1－eq\f(3,4)k2，当k＝0时，r有最大值，此时圆心为(0，－1)．8．动点P到点A(8,0)的距离是到点(2,0)的距离的2倍，那么点P的轨迹方程为(B)A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16解析：设P(x，y)，根据题意有2eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－82＋y2)，整理得x2＋y2＝16.二、填空题9．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.解析：由题可知圆心在AB的垂直平分线y＝－3上，又在2x－y－7＝0上，则圆心为P(2，－3)，半径|PA|＝eq\r(0－22＋－4＋32)＝eq\r(5)⇒圆的方程：(x－2)2＋(y＋3)2＝5.10．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心到直线x－y－2＝0的距离为eq\r(2).解析：已知圆的圆心坐标为(1,1)，由点到直线的距离公式得圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝eq\f(|1－1－2|,\r(12＋－12))＝eq\r(2).11．已知圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0，该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是(2－eq\r(2)，2－eq\r(2))，距离最远的点的坐标是(2＋eq\r(2)，2＋eq\r(2))．解析：∵原点O在圆外，∴由数形结合知与原点O距离最近、最远的点是直线OC(C为圆心)与圆的两个交点．三、解答题12．求经过A(4,2)、B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．解：已知圆过两点，且圆心不明确，故可用一般式求之．设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，∴圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，∴圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E.由题设x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，∴D＋E＝－2.①又A(4,2)、B(－1,3)在圆上，∴16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0.③由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.13．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，线段MN的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四边形的对角线互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2)，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y－4.))又点N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.当点P在直线OM上时，有x＝－eq\f(9,5)，y＝eq\f(12,5)或x＝－eq\f(21,5)，y＝eq\f(28,5).因此所求轨迹为圆(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))).——能力提升类——14．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6mA．2或1 B．－2或－1C．2 D．1解析：∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1.又圆C过原点，∴2m2－6m15．已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq\r(3)，求圆的方程．解：由于题目没给出圆心和半径，可以考虑用一般式．设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆与y轴的交点为A(0，m)，B(0，n)，令x＝0，则y2＋Ey＋F＝0，所以m、n是这个方程的根，且m＋n＝－E，mn＝F.所以|AB|2＝(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝E2－4F＝(4eq\r(3))2，故E2－4F＝48.①