第2讲 直角三角形八年级数学下册同步讲义（北师大版）

第2讲直角三角形

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L掌握直角三角形的性质；

2.掌握直角三角形的判定条件；

3.熟练运用勾股定理及其逆定理进行计算和证明

趣知识精讲

知识点

1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形

2.性质

（1）直角三角形的两锐角互余

（2）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方

（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

（4）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半

3.判定

（1）有一个角是90°的三角形是直角三角形；

（2）有一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；

（3）勾股定理逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形

【知识拓展1】直角三角形的两个锐角互余.

例1.（2021•云南昭通•八年级期中）如图，"是448C的高，BE平自NABC交AD于E,若N占60°,

/糜=70°,求/为C的度数.

例2.（2021•广西融水•八年级期中）如图，在4/8C中，ADlBC千D,AE平■'分4DAC,ABAC=^°,NB

=60°；求NΛ5T的度数.

BDEC

3.（2022•陕西榆林•八年级期末）如图，在ABC中，ZSAC=90o,ADLBC于点。，点E是A〃上一点,

连接5E.求证：/BED>NC.

例4.（2021•辽宁铁西•八年级阶段练习）两个直角三角板如图摆放，其中/砌C=N应方=90°,/£=45°,

∕C=30°,AB与DF交于悬M,BC//EF,求NNM的度数.

A

【即学即练1]（2021•安徽长丰•八年级阶段练习）如图1,在△/!%中，N6<NC,AD平令NBAaE为

4〃（不与点4〃重合）上的一动点，EFLBC于点、F.

(2)求证：ZC-ZB=2∕DEF.

（3）如图2,在△?!比中，ΛB<ΛC,AD平∙分2BAaE为AD上一点,夕工助交比1延长线于点汽，NACB

=nf,ΛB=no,直接写出/尸的度数（用含加，〃的代数式表示）.

【即学即练2】（2021•黑龙江建华•八年级期末）如图，AfiC中，BELAC于点D,BE=AC,

ZACF=ZABE,CF=AB,连接/尸.线段∕½'与4∙、有怎样的关系？请写出你的猜想，并说明理由.

【知识拓展2】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

例1.（2021•河南•八年级期末）已知：如图，`4BC为等边三角形,切为中线，延长比i至£,使CE=CD,

连接弧

（1）证明：:8宏是等腰三角形;

（2）若442,求应的长度.

例2.（2021•江苏•靖江外国语学校八年级阶段练习）如图，已知在等边△/以中，〃是48的中点，DELAC

于£,EFLBC于F,Aβ=12.求跖的长.

例3.(2021•山东汶上•八年级期中)重新定义：

DAPΔI

1.如图1和图2中，点/平面内一点，如果言=2或制竹，称点尸是线段血的强弱点.

2.我们都知道，在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.那么反过来，如果在一个直角三角

形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角也为30°.

启发应用：

请利用以上材料完成以下问题：

(1)如图2,在RtAAPB中,N/阳=90°,4=30。，判断点6是否是线段小的强弱点？并说明理由：

(2)如图3,在欣△?!比■中，ZJCS=90°,8是线段4C的强弱点(BA>BO,即是欣△力a1的角平分线，

求证：点〃是线段/C上的强弱点.

图1图2图3。

【即学即练1】(2021•浙江瑞安•八年级阶段练习)如图，已知4/18C是等边三角形，如是/C上的高线.作

力反！四于点4交朋的延长线于点后取跖的中点也连结4区

(1)求证：△?!£"是等边三角形;

(2)若力£=1,求4/6C的面积.

【即学即练2】(2021•浙江余杭•八年级阶段练习)如图，在ΔA8C中，AB=AC=IO,NABC=60。，D

是BC边上的点，且。C=3,过点。作BC边的垂线交4C边于点E,求AE的长.

【知识拓展3】直角三角形性质的应用

例1.如图，一位同学做了一个写明装置进行科学实验，^ABC是该装置左视图，ZACB=90o,∕B=15°,

为了加固斜面，在斜面AB的中点D处连结一条支撑杆CD,量得CD=6.

(1)求斜坡AB长和NADC的度数；

(2)该同学想用彩纸实验装置中的AABC的表面，请你计算AABC的面积.

【即学即练1】如图，AABC中，NACB=90°,NABC=60°,AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E,已

知DE=2.贝IJAC的长为.

【知识拓展31勾股定理及逆定理的应用

例1.（2019•仙居县模拟）如图，比'中,ABLBC,AB=2CB,以C为圆心，曲为半径作弧交”1于点〃,

以/为圆心，4。长为半径画弧交/6于点笈贝∣J∕E的值是（）

【即学即练1】（2019秋•慈溪市期末）长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.3,5,7C.1,√913D.IfɪA

33

【即学即练2】（2019秋•萧山区期末）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以1为圆心，正

方形对角线长为半径画弧，交数轴于点4则点4表示的数是（）

A.1B.-1C.1-√2D.√2

【即学即练3］（2019•宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记

载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放

置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）

A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积

C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和

【即学即练4】（2019•绍兴模拟）如图，已知NMW30°,点8在边4V上，且4!?=4正，点?从点/出

发沿射线方向运动，在边4斗上取点C（点C在点尸右侧），连结BP,BC.设PC=m,当△皮&成为等

腰三角形的个数恰好有3个时，见的值为4或2立或4J3＜庐12

(2)如图1-2,在Rtz∖ABr)中，No=90。，NB=45。，NAa)=60。，BC=IO,则49的长为—

(3)已知：如图1-3,Z∖A8C中，NA=I35。，AC=2√2,AB=S,求BC

D

图1-1图1-2图1-3。

演练2

2T所示,其中AB=2米，ABAC=30°,ZC=90°,因某种活动要求铺设红

色地毯，则在48段楼梯所铺地毯的长度应为—

(2)如图2-2,点。是矩形4及力的对角线4C的中点，£是4?上的点，沿龙折叠后，点8恰好与点。重

合，若BC=3,则折痕B的长为().

ʌ.2√3D.6

如图，已知在四边形力质中，AB=AD=S,/4=60。，ZADC=I50。，ZABC=90°,求如边肠Ufa>•

AB

如图，长方体的高为5cm,底面长为4cm,宽为ICrn.

(1)点A到点G之间的距离是多少？

(2)若一只蚂蚁从点儿爬到C∣(只能从长方体表面爬行)，则爬行的最短路程是

多少？

演练5

如囹所不网收方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5x6x10（单位：cm）,在上盖中开有一孔便于插吸管,

吸管长为13cm,小孔到图中边18距离为ICnb到上盖中与相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒

外面的管长为hcm,则方的最小值为cm.

吸管

5

如图1T,分别以直角三角形4、B、。三边为边向外作三个正方形，其面积分别用E、邑、邑表示，则不

难证明，=5?+S3.（正三角形面积是边长平方的日）

（1）如图卜2,分别以直角三角形4%三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S2、邑表示，那么

豆、S-S?之间有什么关系？（不必证明）

（2）如图1-3,分别以直角三角形4、B、C三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用\、S2、S3表示,

请你确定，、S2、S,之间的关系并加以证明.

演练7

已知a,b,C是三角形的三边长，a=2n2+2n,b=2n+∖,c=2π2+2∕ι÷I（〃为大于1的自然数），试说

明A4BC为直角三角形.

M分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.（2021-贵州毕节•八年级期中）下列各组数据不是直角三角形的三边长的是（）

A.3,4,5B.6,8,10C.5,12,13D.5,13,18

2.（2021•湖南•永州市剑桥学校八年级期中）已知/4N8为直角1两锐角，NQ54°,则/4=

（）

A.60oB.36oC.56oD.46°

3.（2021•江苏滨海•八年级期中）如图所示，公路4G园互相垂直，点"为公路46的中点，为测量湖

泊两侧G"两点间的距离，若测得4?的长为6km,则以。两点间的距离为（）

二、填空题

4.（2021•广西隆安•八年级期中）在RJABC中，锐角/4=50。，则另一个锐角NB=______.

5.（2022•全国•八年级）禅城区某一中学现有一块空地4比》如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量

/3=90,AB=3m,BC=4/H,CD=13m,AD=12m,若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入一

元

6.（2021•江苏滨海•八年级期中）若一个三角形的三边之比为5：12：13,且周长为60cm,则它的面积

为cm2.

7.（2021•黑龙江五常•八年级期末）如图，点E是Co上的一点，RlAACZJgRlAEBC,则下列结论:

①AC=3C；②A③NAcB=90。；®AD+DE=BE,其中成立的有个.

三、解答题

8.（2022•全国•八年级）如图所示的一块地，已知4分4米，GA3米，NADO90°,/1庐13米，除12米,

则这块地的面积为多少？

9.（2021•陕西临渭•八年级期中）如图，在中，AB=7cm,AC=25cm,BC=24cm,动点尸从点/出

发沿46方向以Icm/5的速度运动至点B,动点0从点B出发沿BC方向以6cm∕s的速度运动至点C,P、。两

点同时出发.

（1）求N6的度数；

（2）连接产。，若运动2s时，求只。两点之间的距离.

BQC

题组B能力提升练

一、单选题

1.（2022•云南广南•八年级期末）若以下列各组数值作为三角形的三边长，则不能围成直角三角形的是

（）

A.4、6^8B,3、4、5

C.5、12、13D.1、3、√iθ

2.（2021•河北•邯郸市永年区第八中学八年级阶段练习）下列命题的逆命题是假命题的是（）

A.同旁内角互补，两直线平行

B.对于有理数a,如果3a>0,那么a>0

C.有两个内角互余的三角形是直角三角形

D.在任何一个直角三角形中，都没有钝角

二、填空题

3.（2021•江苏赣榆•八年级期末）如图，点。是等边△?!园内的一点，为=6,PB=8,aC=I0,若点〃

是a48C外的一点，且a〃Ag∕∖PAC,则N4加的度数为

4.（2022•江西九江•八年级期末）已知在平面直角坐标系中力（-2√J,0）、B（2,0）、C（0,2）.点户

在X轴上运动，当点"与点力、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点。的坐标为.

三、解答题

5.（2021•吉林朝阳•八年级期末）如图，有一张四边形纸片ABC。，经测得AS=9cm,BC=12cm,

CD=8cm,AD=17cm.

(1)求A、C两点之间的距离.

（2）求这张纸片的面积.

D

B

6.(2021•江苏•赣榆汇文双语学校八年级阶段练习)已知a,b,C满足血I+病。+(c-√18)2

=0

(1)求a,b,C的值；并求出以a,b,C为三边的三角形周长;

(2)试问以a,b,C为边能否构成直角三角形？请说明理由.

题组C培优拔尖练

一、解答题

1.(2021•山西平定•八年级期中)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：

(1)如图1,NBAD=90°,AB=AD,过点8作BCUC于点、C,过点〃作DELAe于点、E.由N1+N2=N2+

=90°,得/1=N〃.又乙亿户=N45S=90°,可以推理得到△四正反进而得到4?=,BC=AE.⅛

们把这个数学模型称为“4字”模型或“一线三等角”模型；

(2)如图2,NBAD=∕CAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接8C,DE,且BCLAF于点、F,DE与直线4F