2023年湖北省武汉市高考数学二调试卷及答案解析

2023年湖北省武汉市高考数学二调试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A={2,3,4,5,6},B≈{x∣√-8Λ+12>0},则A∩(CRB)=()

A.{2,3,4,5}B.{2,3,4,5,6)C.{3,4,5}D.{3,4,5,6}

2.(5分)若虚数Z使得z2+z是实数，则Z满足()

1111

A.实部是B.实部是5C.虚部是一讶D.虚部是5

3.(5分)平面向量々=(-2,k),b=(2,4),若之_L^,则向一小=()

A.6B.5C.2√6D.2√5

4.(5分)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉

三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差

数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一

项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2,3,6,11,则该数

列的第15项为()

A.196B.197C.198D.199

5.(5分)已知函数/(X)=X≤a,若/(x)的值域是R,则实数α的取值范围是

(2，ɑ-

()

A.(-8,0]B.[0,1]C.[0,+8)D.(-8,1]

6.(5分)某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15Oa高10c〃z,加工

方法为在底面中心处打一个半径为vcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件

加工后的表面积最大，则厂的值应设计为()

A.√10B.√15C.4D.5

7.(5分)已知函数f(x)=Λsin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0,ω>0,-ɪ<φ

Asinφ

8.（5分）设A,B是半径为3的球体。表面上两定点，且NAoB=60°,球体O表面上动

点P满足PA=2PB,则点P的轨迹长度为（）

12√114√156√1412√13

A.---------TrB.-------TiC.-------πD.-----π

1157

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得（）分。

X2V2

（多选）9.（5分）若椭圆一-~~-+--=1（∕77>O）的某两个顶点间的距离为4,则m的

znz+2mz

可能取值有（）

A.√5B.√7C.√2D.2

（多选）10.（5分）在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科

学生视力达标率结果得到如表：

甲校理科甲校文科乙校理科乙校文科

生生生生

达标率60%70%65%75%

定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中

正确的有（）

A.乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校

B.两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率

C.若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%

D.甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率

（多选）11.（5分）已知离散型随机变量X服从二项分布8（n，p）,其中"∈N*,O<p<l,

记X为奇数的概率为。，X为偶数的概率为从则下列说法中正确的有（)

A.a+b=∖

B.口=2时,，a=h

C.ov〃G时，〃随着〃的增大而增大

1

D.IqVl时，。随着〃的增大而减小

(多选)12.(5分)已知函数/(x)=Sinʃ+加X,将/(x)的所有极值点按照由小到大的顺

序排列得到数列｛初｝,对于正整数小则下列说法中正确的有()

A.(n-1)π<x∏<nπ

B.XΛ+I-χ∏<π

C.｛∣xn-0号里1｝为递减数列

(4n-l)π

D.f(X2n)>-I+/；?1--——

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)锐角α满足点九4一α)=ɪ,则cos2a=.

2

14.(5分)若两条直线/1：y=3x+mf/2：y=3x+〃与圆/+y+3x+y+%=0的四个交点能构成

矩形，则加+〃=.

15.(5分)已知函数/(%)=/-e-αx有两个极值点Xi和X2,若/(xι)+f(x2)=

-4,则实数α=.

X2y2

16.(5分)设尸为双曲线氏--γ-=l(a>0,b>0)的右焦点，A,8分别为双曲线E

azbz

的左右顶点，点尸为双曲线E上异于A,B的动点，直线/：X=/使得过F作直线AP的

垂线交直线/于点Q时总有8,P,Q三点共线，则工的最大值为.

a

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)记数列｛丽｝的前W项和为S”,对任意正整数〃，有2S,=W”,且“2=3.

(1)求数列｛“”｝的通项公式；

(2)对所有正整数》7,若ak<2"'<ak+ι,则在和或+1两项中插入2"',由此得到一个

新数列｛加｝,求｛加｝的前40项和.

18.(12分)如图，四棱台ABCo-A181C∣D∣的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方

形，侧棱Cel上点E满足”=ɪ

ClC3

(1)证明：直线AlB〃平面AQIE；

(2)若CCiL平面ABC£>,且CCi=3,求直线821与平面AoIE所成角的正弦值.

19.(12分)在AABC中，AB=2,。为AB中点，CD=√2.

(1)若BC=√2,求AC的长；

(2)若NBAC=2NBCD,求AC的长.

20.(12分)口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽

取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.

(1)记总的抽取次数为X,求E(X);

(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2

个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机

抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到

将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为匕求E(F)并从实

际意义解释E(Y)与(1)中的E(X)的大小关系.

21.(12分)过坐标原点。作圆C(x+2)2ty2=3的两条切线，设切点为尸，Q,直线PQ

恰为抛物线E：y1=2px(p>0)的准线.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)设点T是圆C的动点，抛物线E上四点A,B,M,N满足：TA=2TM,TB=2TN,

设AB中点为

(/)求直线TD的斜率；

(ii)设47λ8面积为S,求S的最大值.

22.(12分)已知关于X的方程Or-/"X=O有两个不相等的正实根Xi和X2,且xι<x2.

(1)求实数。的取值范围；

(2)设k为常数，当α变化时，若xι%有最小值产，求常数k的值.

2023年湖北省武汉市高考数学二调试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(5分)己知集合A={2,3,4,5,6},B={X∣Λ2-8x+1220},则A∩(CRB)=()

A.{2,3,4,5}B.{2,3,4,5,6}C.{3,4,5}D.{3,4,5,6}

【解答】解：集合A={2,3,4,5,6},B={RX2-8x+12？0}={x∣xW2或x》6},

所以CR3={X∣2<XV6},所以An(CRB)={3,4,5).

故选：C.

2.(5分)若虚数Z使得z2+z是实数，则Z满足()

1111

A.实部是-WB.实部是QC.虚部是-*D.虚部是3

【解答］解：⅛z=a+bi,a、fo∈R,且∙≠0,

则z2+z=(a+bi)2+<.a+bi')=(α2-⅛2)+(2ab+b)i,

因为z2+z是实数，所以2血b=0,即b(2.+l)=0,解得“=一支

所以Z的实部是《

故选：A.

3.(5分)平面向量或=(-2,k),b=(2,4),若％_L。，则而一国=()

A.6B.5C.2√6D.2√5

【解答】解：因为α=(-2,k),b=(2,4),且a_Lb,

所以；∙b=-4+4M=0,解得A=I,

所以α—b=(-4,3),

所以向-b∖=√(-4)2+32=5.

故选：B.

4.(5分)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉

三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差

数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一

项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2,3,6,11,则该数

列的第15项为()

A.196B.197C.198D.199

【解答】解：某个二阶等差数列的前4项为：2,3,6,11,

设这个二阶等差数列数列为{3},从第二项开始，

每一项与前一项的差构成等差数列：1,3,5,….(2n-1),

.*•an=(an-an-∖)+(Λn.I-a∣ι-2)+∙∙∙+(672-«1)+«1=(2〃-3)+∙∙∙+5+3+I+2=

[l+(2n-3)](n-l)+2=(…尹十？，

则a↑5=142+2=198.

故选：C

5.(5分)已知函数/(X)=FJl'X≤ɑ,若/(x)的值域是R,则实数α的取值范围是

()

A.(-8,0]B.[0,1]C.[0,+8)D.(-8,1]

【解答】解：函数y=ι+l在(-8,0上为增函数，值域为(-8,〃+i],如图：

y-2x（x>α）的值域为（2",+∞）,

又y=x+l与y=2*有两个交点（0,1）,（1,2）要使函数f（x）的值域为R,

则0≤α≤1.

故选：B.

6.（5分）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm,高10“"，加工

方法为在底面中心处打一个半径为rcτw且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件

加工后的表面积最大，则r的值应设计为（）

A.√10B.√15C.4D.5

【解答】解：工件的表面积为S=如X152+2nX15X10-如J+2πrX10=2π(-

r2+10r+375),

当r=5Hl',工件的表面积最大,

所以厂的值应设计为5c%

故选：D.

7.（5分）已知函数/（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A>0,ω>0,-ɪ<φ

【解答】解：令F(X)=ASin(ωx+φ)=0,

根据“五点法”可得：ωxι+φ=2⅛ιπ,fcι∈Z,

ωx2+φ=2攵2π+π,fo∈Z,

则ωxι=2kιπ-φ,Zι∈Z,ω%2=2⅛2n+π-φ,⅛2∈Z,

贝IJ包=k1"C，kι,fo∈Z,i⅛-=m(加为常数)，

X22k2ττ+π-φX2

则3=笔苧，依Z，再根据一%Vφ<0确定φ的取值.

故选：B.

8.（5分）设A,8是半径为3的球体。表面上两定点，且NAO8=60°,球体。表面上动

点P满足B4=2PB,则点P的轨迹长度为（）

12√114√156√1412√13

1・---------πB.-------71C.-------TiD.---------π

115713

【解答】解：以AOB所在的平面建立直角坐标系，AB为X轴，A5的垂直平分线为y轴,

IAB∣=3,则4（一，O）,B（∣,0）,设P（x,y）,∖PA∖=2∖PB∖,

则（X+1）2+y2=4（x-|）2+4y2,整理得到（X-1）2+y2=4,

故P轨迹是以Cg,0）为圆心，半径r=2的圆，

转化到空间中：当P绕AB为轴旋转一周时•，|例，『阴不变，依然满足幽=2∣P8∣,

故空间中P的轨迹为以C为球心，半径为r=2的球，

同时尸在球。上，故尸在两球的交线上，为圆.

22o22

球心距为ICol=yJ∖OB∖+∖BC∖-2∖OB∖■∣OC∣cosl20=√13=√2+3,

△OCP为直角三角形，对应圆的半径为心=*=ɪ,

国必必）_ɔ„6/13__12√13

H箕为2τιTl=27ΓX—ɪɜ-=—ɪɜ—TT.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

X2V2

（多选）9.（5分）若椭圆一『+三=1（w>0）的某两个顶点间的距离为4,则小的

m2+2m2

可能取值有（）

A.√5B.√7C.√2D.2

【解答】解：当IABl=4时，所以27笠+2=4,解得机=√Σ或-√Σ（舍去），

当ICDl=4时，2m=4,〃?=2,

当IAa=4时，√m2+2+m2=4,加=√7或一√7（舍去），

故选：BCD.

（多选）10.（5分）在一次全市视力达标测试后，该市甲乙两所学校统计本校理科和文科

学生视力达标率结果得到如表：

甲校理科甲校文科乙校理科乙校文科

生生生生

达标率60%70%65%75%

定义总达标率为理科与文科学生达标人数之和与文理科学生总人数的比，则下列说法中

正确的有（）

A.乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校

B.两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率

C.若甲校理科生和文科生达标人数相同，则甲校总达标率为65%

D.甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率

【解答】解：对于A,由题意乙校的理科生达标率和文科生达标率都分别高于甲校，故A

正确；

对于8,由题意两校的文科生达标率都分别高于其理科生达标率，故B正确；

对于C,设甲校理科生和文科生人数分别为小b,

7

则0.64=0.7/?,：.a=±b,

O

⅛×0∙6+0.7b

0.6α+0.7h6_______________

・・・甲校总达标率为:×100%^64.62%,故C错误;

a+b⅛7+z?

6

对于。，由题意甲校的总达标率可能高于乙校的总达标率，故。正确.

故选：ABD.

（多选）11.（5分）己知离散型随机变量X服从二项分布B（〃，〃），其中∕ι∈N",0<p<1,

记X为奇数的概率为小X为偶数的概率为b,则下列说法中正确的有（）

A.a+b=1

B.p=:时，a=b

C.0<pV^⅛,“随着"的增大而增大

D.I</?<1时，a随着n的增大而减小

【解答】解：对于A选项，由概率的基本性质可知，α+6=l,故A正确;

对于5选项，由p=⅜⅛,离散型随机变量X服从二项分布B（",；）,

42

11

P（X=A）=CAX（-）k×（l-ʌ）n'k（k=Q,1,2........n）,

n22

a=(37lxd+/+……)=(∣)n×2n^1=∣,

b=⅛)nx(4+鬣+……)=g)"X2"7=ɪ,

所以〃=从故8正确；

对于C,D选项，a=KB+叱K-P)Fn=上写过，

当0<pV；时，a=L(17P)”为正项且单调递增的数列,

故α随着”的增大而增大故选项C正确；

1

当时，。=(1-2")〃为正负交替的摆动数列，故选项。不正确.

故选：ABC.

(多选)12.(5分)己知函数/(x)=sinx+欣，将/(x)的所有极值点按照由小到大的顺

序排列得到数列｛切｝，对于正整数小则下列说法中正确的有()

A.(π-1)π<xw<nπ

B.Xw+l-χn<π

C.｛∣xn-必产|｝为递减数列

(4?I-I)Tr

D.f(X2n)>-1+/77-~~γi-

【解答】解：∕∞的极值点为尸(X)=COSX+［在(0,+∞)上的变号零点,

即为函数y=cosx与函数y=图象在(0,+∞)交点的横坐标,

11

∙,∙χ∈(0,+8)时，一推<0,A∈N时，cos(π+2⅛π)=一1(一⅛∈Na,

TCTTTC,

xE(0,-)U(―ɔ+2Λπ,—+2fcττ)时，COSX>0,

222

Tr1

对于A,A∈N时，/(一+2Aπ)=ɔ.->0,

22π÷l2∕CTΓ

/(兀+2时)=-1+&《),/3π1

(—+2∕C7Γ)=石-----K),

2导+2kττ

结合图象得当/=2左-1,⅛∈N*,XnE((H-ɪ)π,nπ)G((〃-1)π,mi),

当〃=2Z,A∈N*时,XnE((M-I)π,(/?—^)π)G((??-1)π,nπ),故A正确;

ςQ

对于8,由图象可知加，％2<2几，则X3-X2>π,故3错误；

对于C,出一驾D刍表示两点(X”,0)与((n-ɪ)π,0)间距离，

数形结合得随着”的增大，两点间的距离越来越近，即｛|切-必产|)为递减数列，故C

正确；

对于。，由A选项分析得：％2nE((2九一1)兀，一2一7r%neN*9

数形结合得当X∈(X2n^(4'I)Tr)时，COSX>-[,止匕时/'(X)>0,

.∙.∕(x)在(%2%上是单调递增函数，

(4n-l)π(4n-l)π,,“、L

・・・/(k〃)</(-~~六一)=-l÷Z∕r一~六一，故。错误.

故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

14√2

13.(5分)锐角α满足sizi(π,—α)=可则CoS2α=丁".

■yrTCTTTC

【解答】解：因为α为锐角，所以-aeT,0),所以一一ae(-ɪ,一)，

L4-T*4

又因为Sine—a)=3,所以CoS(--a)=Jl-(^)2=

TrTrTrTrTTTr

所以Sina=Sin[—―(——a)1=sin-cos(——a)-COS-Sin(——a)

444444

√22√2√214-√2

=T×-^T×3=-6^,

所以cos2a=l-2sin2a=l-2×=

14.(5分)若两条直线/1：y=3x+m,/2：y=3x+〃与圆/+y2+3x+y+A=0的四个交点能构成

矩形，则卅■〃=8.

【解答】解：两条直线/i:y=3x+m,/2：y=3x+"与圆x2+>2+3x+y+Z=0的四个交点能构

成矩形，

可得圆心(-1,-i)在与两直线/1,/2的距离均相等的轨迹上,

∖3x-y+m∖∣3x-y+n∣

设所求轨迹上一个动点的坐标为（JGy）,可得

√10√1O

由于m≠nf所以3x-y+m+3x-y+∕z=O,即为3x-jH——Q—=0,

p-rpi9,1,m+n

所以-3+3+—^—=°λ，

可得∕H+H=8.

故答案为：8.

15.(5分)已知函数/(x)=01-e'1W-有两个极值点Xl和A2,若/(XI)4/(x2)=

-4,则实数〃=4.

x1x)

【解答】解：函数f(x)=e-e-aχfΛ∈R.

,xilx

f(x)=e+e')-af

:函数/(x)="-e"W-or有两个极值点Xi和X2,

.∙.xι和犬2满足，(X)=0,

xι1x1χ

Λβ+e~=a,BPβ!+ɪ=a9(a>2√e).

同理可得：/2+熹=〃，

2

.∙.e%ι与/2为方程z-at+e=O的两个根，

xιx2xιx2

.∖e+e=a,e*e=ef可得xι+∕2=l,

V/（X1）+fdx2）=-4,

.∙.u"ι—e1-x1-ax∖Λ-ex2-竟-ɑr2=-4,

xιx2

Λβ-（α-e*ι）÷e-（。―。如）-a（Xl+及）+4=0,

Λ-fl+4=0,解得。=4>2近，

故答案为：4.

X2V2

16.（5分）设F为双曲线氏—-yr=1（>0,h>0）的右焦点，A,3分别为双曲线E

Q25Λ

的左右顶点，点P为双曲线E上异于A,JB的动点，直线/：x=r使得过F作直线AP的

垂线交直线/于点。时总有&P,。三点共线，则:的最大值为

【解答】解：由题意可得A（-α,0）,B（a,0）,设直线AP的斜率为左，直线AP的方

程为y=&（χ+α）,

2

与双曲线方程启/-//=JA联立，可得（射-〃2F）X2_2⅛Q3R-后一〃2.=0,

-α4fc2-α⅛2a3k2+ab22kaf

则a*χp=解得XP=yp=k(AT)+a)

b2-a^k2b2-a2k2b2-a2k2

设过F(W+∕j2,Q)与直线AP垂直的直线为/],方程为y=-1(X-JQ2+炉),

K

由题意可得Q为直线Zi与直线BP的交点,

直线BP的方程为y=-⅛(x-a)=月(X-a),与直线Ii联立,可得t='+fJf+”,

xPaAaa2+b

tb2+ay∕a2+b2

aa2+b2-1+(2)2

,Ih-q2-l+q11IlZ5

令q=1+G)2(q>1),则一=---;—=——+—+1=-(—一—)=7+1，

Yaaq2q2qq24

当q=2,即2=√5时，E取得最大值"

aa4

故答案为：~∙

4

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)记数列｛板｝的前〃项和为酬，对任意正整数小有2S〃=皿〃,且。2=3.

(1)求数列｛板｝的通项公式；

(2)对所有正整数相，若以V2,〃V或+1,则在以和以+1两项中插入2%由此得到一个

新数列｛M｝,求｛加｝的前40项和.

【解答】解：(1)对任意正整数〃，有2Sn=nan,且42=3,

可得〃=1时，2m=2Sι=m,解得aι=0;

〃=2时，2S2=2(〃I+〃2)=2。2,解得〃1=0；

〃=3时，2S3=2(。]+。2+。3)=3a½解得々3=6.

当心2时，由2Sn=nan,可得2Sn-T=(H-1)an-\,

两式相减可得2∙∕ι=2(Sn-Sn-I)=∏dn~Cn~1)Un-∖

化为(〃-2)Cln-(M-1)an-｝,

〃=2时，上式显然成立；

,an-1

时，---n-=----，

an.1n-2

r-∣-κIga4a∏C23Ti-1c/1、

所以a∏=a2*—•一∙...∙----=3×y×ɔ×...×—ɔ=3(〃-1),

Q2Ci3an_112九-2

上式对〃=1,〃=2也成立，

所以an=3(H-1),〃∈N*;

(2)由α"<2"'<以+ι,即为3(k-l)<2m<3k,

可得数列｛加｝中有34项为｛•"｝中的前34项，其中的6项为2,4,8,16,32,64,

所以｛劣｝的前40项和为:x34X(0+99)+驾三亚=1683+126=1809.

18.(12分)如图，四棱台ABCD-AIBICIDI的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方

形，侧棱CCl上点E满足煞="

ClC3

(1)证明：直线AlB〃平面AQIE；

(2)若CCIJ_平面ABC£>,且Cej=3,求直线881与平面AGE所成角的正弦值.

【解答】解：(1)证明：需要连接MA交BC于N点，延长QIE和。C,交于点连

接DlN

£i£_1徂*_1.CD1

IrUh-f-f••11一,

C1C3CE2CM2

.∙.CM=4=AB,；.BN=CN,是BC中点，

此时，AiDi//BiCi//BN,AI肘=BICl=BN,

，四边形AiBNOi是平行四边形，.∙.Aι8"DIM

VDiTVc5FffiADiE,AlBc平面ADiE,

直线AlB〃平面ADlE；

(2)以C为坐标原点，CD,CB,CCl所在直线分别为X轴，y轴，z轴，建立空间直角

坐标系，

则B(0,4,0),Bi(0,2,3),A(4,4,0),Di(2,0,3),E(0,0,2),

BB1=(0,-2,3),AD1=(-2,-4,3),族=(-4,-4,2),

设平面AoIE的法向量蔡=(x,y,z),

.{n∙AD=—2x—4y÷3z=0小，→,C八

则nJTTI1，MXX=1,得zθ几=(z1,-2,-2),

{n∙AE=-4x—4y÷2z=0

设直线BBi与平面ADIE所成角为θ,

则直线BBl与平面AD1E所成角的正弦值为:

s1nfl-陆瓯I_2_2√13

百鬲T河底F•

19.(12分)在aABC中，AB=2,。为AB中点，CD=√Σ

(1)若BC=求AC的长;

(2)若NBAC=2NBCD,求AC的长.

万

22242

【解答】解：(1)在aBOC中，cosNBE>C=BDBJ

那tI

∆DLfCLJ彳'

COSNAOC=-cosZBDC,

在AAOC中，AC1^AD2+CD2-2AD∙CDcosZADC=4,

."C=2;

(2)设AC=X,BC=y,

√2X1y

在aAOC,aBDC中，由正弦定理，可得

sin∆BACsin∆ADC'sin∆BCDsin∆BDC'

sin∆BAC√2y

又SinNAOC=SinNBQC,得:

sinZ.BCDx

在AMC•中'由余弦定理得8S/B。=钾,

由∕BAC=2∕BCZ),有SinNBAC=Sin2∕BCD=2sin∕8CDcos∕BC

:鸟=2，：覆；整理得2y2=x(√+l)①，

1+2-X?1+2-y2

又由COSZADC=-COSNBDC,——L=-——

2√22√2

整理得了+尸=6②，

联立①②得：X3-2√-7x+12=0,即(X-3)(⅛-4)=O

又√Σ-1<x<V2+1,故X=1.'",

..,—1+-/17

..ArC=----2-----•

20.(12分)口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽

取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.

(1)记总的抽取次数为X,求E(X)；

(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2

个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机

抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到

将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为匕求E(F)并从实

际意义解释E(Y)与(1)中的E(X)的大小关系.

【解答】解：(1)依题意，X的可能取值有4,5,6,7,

43211.343214

P(X=4)=7XaX5义4=ɪʒ,P(X=5)=×γ×g×ς×^×2=ɜʒ>P(X=6)

厂3.3.24321ʃʌ112,.__ʌ,o321432

=CcXTyXNXEX7*3乂3=110乂亍XE=亍，Pn(Xv=7)=CrλXτyXNXEXTX3X7γX

ɔ/0ɔ4ɔZ/ɔ/0/Oɔ4ɔZ

1=7'

1424224

∙*∙E(X)=4xɜʒ+5Xɜʒ+6x∙^+7×γ=35=6.4；

(2)依题意，y的可能取值有4,5,6,7,

…/一、“»_八

212119z,12121.21z,12212

尸(Y-4)=3^X}X7X5=~ToP(y-5)=Cj×Q,×∙Q×-T×,5,4",5∙×Q,×Q=

ɔZztɔIoaZ4ɔɔZ4ɔZV

2ɪ221212217

P(y=6)=2×2×C3×ξ×^×2÷C*2×β×2×c2×4×3×2zr18,

ɔ1ɔɔ11

p(y=7)=cj×⅜×4×ci×7×⅛×4=^

zɔz,54ɔZɔ

1271

∙*∙E(Y)=4xɪɛ+5xq+6xɪɛ+7×ɜ=6,

E(X)>E(H,说明将球由题意分装在两个口袋中，摸出所有黑球将更容易.

21.(12分)过坐标原点。作圆C：(x+2)2+)2=3的两条切线，设切点为P,Q,直线PQ

恰为抛物线E：y1=2px(p>0)的准线.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)设点T是圆C的动点，抛物线E上四点4,B,M,N满足：TA=2TM,TB=2TN,

设AB中点为D

(/)求直线TD的斜率；

(ZZ)设ATXB面积为S,求S的最大值.

【解答】解：⑴设直线P。与X轴交于%(-分0),

由几何性质易得：ACPPo与AOCP相似,

∖CP∖_∖CO∖

所以

ICPOl-ICPI

ICPF=ICR)IlC。|,

即：3=(-号+2)-2,解得：p=l.

所以抛物线E的标准方程为：√=2Λ.

(2)设T(xo,yo),A(xι,y↑),B(%2,”)，

(/)由题意，窗中点M在抛物线E上，即(呼a)2=2∙Ξφi,

2

v2

又比=2%1，将Xi=多代入得：yl-2y0y1+4x0-y0=0,

2

同理：yj-2y0y2+4x0-y0=

有｛/?二焦产此时。点纵坐标户/=y°,

所以直线TD的斜率为0；

,,x+x无+川=(%+y2)2-2y∕2=3y)2-4χo

(”)因为二112t

442

所以点。(逑卢，y0))

此时S=力77)∣∙∣yLy2I，

2,

∖TD∖=I妣2轨°-XoI=?∣y0-2χ0∣∣yι-y∑l=Jeyl+了23一4%%=

√8(y02-2x0).

所以S=挈.J(yo2-2N)3,

又因为点T在圆C上，有(X。+2)2+%2=3,即为2=—就一4和一1，代入上式可得:

S=孥.√(-χ2-6χ0-1)3=孥.，一(XO+3)2+8]3,

由-2-V3≤xθ≤-2+ʌ/ɜ.

所以XO=-3时，S取到最大值学-√8≡=48.

所以S的最大值为48.

22.(12分)已知关于X的方程OX-∕nx=O有两个不相等的正实根Xi和Λ2,且xι<x2.

(1)求实数4的取值范围；

(2)设k为常数，当“变化时，若加％有最小值e。求常数k的值.

lγiχ

【解答】解：(1)由〃X-/"*=0且x>0,可得---=4,

X

设F(X)=—,Xe(O,+∞),则/(x)=上⅛竺，令F(x)=0,解得x=e,

XXΔ

当O<x<e时，F(X)>0,F(X)单调递增；当x>e时，F(X)<0,F(X)单调递

减;

函数F(X)=詈的图象如下:

>t

0∖∖e