与等比数列相关的结论（解析版）-2023年高考数学技巧练习

专题11与等比数列相关的结论

一、结论

已知等比数列{4},公比为q,前〃项和为s“.

⑴an=amq"~"'(m,n∈?V*).

⑵若加+〃=p+4,则am-an=%,•%(〃,p,q∈N*);反之,不一定成立.

t

⑶α102<¾∙∙∙anι,am+,αm+2-a2m,a2m+ia2ιn+2…a3nt,成等比数列(fneN).

(4)公比q≠T时，Sπ,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列(〃GN*).

⑸若等比数列的项数为2〃(〃eN*),公比为4,奇数项之和为S奇，偶数项之和为S仙，则

(6)]ɑ“},{a}是等比数列,则Uɑ“},{」-},他,也J,{3}也是等比数列(/l≠0,〃∈N*).

anbH

(7)通项公式an=%q"7=±∙q".从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n

q

的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.

(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.

XXX

⑼三个数成等比数列，通常设为一，X,阳；四个数成等比数列，通常设为F，一，

qq

二、典型例题

例题1.(2023秋•河南驻马店•高三统考期末)在正项等比数列｛q｝中，若％,%是关于ʌ-

的方程χ2-∕nr+4=0的两实根，则log?0l+log?q+log?%-+log?为=(

【答案】B

【详解】由题意及韦达定理可得4%=4,由等比数列性质可得444%=管,

i⅛log,al+Iog2a2+Iog2ai++Iog2«9=Iog2al¾¾⅛=9.

故选：B

【反思】若加+〃=〃+4,则a,」。”=4∙%(m,”,p,q∈N*),等比数列中，注意利用角

标和性质.

例题2.(2023春•重庆沙坪坝•高二重庆南开中学校考开学考试)已知等比数列｛%｝的

前〃项和S“满足5s=10,SK)=40,则52。=()

A.130B.160C.390D.400

【答案】D

【详解】因为等比数列｛%｝的前〃项和S,满足Ss=10,品,=40,

所以Ss,Si0-Ss,S15-S,o,S20-S15依然成等比数列，

2

jjɪɪ)S5(Sl5-Sl0)=(Sio-S5),即IO(SL40)=(40-10)2,解得:几=130,

5!∣JS5(S20-S15)=(S10-S5)(⅛-S10),BpIO(S20-BO)=30x90,解得：S20=400,

故选：D.

【反思】公比4≠T时，S”，S2,,-,,,S3.—S2,,S4,,-S3,,成等比数列("∈N*),本例

中，55,Sl0-S5,S15-Sl0,S20-Sl5依然成等比数列此结论可快速解题.

例题3.(2023•全国•高三专题练习)已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数

项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的项数为()

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【详解】设这个等比数列｛可｝共有2kpeN*)项，公比为q,

则奇数项之和为S奇=%+%++〃2"1=85,

偶数项之和为S偶=%+/+÷⅛=⅛(^÷¾++%1)=4S奇=170,

&=型

⅛85

等比数列｛%｝的所有项之和为S?.J(1；)=2"-1=170+85=255，则2z=256,

解得％=4,因此，这个等比数列的项数为8.

故选：C.

【反思】利用结论若等比数列的项数为2〃(〃∈N*),公比为4,奇数项之和为S奇，偶数项

之和为S(8,则聿=4,可直接根据结论求出4,进而求出其它量.

S奇

三、针对训练举一反三

一、单选题

1.(2023秋•浙江杭州•高二浙江省杭州第二中学校考期末)已知数列｛%｝是递增的等比数

歹u，4+2+0,=14,ala2a3=64,则公比g=()

A.ɪB.1C.2D.4

【答案】C

【详解】已知4。m=64,所以W=64,解得%=4,即qq=4①;

又4+“2+〃3=14,则q+43=10,即q(l+q2)=10②；又q≠0,

由①②得"=£，所以2d-5g+2=0,解得9=2或g="

q22

因为数列｛可｝是递增的等比数列，所以4=2.

故选：C.

2.(2023秋•广东汕头•高二统考期末)已知正项等比数列｛α,,｝满足

log2αl+log2¾+……+log2%β2=2022,贝口0g2(q+o2022)的最小值为()

A.1B.2C.IOllD.2022

【答案】B

[详解】log201+log2o2+……+log2α2022=log,(αlα,...02022)=2022

所以W2∙∙∙¾)22=2.2,又数列｛4｝是正项等比数列，

所以(Z∣6∣2022=a2aιaι∖~a3a2(>ιo=.......=am∖∖a∖o∖ι=2=4

所以Iog2(«,+¾22)>Iog2(2√Ο]⅛2)=log24=2,当且仅当数列为常数列时，等号成立.

故选：B.

3.(2023•全国•高三专题练习)等比数列[at.)中，己知％+生+6+%=20,%+%+%+仆=I。，

则数列匕」的前16项和5,为

7512575

A.20B.—C.-----D.-----

222

【答案】B

5-S1

【详解】试题分析：由题意得，S4=20,58-S,=10,则」J-=],根据等比数列的性质

可知S4,S8-S4,5l2-S8,5,6-S12构成公比为T等比数列，

575

S4=20,S8-S4=10,S12-S8=5,S16-S12=-,且Sg=30,=35,Shi=昼，故选B.

4.(2023•全国,高三专题练习)已知数列｛%｝的前"项和S"=2"一'+1,则数列｛%｝的前10

项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为()

1172341

A.~B.2C.-----D.-----

2341172

【答案】C

1

【详解】当〃≥2时，an=Sn-Sn^=2"-,又4=5=2,

即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256,

所以数列｛4｝的前10项中S155=U=华=341,s=2+止*=2+型=172,所以

1-431-43

⅛=172

SJ341，

故选：C.

5.（2023・全国•高二专题练习）已知项数为奇数的等比数列｛q｝的首项为1,奇数项之和为

21,偶数项之和为10,则这个等比数列的项数为（）

A.5B.7C.9D.11

【答案】A

【详解】根据题意，数歹U｛«„｝为等比数列，设«„=«,<'=q"^',

又由数列｛%｝的奇数项之和为21,偶数项之和为10,则〃=午=2,

故S“=21+10=-ɪʃ-~c^-n2"-1=31=〃=5；

1-4

故选：A

6.（2023,全国•高二专题练习）设等比数列｛%｝的公比为4,其前〃项和为与，前〃项积为

z

τn,且满足条件4>1,aba,>∖,"j<0,则下列结论错误的是（）

%τ

A.0<√<lB.0<aβai<1

C.5”的最大值为邑D.7；的最大值为"

【答案】C

【详解】若4<0,贝∣J4<0,%>0,所以6%<0,与小%>1矛盾；

若4≥1,则因为q>l,所以4>1，/>1,则忙|>0，马组］<0矛盾，

因此。<"1,所以AIE确.

因为"二|<0,所以∕>ι>%>o,因此年％=。；«°，1），即B正确.

因为。>0,所以S,单调递增，即S,,的最大值不为邑，C错误.

因为当“≥7时，¾∈（0,l）,当14〃≤6时，«„∈（l,+∞）,

所以T11的最大值为"，即D正确.

故选：C

7.（2023•高三课时练习）设等比数列｛q｝的公比为4,其前〃项和为S“，前〃项积为

并且满足条件o</<ι<%,则下列结论正确的是（）

A.⅛>1B.O<α1<1C.S”的最大值为S?D.T”的最大值为A

【答案】D

【详解】解：由于O<%<l<%,得°<9=%∙<1,同时q>l;由于4>1,O<q<l,则5“

«6

无最大值；由于4>1，0</<l,则7”的最大值为

故选：D.

二、多选题

8.(2023春・安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试)记等比数列｛4｝的前〃项和为S.，

前"项积为。，且满足q>ι,a2022>1,¾023<1,Ijiij()

A.”2022,“2024—1<°B.$2022+1<$2023

C.金22是数列｛G中的最大项D.加5>1

【答案】AC

【详解】数列｛α,,｝的公比为g∙

对于A,«|>1,⅛3<1>.,∙θ<¾O23<1>又“2022>1，,0<4<l.

¾022'"2024=<⅛23<1>∙'.a2022'“2024—1<°,故A正确;

对于B,I,。2023<1,；•。2023=,^2023-^2022<1，即$2022+1>$2023,故B错误;

1

对于C,■-0<⅛<l,αι>1,二数列｛““｝是递减数列，・二出022>1，«2023‹•

・•.4)22是数列｛北｝中的最大项，故C正确；

241144

对于。,τ^45=α1α2α,∙∙∙α4045-αl(α19)(αl⅛).∙∙(ol⅛)

=Q产5严*314044=”产5产2x4045=佃产］"',

,∙,θ<。2023<1，(a202))<ɪ,即‰45<ɪ•故Di音误.

故选AC.

a<

9.(2023•全国•高三专题练习)已知等比数列｛%｝满足al>0,公比“>1,且q02"'202∣ɪ>

“I。2.,,“2022>1，则()

A.a202i>1B.当"=2021时，q%…为最小

C.当"=IOll时，4%…%最小D.存在〃<1011,使得4"e=4’2

【答案】AC

【详解】对A,∙,∙«1>0,q>∖,an>0,又O1O2…<⅛21<1，4/…⅛22>l,

1,

a2022>>I,

a∖a2a2(i21

故A正确.

对B,C,由等比数列的性质，4。2021="2"2020=…=4oιo4o∣2=4o“,

aaaaa

故∖2,,,¾021="∣OU<1，"1011<1，∙22022=43。2021=…=^iɑɪɪeɪoɪɜ=ι012，

22

.∙.a2a3ai---a2022=α1θ2'>',/aia2---a202l<1,4>0,q>∖,.∙.al<1,'>1,

aιa∖

«1012>1.故当"=IOll时，…4最小，B错误,C正确；

对D,当“<1011时，an<α101l<1,^anan^<απ+∣<aπ+2,故D错误.

故选：AC

三、填空题

10.（2023秋•广东广州•高二统考期末）在各项均为正数的等比数列｛《,｝中，若

a1a4+2a3a5+a4ab=4,则/+%=.

【答案】2

【详解】等比数列｛4｝各项均为正数，

.∙.a2a4+2ajla5+a4aβ=a；+2ajla5+a；=（4+%]=4,ai+a5=2（负值舍去）

故答案为：2.

11.（2023秋・广东•高二校联考期末）若等比数列｛%｝的各项均为正数，且d+%4=2e6,

则Intz1+Ina2++In%.

【答案】21

【详解】由等比数列的下标和性质有d=44，所以Y=e6.

因为数列｛%｝的各项均为正数，所以%=，，

因为a∣%=〃2。6=。Μ5=Y，所以

Inal+Ina2++In%=ln（a1a2%）=Ina：=71na4=7×3=21.

故答案为：21.

12.（2023•高三课时练习）已知S”是正项等比数列｛%｝的前〃项和，SH）=20,则

⅛-2S2O+SK）的最小值为.

【答案】-5

【详解】解：设｛为｝公比为9.

当4=1时,Sl0=IOa1=20,则q=2,此时有S30-2S20+S10=30Λ1-2×20ai÷IOa1=0;

当9力1时，

因为S30一$20=41+。22+L+。3（），S?。-S∣ο="∣∣+&++°20，Sg=《+&++。10，

所以邑0-S?o_%I+〃22+L+“30=/oS2（）­S]0_4]+012+L+a2（）_^∣0

02（）—S]0÷L+%oS]06f÷^z+L+”[O

cill+Cl1212

,220

所以520-‰=5,0×√°=20"。,S30-S20=(S20-Sl0)X<7°=SiO×q°=2O⅛,

所以∣∣2n

S30-2520+50=S30—52O-(52O-50)=20c∕-20√'"=2θ(q"'-g)-5,

当/°=；时，S30-2⅛+S10有最小值为一5.

综上所述，S3。-252。+小的最小值为-5.

故答案为：-5.

13.(2023・全国•高三专题练习)设正项等比数列｛q｝的前"项和为%若邑=IOJ则含

32

的值为.

【答案】91

【详解】方法一：等比数列｛q,｝中，邑，S4-S2,S6-S#成等比数列，

则邑，9S2,8IS2成等比数列，二$6-邑=8造2,.・・56=91邑,

方法二:设｛q｝公比为4，由题意显然g>0且#1,所以"(l-/)=io¥°—")nq=3,

l-‹7∖-q

i-q

故答案为：91.

14.(2023•高二课时练习)设等比数列伍,｝共有3"项，它的前2〃项的和为