《14.2.1平方差公式》课件（3套）

14．2乘法公式14.2.1平方差公式教学目标1．经历探索平方差公式的过程．2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．重点平方差公式的推导和应用．难点理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．重点和难点教学设计一、设问引入探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？(1)(x＋1)(x－1)；(2)(m＋2)(m－2)；(3)(2x＋1)(2x－1)．引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．二、举例分析再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报．三、归纳概括计算(a＋b)(a－b)．让学生计算，归纳算式的特征，说明结果的形式．然后，教师系统总结平方差公式．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.语言叙述：________________．教师引导学生归纳这个公式的一些特点：如公式左、右两边的结构，教给学生记忆公式的方法．四、应用新知教材例1运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(－x＋2y)(－x－2y)．填表：(a＋b)(a－b)aba2－b2最后结果(3x＋2)(3x－2)2(3x)2－22(x＋2y)(－x－2y)对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式；第二小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．教材例2计算：(1)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)；(2)102×98.此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．五、巩固练习教材第108页练习第1，2题．第1题口述完成；第2题采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成．六、小结与作业谈一谈：你这节课有什么收获？作业：教材第112页习题14.2第1题．平方差公式是特殊的整式的乘法，运用这一公式可以迅速而简捷地计算出符合公式的特征的多项式乘法的结果，运用公式计算一定要看是否符合公式的特征，这两个数分别是什么，公式中的字母a，b不仅可以代表具体的数字，字母，单项式，也可以代表多项式．教学反思B知识点1：平方差公式1．下列各式中，能用平方差公式计算的是(

)A．(2x－3y)(－2x＋3y)B．(－3x＋4y)(－4y－3x)C．(x－y)(x＋2y)D．(x＋y)(－x－y)Dm2－9

0.01m4－0.04n49x2－4y2

－1＋4a

知识点2：平方差公式的应用6．已知m＋n＝3，m－n＝2，则m2－n2＝____．7．填空：99×101＝(100－____)(100＋____)＝_________.8．三个连续的整数，中间的一个是n，则这三个整数的积是()A．3nB．n3

C．n3－1D．n3－n9．如图①，在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的公式是()A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．(a－b)2＝a2－2ab＋b26119999DB10．(习题1变式)运用平方差公式计算：(1)107×93；解：原式＝(100＋7)(100－7)＝1002－72＝9951(2)59.8×60.2；解：原式＝(60＋0.2)(60－0.2)＝602－0.22＝3599.96(3)(2x－1)2－(2x＋1)2.解：原式＝(2x－1＋2x＋1)(2x－1－2x－1)＝4x×(－2)＝－8x11．计算(x4＋1)(x2＋1)(x＋1)(x－1)的结果是(

)A．x8＋1B．x8－1C．(x＋1)8

D．(x－1)812．观察下列各式：1×3＝22－1，3×5＝42－1，5×7＝62－1，7×9＝82－1，….请你把发现的规律用含字母n(n为正整数)的等式表示出来为________________________.B(2n－1)(2n＋1)＝(2n)2－113．计算：(1)(3x＋1)(9x2＋1)(3x－1)；解：原式＝81x4－1(2)(2x－y)(y＋2x)－4(y－x)(－x－y)；解：原式＝3y2(3)20162－2015×2017.解：原式＝20162－(2016－1)(2016＋1)＝20162－20162＋1＝115．(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_________(写成两数平方差的形式)；(2)如图②，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是_______，长是_______，面积是

_____________(写成多项式乘法的形式)；(3)比较左右两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：

______________________(用式子表达)．a2－b2a－ba＋b(a－b)(a＋b)(a－b)(a＋b)＝a2－b216．(1)填空：(a－b)(a＋b)＝__________；(a－b)(a2＋ab＋b2)＝__________；(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝___________．(2)猜想：(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝_________(其中n为正整数，且n≥2)．(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23－22＋2.a2－b2a3－b3a4－b4an－bn方法技能：1．平方差公式的特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．2．公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的a和b可以是单项式，也可以是多项式．3．平方差公式可以逆用：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．易错提示：对平方差公式特征理解不透而出错．14.2

乘法公式

平方差公式八年级上册学习目标：

1．理解平方差公式，能运用公式进行计算．

2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想．学习重点：平方差公式．

在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）

=

；（2）=

；（3）=

．探究平方差公式

上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？

相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有

什么关系？探究平方差公式

在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）

=

；（2）=

；（3）=

．探究平方差公式

你能将发现的规律用式子表示出来吗？

在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）

=

；（2）=

；（3）=

．你能对发现的规律进行推导吗？

探究平方差公式理解平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

前面探究所得的式子

为乘法的平方差公式，你能用文字语言表述平方差公式吗？

ＡＦＧMBCDEHaabba-b

你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？

理解平方差公式理解平方差公式解：（1）

例1运用平方差公式计算：（1）；（2）

．理解平方差公式

例1运用平方差公式计算：（1）；（2）

．解：（2）巩固平方差公式

练习1

下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？（1）；（2）；（3）；（4）．

从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应注意什么？总结经验（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式

的结构特征；（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个

数或式相当于公式中的b；（3）总结规律：一般地，“第一个数”a的符号相同，

“第二个数”b的符号相反；

从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应注意什么？总结经验（4）公式中的字母a,b可以是具体的数、单项式、多

项式等；（5）不能忘记写公式中的“平方”．巩固平方差公式

例2

计算：（1）；（2）102×98．巩固平方差公式练习2运用平方差公式计算：（1）；（2）；（3）51×49；（4）．（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）平方差公式的结构特征是什么？（3）应用平方差公式时要注意什么？课堂小结教科书习题14.2第1题．

布置作业14.2.1平方差公式

（x＋3)(x＋５）=x2＋5x＋3X＋15=x2＋8x多项式与多项式是如何相乘的？＋15

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn知识复习:多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.计算下列各题:(a+b)(a-b)=?(2)(a+2)(a-2)=?(3)(3-x)(3+x)=?(4)(2m+n)(2m-n)=?比较等号两边的代数式,它们在系数和字母方面各有什么特点?两者有什么联系?想一想

灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!”慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗?5米5米a米(a-5)(a+5)米相等吗？原来现在面积变了吗？a2(a+5)(a-5)①（x＋4)(x－4）②（1＋2a)(1－2a）③（m＋6n)(m－6n）④（5y＋z)(5y－z）计算下列各题算一算，比一比，看谁算得又快又准

②（1＋2a)(1－2a）=1

－4a2③（m＋6n)(m－6n)=m2－36n2④（5y＋z)(5y－z)=25y2－z2①（x＋4)(x－4）=x2－16它们的结果有什么特点？x2

－4212－(2a)2m2

－(6n)2(5y)2

－z2平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.公式变形:1、（a–b)(a+b)=a2-b22、（b+a)(-b+a)=a2-b2

(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2

相同为a相反为b适当交换合理加括号平方差公式注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等．

口答下列各题：

(l)(-a+b)(a+b)=

_________(2)(a-b)(b+a)=__________(3)(-a-b)(-a+b)=________(4)(a-b)(-a-b)=_________a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+a)(-1+a)1、找一找、填一填aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12(a-b)(a+b)(a+b)(a–b)=a2-b2例1、用平方差公式计算计算：（x+2y)(x-2y)解：原式＝x2-(2y)2＝x2-4y2

注意

1、先把要计算的式子与公式对照,2、哪个是a

哪个是b例题例2

运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(b+2a)(2a－b);(3)(-x+2y)(-x-2y).解：（1）(3x＋2)(3x－2)=(3x)2－22=9x2－4；（2）(b+2a)(2a－b)=(2a+b)(2a－b)=(2a)2－b2=4a2－b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2－(2y)2=x2－4y2试试就能行例3计算:(1)102×98;(2)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5).解:(1)102×98(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=1002-22=1000–4=（100＋2）(100－2)=9996=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.（1）(a+3b)(a-

3b)=4a2－9；=4x4－y2.=(2a+3)(2a-3)=a2－9b2

；=(2a)2－32

=(-2x2)2－y2

=(50+1)(50-1)=502－12

=2500-1=2499=(9x2－16)

－(6x2+5x

-6)=3x2－5x-10=(a)2－(3b)2

（2）(3+2a)(－3+2a)（3）51×49（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)（4）(－2x2－y)(－2x2+y)相信自己我能行！练习利用平方差公式计算：1.计算

20042－

2003×2005;拓展提升解：20042

－

2003×2005=20042－

(2004－1)(2004+1)=20042－（20042－12)=20042－

20042+12

=12、利用平方差公式计算:（a-2)(a+2)(a2+

4)

解:原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16

（）3.化简(x4+y4

)(x4+y4

)(x4+y4)

(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2相反为b小结

相同为a适当交换合理加括号平方差公式练习1:下列式子中哪些可以用平方差公式运算?⑴(ab-8)(ab+8)

⑵⑶(2+a)(a-2)

⑷(3a+2b)(3a-2b)⑸(-4k+3)(-4k-3)

⑹(1-x)(-x-1)⑺(-x-1)(x+1)

⑻(x+3)(x-2)例1运用平方差公式计算:(3x+5y)(3x-5y)例2用平方差公式计算:(1)103×97(2)59.8×60.2课内练习:P127练习2:(a+b-c)(a-b-c)能用平方差公式运算吗?若能结果是哪两数的平方差?3.运用平方差公式计算:(2)5678×5680-567924.利用平方差公式计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1练习5:

如果(x+y-3)2+(x-y+5)2=0,求x2-y26.如果A=1234567892,B=123456788×123456790,

试比较A与B的大小.7.若m,n为有理数,式子的值与n有关吗?试说明理由14.2.1平方差公式

活动1

知识复习多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

(x+1)(x－1)；(2)(a+2)(a－2)；(3)(3－x)(3+x)；(4)(2x+1)(2x－1).(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.活动2

计算下列各题，你能发现什么规律？

平方差公式:(a+b)(a－b)=a2－

b2.即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.(－m+n)(－m－n)=m2－

n2.(a+b)(a－b)=a2－

b2.a2－ab+ab－b2=请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？(a+b)(a－b)=a2－b2.图1图2例1

运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(b+2a)(2a－b);(3)(-x+2y)(-x-2y).解：（1）(3x＋2)(3x－2)=(3x)2－22=9x2－4；（2）(b+2a)(2a－b)=(2a+b)(2a－b)=(2a)2－b2=4a2－b2.(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2－(2y)2=x2－4y2活动3例2

计算(1)102×98(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)2.利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a-

3b)=（2）(3+2a)(－3+2a)=（3）(－2x2－y)(－2x2+y)=（4）51×49=（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)=(a)2－(3b)2

=4a2－9；=4x4－y2.活动4练习

1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？

(1)(x+2)(x－2)=x2－2；(2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.(2a+3)(2a-3)=a2－9b2

；=(2a)2－32

(-2x2)2－y2

(50+1)(50-1)=502－12

=2500-1=2499(9x2－16)

-(6x2+5x

-6)=3x2－5x+10活动5

科学探究

给出下列算式:32－12=8=8×1；

52－32=16=8×2