2024版高考数学全程学习复习导学案第四章导数及其应用第三节导数与函数的极值最值课件

第三节导数与函数的极值、最值【课程标准】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会利用导数求某些函数的极大值、极小值.3.会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.知识梳理·思维激活【必备知识·精归纳】1.函数的极值与导数点睛(1)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.(2)在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.条件f'(x0)=0在点x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0在点x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极____值f(x0)为极____值极值点x0为极____值点x0为极____值点大小大小2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条__________的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的______;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中______的一个是最大值,______的一个是最小值.点睛极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.连续不断极值最大最小【常用结论】1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.【基础小题·固根基】1.(教材变式)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】由题意知只有在x=-1处f'(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正.教材改编结论应用易错易混1,2,3,456A

C

A

答案:45.(结论1)若函数f(x)=aex-sinx在x=0处有极值,则a=

.答案:1

6.(忽视极值的存在条件)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1处取得极值10,则a=

,b=

.

答案:4

-11题型一

利用导数求函数的极值问题角度1

根据函数图象判断极值[典例1]已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图,则下列叙述正确的是 (

)A.函数f(x)在(-∞,-4)上单调递减B.函数f(x)在x=-1处取得极大值C.函数f(x)在x=-4处取得极值D.函数f(x)只有一个极值点核心题型·分类突破D【解析】由题中导函数的图象可得,当x≤2时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增;当x>2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递减区间为(2,+∞),故A错误;当x=2时函数取得极大值,故B错误;当x=-4时函数无极值,故C错误;只有当x=2时函数取得极大值,故D正确.【方法提炼】

由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.

B

x(0,2)2(2,3)3(3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

x(0,a)a(a,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增【方法提炼】 ——自主完善,老师指导

运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤(1)先求函数y=f(x)的________,再求其导数f'(x).(2)求方程_______在f(x)定义域内的根.(3)检查导数f'(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得________;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得________.提醒(1)导数为零的点不一定是极值点.(2)在解答题中涉及极值问题要列出表格.定义域f'(x)=0极大值极小值角度3

已知极值(点)求参数[典例3](1)(2021·全国乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则

(

)A.a<b B.a>bC.ab<a2

D.ab>a2D【解析】当a>0时,根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图1所示,观察可知b>a.当a<0时,根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图2所示,观察可知a>b.综上,可知必有ab>a2成立.

(3)(2022·全国乙卷)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1<x2,则a的取值范围是

.

【解析】f'(x)=2lna·ax-2ex,因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax-ex2的极小值点和极大值点,所以函数f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上递增,所以当x∈(-∞,x1)和(x2,+∞)时,f'(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,若a>1,当x<0时,2lna·ax>0,2ex<0,则此时f'(x)>0,与前面矛盾,故a>1不符合题意,若0<a<1,则方程2lna·ax-2ex=0的两个根为x1,x2,即方程lna·ax=ex的两个根为x1,x2,即函数y=lna·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,因为0<a<1,所以函数y=ax的图象是单调递减的指数函数,又因为lna<0,所以y=lna·ax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换,然后将图象上的每个点的横坐标保持不变,纵坐标伸长或缩短为原来的|lna|倍得到,如图所示,

【一题多变】

若本例(2)变为f(x)存在两个极值点x1,x2(x1≠x2),则a的取值范围为

.

【方法提炼】

已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.【对点训练】1.(2023·广州模拟)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(x-1)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中正确的是 (

)A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3)B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3)C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3)D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3)D【解析】由题图知,当x∈(-∞,-3)时,y>0,x-1<0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-3,1)时,y<0,x-1<0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,y<0,x-1>0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减.所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).

B

B

C

D

(2)(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为

.

(3)已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.①当a=-1时,求f(x)的最大值;②若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.

【方法提炼】求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最值的方法(1)若所给的问题中不含有参数,则只需求f'(x),并求f'(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给的问题中含有参数,则需求f'(x),通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.

C

C

3.(2021·浙江高考)已知函数f(x)=x3-3x,x∈[0,2],则f(x)的最大值是

,最小值是

.

【加练备选】

已知函数g(x)=alnx+x2-(a+2)x(a∈R).(1)若a=1,求g(x)在区间[1,e]上的最大值;(2)求g(x)在区间[1,e]上的最小值h(a).

【方法提炼】

利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤提醒在利用导数解决实际问题时,若在定义域内只有一个极值,则这个值即为最优解.【对点训练】

某村