专题05导数的综合问题（九大考点）

专题05导数的综合问题思维导图核心考点聚焦考点一：构造函数解不等式问题考点二：证明不等式考点三：恒成立问题考点四：能成立问题考点五：零点问题考点六：方程的根问题考点七：双变量问题问题考点八：实际应用问题考点九：极值点偏移问题1、恒成立问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．2、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．3、函数零点问题的常见考点：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．1、极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．图1极值点不偏移图2极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．2、利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形考点剖析考点一：构造函数解不等式问题例1．（2024·陕西西安·高二统考）已知是函数的导函数，，且对于任意的有．请你试用构造函数的方法，利用函数的单调性判断下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，，则，故在上单调递增，而，故，故是偶函数，故，即，故A正确，BCD错误，故选：A．例2．（2024·全国·高三专题练习）若函数在R上可导，且满足恒成立，常数则下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则恒成立，故在上单调递增．，，即．故选：A例3．（2024·湖北武汉·高二武汉市育才高级中学校联考期末）已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增，因为定义域为的奇函数，则过点，且，则过点，由奇函数的图象关于原点对称，画出示意图如下：或，故选：D.考点二：证明不等式例4．（2024·浙江·高三专题练习）证明以下不等式：(1)；(2)；(3).【解析】（1）令，则有.令，即，解得；令，即，解得，所以在单调递减，上单调递增，所以，即.所以.（2）令，则.令，即，解得；令，即，解得，所以在单调递增，上单调递减，所以，即，所以.（3）由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①.由（2）得，所以（当且仅当时取等号）②因为①式与②式取等号的条件不同，所以.例5．（2024·全国·高二专题练习）当时，证明：不等式.【解析】设，其中，则，故函数在上为增函数，所以，，故对任意的，.例6．（2024·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知函数在处取得极值.(1)求实数的值;(2)证明:对于任意的正整数,不等式成立.【解析】（1）,为的极值点,.当时,,,令,当,的增区间是,减区间是,符合题意.（2）由（1）知当时,,即,令,则,即,,即.考点三：恒成立问题例7．（2024·天津·高二天津市西青区杨柳青第一中学校联考期末）已知函数其中为常数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）当时，，则，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，（2）的定义域为，由，得，当时，，当时，，所以的递增区间为，递减区间为，（3）由（2）可知当取得最大值，因为对任意，不等式恒成立，所以，即，，解得或，即的取值范围为.例8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，其图象在点处的切线方程为．(1)求，的值与函数的单调区间；(2)若对，，不等式恒成立，求的取值范围．【解析】（1），，函数的图象在点处的切线方程为．解得，．，令，解得或；令，解得．函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．（2）由（1）可得：，．令，则，所以当变化时，的变化情况如下：，02，00单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：当时，函数取得极大值，，又．函数在上的最大值为8．由，不等式恒成立，．，解得或．的取值范围是．例9．（2024·陕西榆林·高二校考）已知函数，.(1)当时，求函数的极值；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）当时，，则，令，得，令，得∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数的极大值为，无极小值；（2）当，，则是增函数.当时，则是减函数，∴的最大值为，∵恒成立，∴，解得，∴的取值范围为.考点四：能成立问题例10．（2024·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）已知函数.(1)若，求函数的极小值.(2)存在，使得成立，求实数的取值范围．【解析】（1）当时，则，令，得．时，函数的单调递增区间为，时，函数的单调递减区间为；所以函数的极小值为.（2）由题设，在上，设，则，显然当时恒成立，所以在单调递增，则，综上，，故．例11．（2024·重庆铜梁·高二铜梁一中校考阶段练习）已知函数在处取得极值，其中为常数.（1）试确定的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式有解，求的取值范围.【解析】（1）由题意知，因此，从而．由题意求导得，因此，解得；（2）由（1）知．令，解得．1＋0－极大值因此的单调递增区间为，而的单调递减区间为；（3）由（2）知，在处取得极大值，此极大值也是最最值．要使（）有解，只需．即，从而．解得．所以的取值范围为.例12．（2024·陕西西安·高三阶段练习）已知函数.（1）若，求曲线在处切线的方程；（2）求的单调区间；（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.【解析】（1）由已知，，曲线在处切线方程为，即.（2）.①当时，由于，故，所以，的单调递增区间为，无单调递减区间.②当时，由，得.在区间上，，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）由已知，转化为，由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.(或者举出反例：存在，故不符合题意.)当时，在上单调递增，在上单调递减，故的极大值即为最大值，，所以，解得.考点五：零点问题例13．（2024·四川·高三统考对口高考）已知a，b为实数，是定义在R上的奇函数．(1)求a，b的值；(2)证明：函数有唯一零点．【解析】（1）因函数是定义在R上的奇函数，则，，因此，恒成立，所以.（2）由（1）知，，，在上单调递增，则函数至多有一个零点，又，所以函数有唯一零点．例14．（2024·四川资阳·高二校考）已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，如图所示，求(1)，，的值；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．【解析】（1）由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，于是有，由，所以有；（2）由（1）函数的极小值为，极大值为，而知函数的图象如下图所示因为函数有三个零点，所以函数的图象与直线有三个不同的交点，所以.例15．（2024·青海西宁·统考二模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若恰有一个零点，求a的值．【解析】（1），令，得．因为，则，即原方程有两根设为，所以（舍去），．则当时，，当时，在上是减函数，在上是增函数．（2）由（1）可知．①若，则，即，可得，设，在上单调递减所以至多有一解且，则，代入解得．②若，则，即，可得，结合①可得，因为，，所以在存在一个零点．当时，，所以在存在一个零点．因此存在两个零点，不合题意综上所述：．考点六：方程的根问题例16．（2024·四川乐山·高二期末）已知函数．(1)求的极值；(2)求方程有两个不同的根，求的取值范围．【解析】（1）∵，∴的定义域为，，令，解得．则当时，单调递减，当时，单调递增，∴在单调递减，在单调递增．∴当时，有极小值，没有极大值.（2）∵时，，时，，则的图象如下：由图象可知，当时，方程有两个不同的根.故的取值范围为．例17．（2024·北京大兴·高二统考）已知函数．(1)求的极值；(2)比较的大小，并画出的大致图像；(3)若关于的方程有实数解，直接写出实数的取值范围．【解析】（1）的定义域为，，于是时，单调递增；时，单调递减，又，则在处取到极小值，无极大值.（2）由（1）知，在区间上单调递减．故．又因为当时，，故，所以．因为，所以．结合（1）中的单调性，大致图像如下：（3）的解的个数可以看成和直线在同一坐标系下图像交点的个数，由（2）的图像知，当的取值不小于最小值即可，即例18．（2024·北京·高二北京市第三十五中学校考）已知函数.(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.(3)若方程有三个根，写出k的取值范围（无需解答过程）.【解析】（1）,令可得或，令可得，故函数的增区间为和，减区间为.（2）由（1）知，上递增，在递减，故当时，，又，故.（3）由（1）（2）知函数在上递增，在上递减，在上递增，且极大值为，极小值为，若方程有三个根，即与图象有3个交点，故k的取值范围为.考点七：双变量问题问题例19．（2024·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围．【解析】（1）由，若，则恒成立，即在上单调递增，若，令得，即在上单调递增，令得，即在上单调递减，综上所述当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）得当时，在上单调递增，当趋近于时，趋近于，不符合题意，故，则，所以，令，显然当时，，时，，故在时单调递减，在上单调递增，即，所以，即例20．（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知，函数．(1)当与都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数的值；(2)当时，若，求证：【解析】（1），定义域均为，，

当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；当时，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；

又，当时：，在单调递减，无极值，与题不符；当时：令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；依题意，解得：，（2）当时，，由题意可知，，两式相减得，整理为，要证明，即证明，不妨设，即证明，即，设，即证明，设，，所以函数在区间单调递减，且，即在区间恒成立，即,即，得证.例21．（2024·吉林长春·高二长春市第五中学校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)对任意的、，当时都有，求实数的取值范围.【解析】（1）函数定义域为，.当时，对任意的，，所以，函数的减区间为，无增区间；当时，由得，由得.此时函数的增区间为，减区间为.综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；当时，函数的增区间为，减区间为.（2）由，即.令，因为，则，所以，函数在上单调递增，所以，在上恒成立，即在上恒成立，只需，设，，在单调递增，所以.综上所述，实数的取值范围为.考点八：实际应用问题例22．（2024·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）已知某商品的成本和产量满足关系（元），该商品的销售单价和产量满足关系式（元），记该商品的利润为（假设生产的商品能全部售出，利润=销售额成本）．(1)将利润（元）表示为产量的函数；(2)当产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少万元？【解析】（1）由题意可知，，（2）因为，由，解得．当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时，取得最大值，且最大值为315万元．答：当产量为200时，可获得最大利润为315万元．例23．（2024·全国·高二专题练习）为进一步推进国家森林城市建设，我市准备制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列两个条件：①每年用于风景区改造的费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年用于风景区改造的费用不得低于每年改造生态环境总费用的，但不得高于每年改造生态环境总费用的.若每年改造生态环境的总费用至少亿元，至多亿元；请你分析能否采用函数模型作为生态环境改造投资方案．【解析】因为，，所以当时，函数是增函数，满足条件①.设，则令，得.当变化时，，的变化情况，如下表：当时，有最小值为，当时，，当时，，满足条件②.所以能采用函数模型作为生态环境改造投资方案．考点九：极值点偏移问题例24．（2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知函数.(1)若函数有两个零点，求的取值范围；(2)设是函数的两个极值点，证明：.【解析】（1），该方程有两个不等实根，由，所以直线与函数的图象有两个不同交点，由，当时，单调递减，当时，单调递增，因此，当时，，当，，如下图所示：所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；（2）因为是函数的两个极值点，所以，由（1）可知：，不妨设，要证明，只需证明，显然，由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，而，所以证明即可，即证明函数在时恒成立，由，显然当时，，因此函数单调递减，所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.例25．（2024·四川南充·高二统考期末）设函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：．【解析】（1）的定义域为，.令，则得到导函数的两个零点，或，由于分母为正，故我们只关注分子函数，其为二次函数，借助其图像，以两个零点的大小关系为分类标准得到如下：①当时，即时，当时，，单调递减，当时，，单调递增；②当时，即时，恒成立，即恒成立，故在上单调递增；综上所述，当时，的单减区间为，单增区间为；当时，只有单增区间；（2）由题可知，，设是方程的两个不等实根，不妨设为，则，两式相减整理得到，从而得到，要证，故只需要证明，由于，转化为，即，即，令，则上述式子转化为设，则，当且仅当时等号成立，故在上单调递增，故有，故得证，即.例26．（2024·广东深圳·高三校联考阶段练习）已知函数(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；(2)设是两个不相等的实数，且．求证：【解析】（1）当时，，因为，所以，即，不符合题意；

当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．

所以．

由恒成立可知，所以．

又因为，所以的取值范围为．（2）因为，所以，即．令，由题意可知，存在不相等的两个实数，，使得．

由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．不妨设，则．设，

则，所以在上单调递增，

所以，即在区间上恒成立．因为，所以．

因为，所以．

又因为，，且在区间上单调递增，所以，即．过关检测1．（2024·陕西西安·高二校考）已知函数的定义域为，其导函数是．若恒成立，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，则，所以函数在定义域内为单调递增，因为，所以关于的不等式可转化为，即，因为，所以，即不等式的解集为.故选：A2．（2024·湖北·高二校联考）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，因为，所以，所以在上单调递减，又，所以，解得所以.故选：B3．（2024·陕西商洛·高二校考）已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)当时，证明：不等式在上恒成立．【解析】（1）当时，，则，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取得最小值为．（2），且，，设，，，，故在上恒成立，故单调递增，，故在上单调递增，恒成立．4．（2024·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：不等式.【解析】（1）定义域为，，①若恒成立，即恒成立，因为，所以恒成立，所以，因为，当且仅当即时，等号成立，所以，即时，在上是单调递增；②当时，则的根为，，由，得，，由，得或，，得.∴在，上单调递增，在上单调递减.综上，时，在上是单调递增；时，在，上单调递增；在上单调递减.（2）要证，只须证.∵，即证.法一：∵，∴只需证，则，令，恒成立，∴在上单调递增，又，.∴使，即，∴.当时，，即；当时，，即，∴在上单调递减，在上单调递增，∴.∴，得证.法二：令，只须证.，令，则.∵，∴，∴在上单调递增.又∵，而，∴，使，∴，即.∵，在上单调递增，∴，即，又知，知.当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，得证.5．（2024·安徽芜湖·高二安徽师范大学附属中学校考）已知函数在与处都取得极值．（1）求，的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由题设，，又，，解得，．（2）由，知，即，当时，，随的变化情况如下表：1+00+递增极大值递减极小值递增∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值，要使对任意恒成立，则只需，解得或，∴实数的取值范围为．6．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知函数.（1）求函数在区间上的最大值和最小值(参考数据：)；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.【解析】（1）求导得：，令可得，令可得，于是函数在单调递增，在单调递减，于是当时，取最大值为，又，，于是当时，取最小值为综上：当时，取最大值为，当时，取最小值为（2）原不等式即为：，可化简为记，则原不等式有解可转化为的最大值求导得：，于是函数在上单调递增，在上单调递减于是：，于是，解得：.7．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考）已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，所以，所以当或时，当时，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，因为函数在上有两个不同的零点，所以，即，解得，即实数的取值范围为.8．（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校联考）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)方程恰有两个不同的实根，求的取值范围.【解析】（1）依题意，，，所以，又，所以切线方程为.（2）因为，所以：当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减.所以在处取得极大值也即是最大值，对于函数，，，当时，；当时，.所以的取值范围是.9．（2024·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）设函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.【解析】（1）当时，，则定义域为，，当时，；当时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为.（2）定义域为，，有两个极值点等价于在上有两个不等实根，，，，，；设，则，在上单调递减，，即，的最小值为.10．（2024·高二单元测试）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，