高考数学人教B版一轮复习训练2-3函数的奇偶性对称性与周期性

核心考点·精准研析考点一函数奇偶性的判断

1.下列函数为奇函数的是 ()A.f(x)=QUOTE B.f(x)=exC.f(x)=cosx D.f(x)=exex2.已知函数f(x)=3xQUOTE,则f(x) ()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数3.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则 ()A.函数f(g(x))是奇函数B.函数g(f(x))是奇函数C.函数f(x)·g(x)是奇函数D.函数f(x)+g(x)是奇函数4.已知定义在R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)f(x1)=f(x2)+5,则下列命题正确的是 导学号()A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数C.f(x)+5是奇函数 D.f(x)+5是偶函数【解析】1.选D.对于A,定义域不关于原点对称,故不是奇函数;对于B,f(x)=ex=QUOTE≠f(x),故不是奇函数;对于C,f(x)=cos(x)=cosx≠f(x),故不是奇函数;对于D,f(x)=exex=(exex)=f(x),是奇函数.2.选A.因为函数f(x)的定义域为R,f(x)=3xQUOTE=QUOTE3x=f(x),所以函数f(x)是奇函数.因为函数y=QUOTE在R上是减函数,所以函数y=QUOTE在R上是增函数.又因为y=3x在R上是增函数,所以函数f(x)=3xQUOTE在R上是增函数.3.选C.令h(x)=f(x)·g(x),因为函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数,所以f(x)=f(x),g(x)=g(x),所以h(x)=f(x)·g(x)=f(x)·g(x)=h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.4.选C.取x1=x2=0,得f(0+0)f(0)=f(0)+5,所以f(0)=5.令x1=x,x2=x,则f[x+(x)]f(x)=f(x)+5,所以f(0)f(x)=f(x)+5,所以f(x)+5=[f(x)+5],所以函数f(x)+5是奇函数.判断函数奇偶性的方法(1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:QUOTE=±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性.(2)图象法:利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性.(3)验证法:即判断f(x)±f(x)是否为0.(4)性质法:在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.考点二函数的周期性及应用

【典例】1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当x∈QUOTE时,f(x)=x33x,则f(2018)= ()A.2 B.-18 C.18 D.22.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=QUOTE,且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(2017)+f(2019)的值为 ()A.0 B.-4 C.2 D.23.(2019·重庆模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f(x)=x,则f(16)=________. 导学号

【解题导思】序号联想解题1由f(x+5)=f(x),想到周期函数2由f(x+2)=QUOTE,想到周期函数3由f(x)的图象关于直线x=3对称,想到f(x)=f(6x)【解析】1.选D.因为f(x)满足f(x+5)=f(x),所以f(x)是周期为5的函数,所以f(2018)=f(403×5+3)=f(3)=f(52)=f(2),因为f(x)是奇函数,且当x∈QUOTE时,f(x)=x33x,所以f(2)=f(2)=(233×2)=2,故f(2018)=2.2.选A.当x≥0时,f(x+2)=QUOTE,所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.所以f(2017)=f(2017)=f(1)=log22=1,f(2019)=f(3)=QUOTE=1,所以f(2017)+f(2019)=0.3.根据题意,函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则有f(x)=f(6x),又由函数为奇函数,则f(x)=f(x),则有f(x)=f(x6)=f(x12),则f(x)的最小正周期是12,故f(16)=f(4)=f(4)=f(2)=(2)=2.答案:21.抽象函数的周期性(1)如果f(x+a)=f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=QUOTE(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x+a)=f(xb),则T=|a+b|.(5)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|ab|.(6)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|ab|.2.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(bx)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.1.(2020·菏泽模拟)定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,fQUOTE=1,则fQUOTE的值为 ()A.1 B.-1 C.0 D.2【解析】选B.因为函数f(x)的周期为π,所以fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE,因为f(x)为奇函数,所以fQUOTE=fQUOTE=1.2.(2019·长春模拟)已知定义在R上的函数f(x)的周期为6,且f(x)=QUOTE则f(7)+f(8)= ()A.11 B.QUOTE C.7 D.QUOTE【解析】选A.根据f(x)的周期是6,故f(7)=f(1)=QUOTE(1)+1=4,f(8)=f(2)=f(2)=QUOTE(2)+1=7,所以f(7)+f(8)=11.3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x2).若当x∈[3,0]时,f(x)=6x,则f(919)=____________.

【解析】因为f(x+4)=f(x2),所以f[(x+2)+4]=f[(x+2)2]即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(1)=f(1)=6,即f(919)=6.答案:6考点三函数性质的综合应用

命题精解读考什么:(1)求函数值、解析式或参数值,奇偶性与单调性、奇偶性与周期性交汇等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养.怎么考:函数奇偶性、单调性、周期性以及对称性(奇偶性质的扩展)等知识单独或交汇考查.学霸好方法奇偶函数对称区间上的单调性:奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.求函数值、解析式或参数值【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=eax.若f(ln2)=8,则a=________.

2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x2x,则当x>0时,f(x)= ()导学号A.2x2x B.2x2+xC.2x2x D.2x2+x【解析】1.因为ln2>0,所以ln2<0,由于f(x)是奇函数,所以f(ln2)=f(ln2)=8,即e(ln2)a=8,解得a=3.答案:32.选C.当x>0时,x<0,f(x)=2(x)2(x)=2x2+x,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=f(x)=2x2x.1.如何求奇偶函数对称区间上的解析式?提示:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.2.如何求奇偶函数对称区间上的函数值?提示:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.奇偶性与单调性交汇问题【典例】函数f(x)在(∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=1,则满足1≤f(x2)≤1的x的取值范围是 ()A.[2,2] B.[1,1] C.[0,4] D.[1,3]【解析】选D.由已知,得f(1)=1,使1≤f(x)≤1成立的x满足1≤x≤1,所以由1≤x2≤1得1≤x≤3,即使1≤f(x2)≤1成立的x满足1≤x≤3.解决与抽象函数有关的不等式问题的关键是什么?提示:利用题设条件,想办法去掉“f”符号即可解决.奇偶性与周期性交汇问题【典例】(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(∞,+∞)的奇函数,满足f(1x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ()导学号A.50 B.0 C.2 D.50【解析】选C.f(x)是定义域为(∞,+∞)的奇函数,图象关于原点对称,满足f(1x)=f(1+x),则f(x+4)=f(1(x+3))=f(x2)=f(x+2)=f(1(x+1))=f(x)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(11)=f(0)=0,f(3)=f(1)=f(1)=2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.如何求解项数较多的式子的值?提示:因为多项式个数较多,可能与函数的周期性有关,可依据题设条件,先探索函数的周期性,再去求解.1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=QUOTE则g(8)= ()A.2 B.-3 C.2 D.3【解析】选A.方法一:当x<0时,x>0,且f(x)为奇函数,则f(x)=log3(1x),所以f(x)=log3(1x).因此g(x)=log3(1x),x<0,故g(8)=log39=2.方法二:由题意知,g(8)=f(8)=f(8)=log39=2.2.(2020·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=QUOTE,则实数a的取值范围为 ()A.(1,4) B.(2,1) C.(1,2) D.(1,0)【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,所以f(5)=f(1)=f(1),即QUOTE<1,化简得(a4)(a+1)<0,解得1<a<4.3.设函数f(x)=QUOTE为奇函数,则a=______.

【解析】因为f(x)=QUOTE为奇函数,所以f(1)+f(1)=0,即QUOTE+QUOTE=0,所以a=1.答案:11.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=()A.exex B.QUOTE(ex+ex)C.QUOTE(exex) D.QUOTE(exex)【解析】选D.由f(x)+g(x)=ex①,可得f(x)+g(x)=ex.又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,可得f(x)g(x)=ex②,则两式相减,可得g(x)=QUOTE