第六章 微波网络基础

第六章：微波网络基础主要内容1、微波接头的等效网络(概念与方法)2、一端口网络的阻抗特性3、微波网络的阻抗和导纳矩阵4、微波网络的散射矩阵5、ABCD传输矩阵6、传输散射矩阵7、微波网络的信号流图6.1微波接头的等效电路

本节的主要目的是将导波段等效为双导线，接头等效为集总参数网络，为利用矩阵分析微波系统打下基础。

均匀传输理论是建立在TEM传输线的基础上的,因此电压和电流有明确的物理意义,而且电压和电流只与纵向坐标z有关,与横截面无关,而实际的非TEM传输线如金属波导等,其电磁场E与H不仅与z有关,还与x、y有关,这时电压和电流的意义十分不明确,例如在矩形波导中,电压值取决于横截面上两点的选择,而电流还可能有横向分量。因此有必要引入等效电压和电流的概念,从而将均匀传输线理论应用于任意导波系统,这就是等效传输线理论。就双导体TEM传输线而言，正导体相对于负导体的电压可以表示为：1.等效电压和电流以及阻抗的概念

在高频（尤其是微波、毫米波频段）测量电压、电流几乎是不可能的(因为电压、电流的测量需要定义有效的端对，对传输TEM波的同轴线、带状线端对存在，但是对于传输TE/TM的波导系统则端对不存在)

根据Ampere定律：双导体传输系统中正导体上总的电流为：对于波导这种单导体传输的导行系统，其电压、电流的定义就会遇到困难。例如对于H10模，其横向场可以写为：

从上面的公式可以看出，矩形波导的H10模的电压取决于位置x和沿y方向的积分长度。对于x=0,y=b和x=a/2，y=b其计算的电压不相同。因此波导中不存在唯一的电压、电流、以及阻抗。因此需要定义等效的电压、等效电流和阻抗。

同样等效电压、电流以及阻抗由于定义的方法不一样，也会存在多种定义。通常为了得到最有用的结果，将等效电压、电流以及阻抗的定义做如下的约束。1)电压和电流仅对特定波导模式定义，且定义电压与其横向电场成正比，电流与其横向磁场成正比。2)为了和电路理论中的电压和电流应用方式相似，等效电压和电流的乘积应当等于该模式的功率流。3）单一行波的电压和电流之比应等于此线的特性阻抗；此特性阻抗可任意选择，但通常选择等于此线的波阻抗，或归一化为1.对于具有正向(入射)和反向(反射)行波的任意波导模式，其横向场可以写为(矢量叠加)：其中C1,C2为待定系数由波阻抗的定义，可以知道：由(6.1-6)以及电压、电流和电场、磁场的正比的约定(约束1)，可得到等效的电压波和电流波的定义为：对于书上(6.1-6)式中的待定系数C可以通过功率和阻抗条件确定。(即约束2和约束3)入射波的复功率流为(沿波导的横截面进行积分)：由约束2可以得到：特性阻抗：若要求波阻抗等于特性阻抗（约束3），则有：综上所述：对于给定的波导模式，可以通过求解C1,C2(6.1-10,6.1-12式分别对应的是功率和阻抗约束条件)，从而定义等效电压和电流。若要求波阻抗等于特性阻抗Z0=1（约束3），则有：波导中的一般场可以表示为各个传输模式场解的矢量和，即多模传输线的等效例子6.1求矩形波导H10模的等效电压和等效电流矩形波导H10模的入射功率传输线模型的入射功率为：由约束条件2,其计算的入射功率应该相等,根据(6.1-9)（6.1-10）式有：若选择特性阻抗为波导的波阻抗因此等效的电压和等效电流（2)阻抗概念2、均匀波导的等效电路利用公式(3.2-1a中的Hy公式)以及前面的结论,TM波,Hz=0即变成等效传输线方程参见(2.1-3)由此可以得到TMmn模波导的传输线等效电路，如图所示，其单位长度的阻抗/导纳为：波导传输线等效电路传输TMmn模，对应的截止频率出现在串联电路阻抗等于0的时候，即对应的单位长度串联阻抗和并联导纳为：对于传输TEmn模的矩形波导，其等效电路如图所示：

对于传输TEmn模，当工作频率小于截止频率的时候，并联支路呈感性。

对于传输TEmn模，截止频率出现在并联导纳为0的时候：即

根据传输线的定义无论波导传输TEmn模或TMmn模，其对应的特性阻抗为串联阻抗和并联导纳比的平方根：

综上所述：传输TE,TM波的波导在谐振的时候，其谐振频率均满足：3、不均匀性的等效网络：

实用的微波元件及系统均含有各种各样的不均匀性(即不连续性).不连续性主要包括1)截面形状或材料性能在波导某处的突然改变。2)截面形状或材料性能在一定距离内连续改变。3）均匀波导系统的障碍物或孔缝4)波导的分支等等

由于在y向上的膜片使得TE10模的电场发生变化，从而使得等效为一个电容。

由于在x向上的膜片使得TE10模的磁场发生变化，等效为一个电感。

波导的不均匀性可以采用集总元件网络来等效。对于传播单一模式，含不均匀的波导结便可以按端口波导数等效为一端口，二端口、三端口微波网络。

由于在y向上的膜片使得TE10模的电场发生变化，从而使得等效为一个电容

注意：(1)微波网络的形式与模式相关，若传输单一模式，则等效为一个N端口网络，对于传输M种模式，则可以等效为N*M端口的微波网络。（2）微波网络的形式和参考面(不均匀区段的网络端面)的选取有关，参考面的选取通常是垂直于各端口的轴线，并远离不均匀区，使得参考面上没有高次模，只有相应的传输模式。微波元件等效为微波网络的原理电磁场唯一性定理指出,如果一个封闭曲面上的切向电场(或切向磁场)给定,或者一部分封闭面上给定切向电场,另一部分封闭面上给定切向磁场,那么这个封闭面内的电磁场就被唯一确定。微波网络的边界是由理想导体和网络参考面所组成,而理想导体的边界条件为切向电场均等于零,因此只要给定参考面上切向电场(或切向磁场),或者一部分参考面上给定切向电场,另一部分参考面上给定切向磁场,则区域内的电磁场也被唯一确定。微波网络的特性网络的分类微波网络的种类很多,可以按各种不同的角度将网络进行分类。若按网络的特性进行分类,则可分为下列几种。(1)线性与非线性网络若微波网络参考面上的模式电压与模式电流呈线性关系,则描写网络特性的网络方程为线性代数方程。这种微波网络称为线性网络。。(2)可逆和不可逆网络若网络内只含有各向同性媒质,则网络参考面上的场量呈可逆状态,这种网络称为可逆网络,反之称为不可逆网络。一般非铁氧体的无源微波元件都可等效为可逆微波网络,而铁氧体微波元件和有源微波电路,则可等效为不可逆的微波网络。可逆与不可逆网络又可称为互易网络和非互易网络。(3)无耗和有耗网络若网络内部为无耗媒质,且导体是理想导体,即网络的输入功率等于网络的输出功率。这种网络称为无耗网络,反之称为有耗网络。(4)对称和非对称网络如果微波元件的结构具有对称性,则与它相对应的微波网络称为对称网络。反之称为非对称网络。复数玻应亭定理：6.2一端口网络的阻抗特性如图6.2-1所示的任意一端口网络，传递给该网络的复功率可以表示为：Pl为实功率，代表网络耗散的平均功率，Wm,We分别代表磁场和电场的平均储能。网络端口平面上的场可以表示为：则传递给该网络的功率，用电压，电流表示为：输入阻抗为:由此可见，输入阻抗的实部与功率耗散有关，而虚部与网络的储能有关.对于无耗的网络，则Pl=0,对应的输入阻抗为一个纯虚数，其电抗为：对于磁能大于电能的情况，输入阻抗为纯感抗，对于磁能小于电能的情况，输入阻抗为纯容抗。Foster电抗定理：

一个无耗网络的电抗对频率具有正的斜率。

它专门适用无耗网络，出发点还是Maxwell方程组：分项列出如下：

考虑到下列矢量恒等式:

利用散度定理有：

结果和前面有负号表示相反，是将ds方向为向内（内壁的法向方向）。

将6.2-2式代入上式有：

于是有

同理：

结论：即一个无耗网络的电抗对频率具有正的斜率。2.阻抗和反射系数的奇偶特性

一端口网络输入端的阻抗为Z(ω),该点的电压和电流的关系为：

3、微波网络的阻抗和导纳矩阵如果网络内部的媒质是线性媒质,则描写网络内部电磁场的麦克韦斯方程为一组线性微分方程。同理,描写各个参考面上的模式电压和模式电流之间的关系的方程也是线性方程,即网络为线性网络。对于n端口线性网络,如果各个参考面上都有电流作用时,应用叠加原理,则任意参考面上的电压为各个参考面上的电流单独作用时在该参考面上引起的电压响应之和,即式中Zij为阻抗参量,若i=j表示其他所有端口都开路情况下，端口i的输入阻抗Zii，若i≠j，表示所有其他端口开路情况下端口j和端口i之间的转移阻抗。网络方程分写成下列矩阵方程:

或简写为

同样,如果n端口网络的各个参考面上同时有电压作用时,则在任意参考面上的电流为各个参考面上电压单独作用时,在该参考面上的电流响应之和,即或简写为其中［Z］为阻抗矩阵,［Y］为导纳矩阵。由此可见,任何一个微波系统的不均匀性问题都可以用网络观点来解决,网络的特性可以用网络参量来描写。式中Ymn为导纳参量,若m=n称它为自导纳,若m≠n称它为转移导纳4.微波互易网络互易网络其阻抗、导纳矩阵必为对称阵。

相应的对于一个任意的网络，假定端口1和2以外的所有端口参考面短路，Ea,Ha和Eb,Hb为网络中两个独立源在网络中任意一点产生的电场和磁场，由前面推导的电磁场互易定理有：5.无耗网络

如果N端口网络是一个互易、无耗的，则可以证明该网络的阻抗矩阵和导纳矩阵的阵元必定为纯虚数。如果网络是无耗的，则传送给该网络的净功率必定为0，因此有：例：求如图所示双端口网络的［Z］。解：由［Z］矩阵的定义于是

6.4微波网络的散射矩阵：

前面讨论的网络矩阵及其所描述的微波网络,都是建立在电压和电流概念基础上的,因为在微波系统中无法实现真正的恒压源和恒流源,所以电压和电流在微波频率下已失去明确的物理意义。另外这些网络参数的测量不是要求参考面端口开路就是要求端口短路,这在微波频率下也是难以实现的。但在信源匹配的条件下,总可以对驻波系数、反射系数及功率等进行测量,也即在与网络相连的各分支传输系统的端口参考面上入射波和反射波的相对大小和相对相位是可以测量的(即反射系数)；而散射矩阵就是建立在入射波、反射波的关系基础上的网络参数矩阵。散射参数有行波散射参数和功率波散射参数之分。(1)行波散射参数对应的是以特性阻抗匹配为原则，对应的在测量上的外在表现为电压驻波比。(2)功率波散射参数是以共轭匹配（即最大功率匹配)为原则，在测量上对应的外在表现为失配因子M(即相对于共轭匹配的偏差)。1、散射参数的定义

行波散射参数是用网络端口的入射电压波和出射电压波来描述网络特性的矩阵。如图所示一个N端口网络，第i个端口的参考面z处的电压为Vi(z),电流为Ii(z),由入射电压和反射电压的叠加可以知道：对应的N个端口，以归一化入射波幅度ai为自变量，归一化出射波幅度bi为因变量，其散射矩阵可以写为：散射参量的定义为：即Sij的意义为j端口为入射电压波激励，i端口为出射电压波输出的比值。条件为入射波除j端口外其余的端口入射波均为0，即其余端口全部接匹配负载，使得能量被吸收，没有反射。

当i=j的时候，其表示的是出i端口以外，其余的所有端口均接匹配负载，则Sii表示的是反射电压和入射电压的比值，即电压反射系数。当i不等于j的时候，Sij表示的是在所有其他端口接匹配负载的情况下，从端口j传输到端口i的电压幅度的比值，即传输系数。即S参数的第一个脚标表示输出端口，第二个脚标表示输入端口。

表示端口2匹配时,端口1的反射系数表示端口1匹配时,端口2的反射系数表示端口1匹配时,端口2到端口1的反向传输系数表示端口2匹配时,端口1到端口2的正向传输系数对于二端口网络可以表示为：[S]矩阵和[Z]、[Y]矩阵的关系：

根据公式(6.3-2a)

公式(6.4-15)写成矩阵形式有：用同样的方法可以得到[Z]、[Y]和[S]的关系：同理[Y]和[S]的关系为：由公式(6.4-19)，对于一端口网络和传输线的结论一致。3、级联二端口网络的散射矩阵如图所示：电路有两个二端口网络级联构成，其散射矩阵分别表示为[S]A，[S]B,根据散射参数的定义，应该有：

用单个二端口网络的散射参数表示级联二端口网络的散射矩阵，在网络分析和CAD中比较有用。

重复运用该关系，可以得到多个二端口网络级联构成的二端口网络总的散射矩阵。常用的二端口网络的散色矩阵如表(6.6-1)所示：4.散射矩阵的特性(1).互易网络散射矩阵的对称性对于互易网络，其阻抗矩阵和导纳矩阵是对称阵，同样对于其散射矩阵也是对称阵。(2).无耗无源网络散射矩阵的么阵性

么阵性:散射矩阵的转置和散射矩阵的共轭矩阵的乘积为一个单位阵。对于一个N端口无耗、无源网络，网络的输入功率、输出功率可以表示为：(3).无耗传输线条件下，散射参数的幅值不会随参考面的移动而改变。

广义散射矩阵和二端口网络的功率增益(不要求)6.5转移矩阵(ABCD矩阵)

转移矩阵也称为［A］矩阵,它在研究网络级联特性时特别方便。在如图所示的等效网络中,若用端口“2”的电压V2、电流I2作为自变量,而端口“1”的电压V1和电流I1作为因变量,则可得如下线性方程组:

V1=AV2+B(I2)I1=CV2+D(I2)转移矩阵没有明确的物理意义，但非常适合分析级联的二端口网络。表示端口2开路时电压的转移参数表示端口短路时转移阻抗表示端口2开路时转移导纳表示端口2短路时电流的转移参数写成矩阵形式,则有：互易网络ABCD矩阵的特性：上面仅仅是两个二端口网络ABCD矩阵的级联的计算，可将其扩展到N个二端口网络的级联。从而得到总的网络的特性ABCD矩阵，然后根据网络矩阵之间的转换得到[S],[Z]等，从而便于分析网络的特性。两个二端口网络ABCD矩阵的级联：例子6.5-1求表6.6-1中串联阻抗、并联导纳和理想变压器的ABCD矩阵例子6.5-2求表6.6-1中传输线的ABCD矩阵例子6.5-3求表6.6-1中PI型网络的的ABCD矩阵例子6.5-4求表6.6-1中并联枝节线的的ABCD矩阵归一化ABCD矩阵：对于输入和输出端口传输线的特性阻抗为Z0相同的二端口网络，用Z0除以B和用Z0乘以C进行归一化处理，得到归一化的转移矩阵.2、ABCD矩阵和散射矩阵的关系：

S矩阵具有明确的物理意义，但不适合级联网络分析，ABCD矩阵没有明确的物理意义，但是适合级联网络分析，将ABCD矩阵和S矩阵建立关系，