第三节 条件概率与独立性

随机事件及其概率第三节条件概率与独立性

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.1.条件概率的引入如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).一般P(A|B)≠P(A).

一、条件概率P(A)=1/6，例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}，P(A|B)=？已知事件B发生，此时试验所有可能掷出偶数点的结果构成的集合就是B(即新的样本空间)，于是P(A|B)=1/3.B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，容易看到P(A|B)一、条件概率P(A)又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记

B={取到正品}A={取到一等品}，P(A|B)

注意:P(A),P(B),P(AB)都是在原样本空间中计算,而P(A|B)只能在新的样本空间中计算,虽然在数字上，,但意义完全不同,这是理解条件概率这一概念时特别要加以注意的.一、条件概率=3/10，一、条件概率P(A)=3/10，

B={取到正品}P(A|B)=3/7本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.A={取到一等品}，计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.一、条件概率若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间,于是有(1).2.条件概率的定义设A、B是两个事件，且P(B)>0，则称

(1)为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.一、条件概率3.条件概率的性质设B是一事件，且P(B)>0,则1.(非负性)对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;

2.(规范性)P(S|B)=1；3(可加性).设A1,…,An互不相容，则P[(A1+…+An

)|B]=P(A1|B)+…+P(An|B)而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.一、条件概率

2)用缩减的样本空间计算4.条件概率的计算1)用定义计算掷骰子例：A={掷出2点}，

B={掷出偶数点}P(A|B)=B发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中A所含样本点个数一、条件概率例1

掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?

解法1:

解法2:解:设A={掷出点数之和不小于10}B={第一颗掷出6点}应用定义在B发生后的缩减样本空间中计算一、条件概率例2

设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件.已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率是多少?

解法1:应用定义解:设A={有一件是不合格品}B={另一件也是不合格品}解法2:利用缩减的样本空间由条件概率的定义：P(AB)=P(B)P(A|B)，P(B)>0P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)>0二、乘法公式可以得到乘法公式：推广到多个事件的乘法公式:当P(A1A2…An-1)>0时，有P(A1A2…An)

=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)二、乘法公式例3

假设某地区位于甲、乙两河流汇合处，当任一河流泛滥时，该地区被淹没.设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3.求：(1)该时期内这个地区被淹没的概率；(2)当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率.

解：设A表示“甲河流泛滥”，B表示“乙河流泛滥”.(1)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B|A)=0.1+0.2-0.1×0.3=0.27;(2)P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A)P(B|A)/P(B)=0.15.二、乘法公式例4

设一批零件共100个，其中10个次品，从中任取两次(每次一件不放回抽取).求：(1)第一次取得次品情况下，第二次也取得次品的概率;(2)两次都取得次品的概率；(3)第二次取得次品的概率.解：设A“第一次取得次品”，B“第二次取得次品”.(1)P(B|A)=9/99=1/11;(2)P(AB)=P(A)P(B|A)=10/100×9/99=1/110;二、乘法公式例4

设一批零件共100个，其中10个次品，从中任取两次(每次一件不放回抽取).求：(1)第一次取得次品情况下，第二次也取得次品的概率;(2)两次都取得次品的概率；(3)第二次取得次品的概率.二、乘法公式此类问题可用如下概率树枝图法解，方便直观.P(B)为A→B与→B两条线上各概率之积再求和.练习1

某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?

设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有解二、乘法公式练习2

五个阄,其中两个阄内写着“有”字，

三个阄内不写字，五人依次抓取,问各人抓到“有”字阄的概率是否相同?解则有抓阄是否与次序有关?

二、乘法公式二、乘法公式依此类推故抓阄与次序无关.二、乘法公式练习3

设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透镜落下三次而未打破”.所以二、乘法公式显然P(A|B)=P(A)这就是说，已知事件B发生，并不影响事件A发生的概率，这时称事件A、B独立.一、两个事件的独立性A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设三、事件的独立性三、事件的独立性

由乘法公式用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.当事件A、B独立时，有

P(AB)=P(A)P(B)三、事件的独立性定义若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称A、B相互独立.1.两个事件独立定理2

若两事件A、B独立,则

也相互独立.特别，不可能事件及必然事件均与任意事件独立.

三、事件的独立性2.多个事件相互独立注意：三个事件相互独立必然两两独立，但两两独立不一定相互独立.三、事件的独立性两事件相互独立两事件互斥例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系.请同学们思考二者之间没有必然联系三、事件的独立性由此可见两事件互斥但不独立.三、事件的独立性设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.三、事件的独立性三、事件的独立性例5

设甲、乙两人向同一目标各射一发子弹，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，若有一人射中，则认为目标被击中，求击中目标的概率.解设A表示甲击中目标，B表示乙击中目标，

C表示目标被击中，则三、事件的独立性例5

设甲、乙两人向同一目标各射一发子弹，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，若有一人射中，则认为目标被击中，求击中目标的概率.若利用逆事件求，则若利用事件的和求，则三、事件的独立性例6

甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p

(

p≥1/2).求对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利，设各局胜负相互独立.解采用三局二胜制，甲最终获胜，胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”，且三种情况互斥，由独立性得，甲最终获胜的概率为采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛三局，且最后一局必须甲胜，而前面甲需胜2局，于是三、事件的独立性例6

甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p

(

p≥1/2).求对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利，设各局胜负相互独立.三、事件的独立性即三、事件的独立性1,设两事件Ａ与Ｂ互斥，且P(A)＞0，P(B)＞0，则（D）正确A．与互斥B．与互斥C.P(AB)=P(A)P(B)D.P(A-B)=P(A)2(93),设两事件Ａ与Ｂ满足P(B|A)=1,则（D）正确。A.A是必然事件B.

C.D.思考题三、事件的独立性3、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（C）4，对于任意二事件A和B（B）若，则A,B一定独立.若，则A,B有可能独立.(C)若，则A,B一定独立.(D)若，则A,B