山西省部分学校2024届高三下学期开学质量检测数学试题（教师版）

第二学期高三开学质量检测数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可得，然后利用交集的概念即得.【详解】由可得，即，所以．故选：C．2.已知复数，则（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据共轭复数的概念，结合复数的乘、除法运算即可求解.【详解】因为，所以，所以．故选：C．3.“a=3”是“直线ax－2y－1=0”与“直线6x－4y+c=0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】解：若“a=3”成立，则两直线的方程分别是3x-2y-1=0与6x-4y+c=0，当c=-1时，两直线重合，所以两直线不一定平行；;所以“a=3”是“直线ax-2y-1=0与直线6x-4y+c=0平行”的必要不充分条件，故选B．4.“畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为（）A.120 B.240 C.360 D.480【答案】B【解析】【分析】根据分组分配的组合问题，即可求解.【详解】将这5个调研小组分成2，1，1，1这4个小组，然后派往4个社区，所以派出方案种数为．故选：B．5.已知等比数列的前项和为，若，则（）A.8 B.9 C.16 D.17【答案】A【解析】【分析】利用等比数列前项和的性质计算即可.【详解】设，则，因为为等比数列，所以仍成等比数列.易知，所以,故.故选:A6.已知向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意首先求出，再结合余弦的二倍角公式求解即可.【详解】因为，所以，得，所以.故选：D.7.已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的半径为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由扇形弧长公式求出圆锥底面半径，母线长为2，由等面积法得，得解.【详解】侧面展开图扇形的弧长为，圆锥底边半径r满足，解得，所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为，设内切球半径为R，则，.故选：D.8.已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由椭圆上的点到焦点的最大距离为及离心率可得椭圆方程，结合三角换元代入计算即可得.【详解】由题意知，，所以，，所以，故C的方程为，设，又，故，，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据7，8，9，11，10，14，18的平均数为11B.数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为16C.随机变量，则标准差为2D.设随机事件和，已知，，，则【答案】ACD【解析】【分析】根据平均数、百分位数的求法计算即可判断AB；根据正态分布的概念即可判断C；根据条件概率的计算公式求出，即可判断D.【详解】对于A，，即平均数为11，故A正确；对于B，该组数据共10个，则，第80百分位数为，故B错误；对于C，，方差为4，则标准差为2，故C正确；对于D，，故D正确．故选：ACD．10.正方体的棱长为是正方形的中心，为线段上一动点，则（）A.B.直线与直线所成角的余弦值为C.不存在点使得平面D.三棱锥的体积为定值【答案】ABD【解析】【分析】根据得到，A正确，确定是异面直线与直线所成角，计算得到B正确，当时，平面，C错误，根据等体积法计算得到D正确，得到答案.【详解】对于选项A：在中，是的中点，故，正确；

对于选项B：设是的中点，连接，则，所以是异面直线与直线所成角（或其补角），在中，，所以，正确；对于选项C：根据正方体的性质可知，由于平面，平面，所以平面，同理可证得平面，由于平面，所以平面平面，当时，平面，所以平面，即存在点使得平面，错误；对于选项D：，正确.故选：ABD.11.已知为定义在上的偶函数且不是常函数，，若是奇函数，则（）A.的图象关于对称 B.C.是奇函数 D.与关于原点对称【答案】ABC【解析】【分析】根据偶函数和函数对称性的定义可判断A选项；利用函数的周期性可判断B选项；利用奇函数的定义可判断C选项；利用对称性定义可判断D选项.【详解】对于选项A，因为是奇函数，所以，即，整理得2，所以的图象关于对称，故A正确；对于选项B，因为为偶函数，所以，所以，所以，故B正确；对于选项C，，故C正确；对于选项D，因为，所以与关于轴对称，不关于原点对称，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.若函数的部分图象如图，则的图象的一个对称中心为________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据图象得到，然后用整体代入得方法求对称中心即可.【详解】由题图可知，因为当时，，所以．因为，所以，所以．由题图可知，所以，所以．由题图可知，当时，取得最大值，所以，解得．又，所以，所以．令，解得，所以图象的对称中心为，当时，图象的一个对称中心为．故答案为：（答案不唯一）.13.已知，则的最小值是_______．【答案】14【解析】【分析】把化为，由，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意知，则，当且仅当即时等号成立，所以的最小值是14．故答案为：14.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积__________.【答案】2【解析】【分析】先利用平面向量加法的法则和双曲线的性质求出和的边长，再分别利用余弦定理联立可得，最后根据斜率公式求解即可.【详解】依题意，设双曲线的半焦距为，则，因为是的中点，所以，故由得，又因为，所以，在中，，在中，，所以，解得，所以，所以双曲线方程为，则，设，，，所以，故答案为：2四、解答题：本题共5小题，共77分.答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的面积为，且．（1）证明：；（2）求的外接圆的半径．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形面积公式可求得，则有，进而可证结论；（2）由（1）可求b，c，再由余弦定理求出a，最后利用正弦定理即可得出答案.【小问1详解】证明：因为，所以，所以，整理得，所以．【小问2详解】由（1）知，又，所以，，由余弦定理，得，所以，由正弦定理，得，所以．16.如图，已知四边形为菱形，平面，平面，.（1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求的长.【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据菱形的性质得到，然后根据线面平行和面面平行的判定定理证明即可；（2）设，建立空间直角坐标系，然后根据平面平面的向量表示列方程求解即可.【小问1详解】证明：因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面.因为四边形为菱形，所以，又平面，平面，所以平面.因为，平面，所以平面BCF//平面.【小问2详解】

解：设交于点O，取中点H，连接，所以，底面.以为原点，以，，分别为x轴，y轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，所以，设，则，，，，，.所以，，设平面的一个法向量为，则，令，得；，；设平面的一个法向量为，则，令，得.因为平面平面，所以，解得，故的长为1.17.2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解亚运会项目”，“学生为女生”，据统计，.附：，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）根据已知条件，填写下列2×2列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关?了解不了解合计男生女生合计（2）现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）列联表见解析，该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关（2）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）根据题中所给条件填写表格，写出零假设，根据列联表中数据计算出值，与比较，得出结论即可.（2）根据题意知其服从超几何分布，列出分布列，求出数学期望即可.【小问1详解】因为，，所以对杭州亚运会项目了解的女生为，了解亚运会项目的学生为，结合男生和女生各50名，填写2×2列联表为：了解不了解合计男生153550女生302050合计4555100零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据，依据的独立性检验，可以推断成立，即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关.【小问2详解】由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，其中男生人数为（人）；女生人数为（人），由题意可得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3.，，，.随机变量的分布列如下：0123则.18.如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．（1）若，求切线的方程；（2）若，求证：直线恒过定点．【答案】（1）（2）证明见详解【解析】【分析】（1）由题意设切线：，联立抛物线方程可得关于y的一元二次方程，由求出k即可求解；（2）易知直线PA斜率不存在求得直线，恒过定点；当直线PA斜率存在时，设，，切线：，联立抛物线方程得关于y的一元二次方程，由求出k，则PA：，同理可得：，结合题意可得：，根据直线恒过定点问题，即可证明.【小问1详解】显然切线的斜率存在且不为0，设切线：，代入，得，由，解得所以直线的方程为，即．【小问2详解】若直线PA斜率存在，设，，：，代入，得由，解得．所以直线的方程为，即同理直线的方程为因为在直线和上，所以，可得点，在直线上，所以直线的方程为，因为，所以，则直线的方程为，由，得，故直线过定点.若直线PA的斜率不存在，则，设直线，代入，得，由，解得，此时，解得，得，即，所以，恒过定点；综上：直线过定点.19.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导，利用导数的正负即可求解单调性，（2）将式子变形恒成立，构造函数，利用导数求解其单调性，即可进一步将问题转化为对任意恒成立，构造函数，求解其最值即可.【小问1详解】由题意知的定义域为，若在上恒成立，所以在上单调递增；若，令，得，令，得，所以函数在上单调递增；在上单调递减．【小问2详解】当时，对任意恒成立，即为对任意，恒有．令，则不等式等价于，且，令，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故在上单调递增，由，得对任意恒成立，两边取对数，得，所以对任