2022年湖南省永州市上洞乡中学高二数学理联考试题含解析

2022年湖南省永州市上洞乡中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等比数列的前项和为，公比，则满足的的最小值为（

）A．4

B．5

C.6

D．7参考答案：A2.已知双曲线（，）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（

）A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞)参考答案：C已知双曲线双曲线（，）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，故选C【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据三视图可确定几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱几何体表面积：本题正确选项：【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况.4.若f（x）=sinα﹣cosx，则f′（α）等于（）A．cosα B．sinα C．sinα+cosα D．2sinα参考答案：B【考点】导数的运算．【分析】求导时应注意α，x的区分．【解答】f'（x）=sinx，f'（α）=sinα．故选B．5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m的值为0，则输入的a的值为（）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.函数f（x）=x?e﹣x的一个单调递增区间是（）A．[﹣1，0] B．[2，8] C．[1，2] D．[0，2]参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数大于0，求函数的单调增区间．【解答】解：由函数f（x）=x?e﹣x，则，从而解得x≤1，故选A．7.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞ B．＜ C．＞ D．＜参考答案：D【分析】利用特例法，判断选项即可．【解答】解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．

解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．

故选：D．8.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为

（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：C9.抛物线y=x2上到直线2x—y=4距离最近的点的坐标是（

）A

B(1，1)

C

D

(2，4)

参考答案：B10.下列四个选项错误的是（）A．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨（￢q）为假命题，则p∧q为假命题C．“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的充分不必要条件D．若命题p：?x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：?x0∈R，参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题逆否命题，可判断A；根据复合命题真假判断的真值表，可判断B；根据充要条件的定义，可判断C；写出原命题否定命题，可判断D．【解答】解：命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”，故A正确；若p∨（￢q）为假命题，则p和￢q均为假命题，则p假q真，则p∧q为假命题，故B正确；“a≠5且b≠﹣5”表示平面上除（5，﹣5）点外的平面区域A；“a+b≠0”表示平面上除直线a+b=0上的点外的平面区域B；故A?B，即“a+b≠0”是“a≠5且b≠﹣5”的必要不充分条件，故C错误；若命题p：?x∈R，x2+x+1≠0，则￢p：?x0∈R，，故D正确；故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量满足，且，则=．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由，两边平方，可得?=0，再由向量模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：由，可得（+）2=（﹣）2，化为2+2+2?=2+2﹣2?，即有?=0，则2=2+2﹣2?=22+12﹣0=5，可得=．故答案为：．12.直线与坐标轴围成的三角形的面积为_____________．参考答案：略13.用一张矩形的纸片分别围成两个不同的圆柱形纸筒Ⅰ、Ⅱ，纸筒Ⅰ的侧面积为24，纸筒Ⅱ的底面半径为3，则纸筒的Ⅱ的容积为

。参考答案：3614.若（2x+）dx=3+ln2（a＞1），则a的值是．参考答案：2【考点】微积分基本定理．【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；【解答】解：=（x2+lnx）=a2+lna﹣（1+ln1）=3+ln2，a＞1，∴a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案为：2；15.(理)若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a=.参考答案：64略16.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是

．参考答案：[，1）

【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，即可，【解答】解：如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，tan∠F1AO=，故椭圆离心率的取范围是[，1）故答案为[，1）17.已知集合，则用列举法表示集合A=

。参考答案：1,2,4,5,7略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知二项式的展开式中各项系数和为64．（1）求n；（2）求展开式中的常数项．参考答案：（1）6；（2）15【分析】（1）令，则展开式中各项系数和为，即，即可求解．（2）由（1），求得二项式展开式中的第项为，令，求得，代入即可求解．【详解】（1）由题意，二项式的展开式中各项系数和为64，令，则展开式中各项系数和为，即，解得．（2）由（1）知，二项式展开式中的第项为，令，则，此时常数项为．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，以及熟练利用赋值法求解二项展开式的系数问题是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.已知椭圆的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.(1)求椭圆的方程； (2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案：（1)由题意知，又，所以，，所以椭圆的方程为：.（2）当时，，不合题意设直线的方程为：，代入，得：，故，则设，线段的中点为，则，由得:，所以直线为直线的垂直平分线，直线的方程为:，令得：点的横坐标，因为，所以，所以.所以线段上存在点，使得，其中.20.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣，0），且右顶点为D（2，0）．设点A的坐标是（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由左焦点为，右顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得方程．（2）当BC垂直于x轴时，BC=2，S△ABC=1；当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入椭圆方程，求得B，C的坐标，进而求得弦长|BC|，再求原点到直线的距离，从而可得三角形面积模型，再用基本不等式求其最值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=，则半短轴b=1．又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为（II）当BC垂直于x轴时，BC=2，S△ABC=1当BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx，代入解得B（），C（），则，又点A到直线BC的距离d=，∴△ABC的面积S△ABC=于是S△ABC=要使△ABC面积的最大值，则k＜0由≥﹣1，得S△ABC≤，其中，当k=时，等号成立．∴S△ABC的最大值是21.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3，求导，可得±1是f′（x）=0的两根，且f′（0）=﹣3，解方程组即可求得，a，b，c的值，从而求得f（x）的解析式；（Ⅱ）设切点，求切线方程，得到m=﹣2x03+6x02﹣6，要求过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，即求m=﹣2x03+6x02﹣6有三个零点，画出函数的草图，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx+c依题意又f'（0）=﹣3∴c=﹣3∴a=1∴f（x）=x3﹣3x（Ⅱ）设切点为（x0，x03﹣3x0），∵f'（x）=3x2﹣3∴f'（x0）=3x02﹣3∴切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0）又切线过点A（2，m）∴m﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0）∴m=﹣2x03+6x02﹣6令g（x）=﹣2x3+6x2﹣6则g'（x）=﹣6x2+12x=﹣6x（x﹣2）由g'（x）=0得x=0或x=2g（x）极小值=g（0）=﹣6，g（x）极大值=g（2）=2画出草图知，当﹣6＜m＜2时，m=﹣2x