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文档简介
2022-2023学年湖南省郴州市湘粤学校高二数学理模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.定义算式?:x?y=x(1﹣y),若不等式(x﹣a)?(x+a)<1对任意x都成立,则实数a的取值范围是(
)A.﹣1<a<1 B.0<a<2 C. D.参考答案:D【考点】二次函数的性质.【专题】计算题.【分析】由已知中算式?:x?y=x(1﹣y),我们可得不等式(x﹣a)?(x+a)<1对任意x都成立,转化为一个关于x的二次不等式恒成立,进而根据二次不等式恒成立的充要条件,构造一个关于a的不等式,解不等式求出实数a的取值范围.【解答】解:∵x?y=x(1﹣y),∴若不等式(x﹣a)?(x+a)<1对任意x都成立,则(x﹣a)?(1﹣x﹣a)﹣1<0恒成立即﹣x2+x+a2﹣a﹣1<0恒成立则△=1+4(a2﹣a﹣1)=4a2﹣4a﹣3<0恒成立解得故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质,其中根据二次不等式ax2+bx+c<0恒成立充要条件是a<0,△<0构造一个关于a的不等式,是解答本题的关键.2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为()A. B. C. D.参考答案:D【考点】简单空间图形的三视图.【分析】根据三视图的特点,知道左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在面上有一条对角线,对角线是由左下角都右上角的线,得到结果.【解答】解:被截去的四棱锥的三条可见棱中,在两条为长方体的两条对角线,它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合,另一条为体对角线,它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合,对照各图,只有D符合.故选D.3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是()A.3 B.11 C.38 D.123参考答案:B【考点】程序框图.【分析】通过框图的要求;将第一次循环的结果写出,通过判断框;再将第二次循环的结果写出,通过判断框;输出结果.【解答】解;经过第一次循环得到a=12+2=3经过第一次循环得到a=32+2=11不满足判断框的条件,执行输出11故选B4.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是()A.(-1,1,0)
B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1)
D.(-1,0,1)参考答案:B5.用数学归纳法证明第一步应验证等于(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:D略6.极坐标方程表示的曲线是(
)A.圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
D.
抛物线参考答案:D略7.若直线与双曲线的右支交于不同的两点,那么的取值范围是(
)A.()B.()C.()D.()参考答案:D略8.在等差数列{an}中,7a5+5a9=0,且a5<a9,则使数列前n项和Sn取得最小值的n等于A、5
B、6
C、7
D、8参考答案:B9.已知双曲线E:﹣=1(a>0,b>0)的离心率是,则E的渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x参考答案:C【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据双曲线的离心率,求出=即可得到结论.【解答】解:∵双曲线的离心率是,∴e==,即==1+()2=,即()2=﹣1=,则=,即双曲线的渐近线方程为y═±x=±x,故选:C.【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解,根据双曲线离心率的关系进行求解是解决本题的关键.10.数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(3n-1)a,a1=2,则a5= (A)486
(B)242
(C)242a
(D)162参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过原点向曲线可作三条切线,则实数的取值范围是
▲
.参考答案:略12..如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成角余弦值是(
).
A. B. C. D.0参考答案:D略13.已知双曲线=1(a>b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的离心率为.参考答案:【考点】双曲线的简单性质.【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求出双曲线的右顶点A(a,0),拋物线x2=2py(p>0)的焦点及准线方程,根据已知条件得出①及=2c②,求出a=b,即可得双曲线的离心率.【解答】解:∵右顶点为A,∴A(a,0),∵F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点,∴F(0,),∵|FA|=c,∴①抛物线的准线方程为y=﹣,代入双曲线的方程得x=±,∴=2c②,由①②,得=2c,即c2=2a2,∵c2=a2+b2,∴a=b,∴双曲线的离心率为.故答案为:.【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键.14.右边程序执行后输出的结果是________.参考答案:90015.若直线被两平行线所截得的线段的长为,则的倾斜角可以是
①
②
③
④
⑤其中正确答案的序号是
.(写出所有正确答案的序号)参考答案:解析:两平行线间的距离为,由图知直线与的夹角为,的倾斜角为,所以直线的倾斜角等于或。故填写①或⑤16.过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则等于 .参考答案:817..已知,那么展开式中含项的系数为
。参考答案:
135略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知函数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当时,,求证:.参考答案:(1)见解析;(2)证明见解析【分析】(1)由f(x)含有参数a,单调性和a的取值有关,通过分类讨论说明导函数的正负,进而得到结论;(2)法一:将已知变形,对a分类讨论研究的正负,当与时,通过单调性可直接说明,当时,可得g(x)的最大值为,利用导数解得结论.法二:分析时,且使得已知不成立;当时,利用分离变量法求解证明.【详解】(1),①当时,由得,得,所以在上单调递增;②当时,由得,解得,所以在上单调递增,在在上单调递减;(2)法一:由得(*),设,则,①当时,,所以在上单调递增,,可知且时,,,可知(*)式不成立;②当时,,所以在上单调递减,,可知(*)式成立;③当时,由得,所以在上单调递增,可知在上单调递减,所以,由(*)式得,设,则,所以在上单调递减,而,h(1)=1-2=-1<0,所以存在t,使得h(t)=0,由得;综上所述,可知.法二:由得(*),①当时,得,且时,,可知(*)式不成立;②当时,由(*)式得,即,设,则,设,则,所以在上单调递减,又,,所以,(**),当时,,得,所以在上递增,同理可知在上递减,所以,结合(**)式得,所以,综上所述,可知.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题,涉及到了导数的应用、分类讨论、构造函数等方法技巧,属于较难题.19.已知函数(a,b∈R),f′(0)=f′(2)=1.(1)求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)若函数g(x)=f(x)﹣4x,x∈[﹣3,2],求g(x)的单调区间和最小值.参考答案:【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(1)求出函数的导数,根据f′(0)=f′(2)=1,得到关于a,b的方程组,解出即可求出f(x)的解析式,从而求出切线方程即可;(2)求出g(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最小值即可.【解答】解:(1)因为f′(x)=x2﹣2ax+b,由f′(0)=f′(2)=1即,得,则f(x)的解析式为,即有f(3)=3,f′(3)=4所以所求切线方程为4x﹣y﹣9=0.(2)由(1)f(x)=x3﹣x2+x,∴,∴g′(x)=x2﹣2x﹣3,由g′(x)=x2﹣2x﹣3>0,得x<﹣1或x>3,由g′(x)=x2﹣2x﹣3<0,得﹣1<x<3,∵x∈[﹣3,2],∴g(x)的单调增区间为[﹣3,﹣1],减区间为(﹣1,2],∵,∴g(x)的最小值为﹣9.20.已知双曲线C与椭圆有相同的焦点,实半轴长为.(Ⅰ)求双曲线的方程;(Ⅱ)若直线与双曲线有两个不同的交点和,且(其中为原点),求的取值范围.
参考答案:(Ⅰ)设双曲线的方程为,,,故双曲线方程为.(Ⅱ)将代入得由得且设,则由得=,得又,,即略21.已知直线l经过点,倾斜角,圆C的极坐标方程为.(Ⅰ)写出直线l的参数方程的标准形式,并把圆C的方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若直线l与圆C相交于A,B两点,求线段AB中点M到点P的距离.参考答案:(Ⅰ)直线的参数方程为即(为参数,)由
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