《18.2.3 正方形》教案、导学案、同步练习

备课人备课时间课时安排一课时课题18.2.3正方形（第一课时）教学目标知识目标掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．能力目标理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别情感、态度、价值观目标在探究讨论中养成与他人合作交流的习惯;在性质应用过程中培养独立思考的习惯;在数学活动中获得成功的体验,提高克服困难的勇气和信心。教学重难点学习重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．学习难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．教学方法讲练结合；讨论探究法。教学过程一、自主预习（10分钟）一.温故知新填表：性质判定方法矩形边：角：对角线：对称性：1.2.3.菱形边：角对角线：对称性：1.2.3.二.学习新知性质判定方法正方形边：角对角线：对称性：自学教材100-101页，落实：自学例4，并在学案上做一遍：二、合作解疑（25分钟）1.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE，求证：BE+DF=AE.2.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，DF=CF，DC+CE=AE，求证：AF平分∠DAE.3.如图，BF平行于正方形ADCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.综合应用拓展已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．三、限时检测（10分钟）1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．3．正方形的判定：(1)___________________________________的平行四边形是正方形；(2)___________________________________的矩形是正方形；(3)___________________________________的菱形是正方形；4．对角线_______________________________的四边形是正方形如图6，已知点E为正方形ABCD的边BC上一点，连结AE，过点D作DG⊥AE，垂足为G，延长DG交AB于点F.求证：BF=CE.课后作业1.有一组邻边______，且有一个角______的平行四边形是正方形。2.正方形的四边______，四角______，对角线______且______；正方形既是矩形，又是_____；既是轴对称图形，又是____________。3.如图正方形ABCD的边长为8，DM=2，N为AC上一点，则DN+MN的最小值为.4.如图，正方形ABCD边长为2，两对角线交点为O，OEFG也为正方形，则图中阴影部分面积为.5.如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．6.如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是.已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．求证：四边形PQMN是正方形．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q．(1)试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；(2)当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的；(3)若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形．附：板书设计18.2.3正方形第一课时一、自主预习二、合作解疑综合应用拓展三、限时检测1.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE，求证：BE+DF=AE.2.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，DF=CF，DC+CE=AE，求证：AF平分∠DAE.3.如图，BF平行于正方形ADCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.备课人备课时间课时安排一课时课题18.2.3正方形（第二课时）教学目标知识目标掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．能力目标．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别情感、态度、价值观目标在探究讨论中养成与他人合作交流的习惯;在性质应用过程中培养独立思考的习惯;在数学活动中获得成功的体验,提高克服困难的勇气和信心。教学重难点学习重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．学习难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．教学方法讲练结合；讨论探究法。教学过程一、选择题（每小题4分，共12分）1.如图所示，等腰梯形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则图中全等三角形有()（A）2对（B）3对（C）4对（D）5对2.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2，∠B=60°，则下底BC的长是()（A）3（B）4（C）2（D）2+23.四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶3∶5∶5,则此四边形是()（A）一般四边形（B）平行四边形（C）直角梯形（D）等腰梯形二、填空题（每小题4分,共12分）4.如图是由六个全等的等边三角形围成的图形，其中共有________个等腰梯形.5.一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60°，则它的腰长为_______cm，周长为_______cm.6.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3,BC=7，E为CD的中点，四边形ABED的周长与△BCE的周长之差为2，则AB的长为___________.三、解答题（共26分）7.（8分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是BC的中点，且MA＝MD.求证：四边形ABCD是等腰梯形.8.（8分）如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得∠E=∠C.（1）求证:四边形ABDE是平行四边形；（2）若DC=12，求AD的长.【拓展延伸】9.（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边以1cm/s的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3cm/s的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为ts，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形，等腰梯形？答案解析1.【解析】选B.全等三角形有△ABD≌△DCA,△ABC≌△DCB,△ABO≌△DCO.2.【解析】选B.作AE⊥BC，垂足为E.∵∠B=60°,∴∠BAE=30°,∴BE=AB=1,∵AB=CD=AD=2,∴梯形ABCD是等腰梯形,∴BC=1+2+1=4.3.【解析】选D.∵∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶3∶5∶5,∴∠A+∠D=∠B+∠C=180°,∴AB∥CD.又∵∠A=∠B,AD与BC不平行.∴四边形ABCD是等腰梯形.4.【解析】六边形每相邻的三边和一条对角线都可构成一个等腰梯形，共有6个.答案：65.【解析】过A作高AE，则BE=3.5，∵∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴AB=2BE=7，∴周长为31.答案：7316.【解析】设AB的长为x，则DE=EC=x，∴四边形ABED的周长为x+3+BE+x,△BCE的周长为7+x+BE，∴(x+3+BE+x)-(BE+7+x)=2，∴x=6,故AB的长为6.答案：67.【证明】∵MA＝MD，∴∠DAM=∠ADM.∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠DAM，∠DMC＝∠ADM.∴∠AMB＝∠DMC.又∵点M是BC的中点，∴BM＝CM.∴△AMB≌△DMC.∴AB＝DC，四边形ABCD是等腰梯形.8.【解析】（1）∵∠ABC=120°，∠C=60°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥DC，即AB∥ED.又∵∠C=60°，∠E=∠C，∠BDC=30°.∴∠E=∠BDC=30°，∴AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形.（2）由第（1）问知，AB∥DC，∴四边形ABCD是梯形.∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°,∴∠ADC=∠BCD=60°，∴四边形ABCD是等腰梯形,∴BC=AD∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°,∴∠DBC=90°.又已知DC=12,∴AD=BC=DC=6.【拓展延伸】9.【解析】∵AD∥BC，∴只要PD=CQ，四边形PQCD是平行四边形.这时，根据题意有24-t=3t，解得t=6.同理可知：只要PQ=CD，PD≠CQ，四边形PQCD是等腰梯形.过P、D分别作BC的垂线，交BC于点E、F，则四边形PEFD是矩形，△PQE≌△DCF.∴PD=EF，CF=QE=2.∴24-t=3t-2×2，解得t=7.因此，t为6s时，四边形PQCD是平行四边形，t为7s时，四边形PQCD是等腰梯形.附：板书设计18.2.3正方形第二课时【解析】过A作高AE，则BE=3.5，∵∠B=60°，∴∠BAE=30°，∴AB=2BE=7，∴周长为31.答案：731【证明】∵MA＝MD，∴∠DAM=∠ADM.∵AD∥BC，∴∠AMB＝∠DAM，∠DMC＝∠ADM.∴∠AMB＝∠DMC.又∵点M是BC的中点，∴BM＝CM.∴△AMB≌△DMC.∴AB＝DC，四边形ABCD是等腰梯形.【解析】（1）∵∠ABC=120°，∠C=60°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥DC，即AB∥ED.又∵∠C=60°，∠E=∠C，∠BDC=30°.∴∠E=∠BDC=30°，∴AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形.（2）由第（1）问知，AB∥DC，∴四边形ABCD是梯形.∵DB平分∠ADC，∠BDC=30°,∴∠ADC=∠BCD=60°，∴四边形ABCD是等腰梯形,∴BC=AD∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°,∴∠DBC=90°.又已知DC=12,∴AD=BC=DC=6.《18.2.3正方形》导学案教学目的1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．重点、难点教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．性质判定方法矩形边：角：对角线：对称性：1.2.3.菱形边：角对角线：对称性：1.2.3.二.学习新知自学教材100－101页，落实：性质判定方法正方形边：角对角线：对称性：释疑提高1．正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．2．下列说法是否正确，并说明理由．①对角线相等的菱形是正方形；（）②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）④四条边都相等的四边形是正方形；（）⑤四个角相等的四边形是正方形．（）AABCDEF3、已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．4．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．四、课后练习1．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：EA⊥AF．2．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．3．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．18.2.3正方形学案一、温故知新1.有一组邻边______，且有一个角______的平行四边形是正方形。2.正方形的四边______，四角______，对角线______且______；正方形既是矩形，又是_____；既是轴对称图形，又是____________。3.如图正方形ABCD的边长为8，DM=2，N为AC上一点，则DN+MN的最小值为.4.如图，正方形ABCD边长为2，两对角线交点为O，OEFG也为正方形，则图中阴影部分面积为.5.如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．6.如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE的值是.二、学习新知作业精编55页例1、例2（独立写出过程）三、释疑提高1.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE，求证：BE+DF=AE.2.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，DF=CF，DC+CE=AE，求证：AF平分∠DAE.3.如图，BF平行于正方形ADCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.《18.2.3正方形》同步练习一、单选题（共15题；共30分）1、下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、对角线互相垂直B、对角线互相平分C、对角线相等D、四个角都是直角2、下列说法错误的是（）.A、有一个角为直角的菱形是正方形B、有一组邻边相等的矩形是正方形C、对角线相等的菱形是正方形D、对角线相等且互相垂直的四边形是正方形3、如图所示，在正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP，PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是（

）A、2B、4C、6D、84、若正方形的对角线长为2cm，则这个正方形的面积为（

）A、4cm2B、2cm2C、cm2D、2cm25、如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A、2B、4C、4D、26、若一个正方形的面积为8，则这个正方形的边长为（）A、4B、2C、D、87、正方形具有而菱形不一定具有的特征有（）A、对角线互相垂直平分B、内角和为360°C、对角线相等D、对角线平分内角8、已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（）A、3cmB、4cmC、6cmD、8cm9、如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（）A、35°B、45°C、55°D、60°10、如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交BG于点T，交FG于点P，则ET的值为（）A、2B、3C、4D、611、以面积为9cm2的正方形的对角线为边长的正方形面积为（）A、18cm2B、20cm2C、24cm2D、28cm212、若正方形的面积是4cm2，则它的对角线长是（）A、4cmB、cmC、8cmD、2cm13、如图，下列四组条件中，能判定▱ABCD是正方形的有（）①AB=BC，∠A=90°；②AC⊥BD，AC=BD；③OA=OD，BC=CD；④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA．A、1个B、2个C、3个D、4个14、在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（）A、1个B、2个C、4个D、无穷多个15、直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，DC＜AB，AB=AD=12，E是边AD上的一点，恰好使CE=10，并且∠CBE=45°，则AE的长是（）A、2或8B、4或6C、5D、3或7二、填空题（共5题；共5分）16、如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________17、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件________时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）18、如图，边长分别为3和5的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则ET的长为________19、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是________20、如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是________

．三、解答题（共5题；共25分）21、如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．（1）求证：AE=CG；（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．22、如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，联结BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG；（1）求证：AE=CG；（2）求证：BE∥DF．23、如图，点B、C、E是同一直线上的三点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，连接BG、DE．（1）求证：BG=DE；（2）已知小正方形CEFG的边长为1cm，连接CF，如果将正方形CEFG绕点C逆时针旋转，当A、E两点之间的距离最小时，求线段CF所扫过的面积．24、已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．求证：AP=EF．25、已知，在正方形ABCD中，E是CB延长线上一点，且EB=BC，F是AB的中点，请你将F点与图中某一标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE相等．并证明这种相等关系．

答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：A、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．B、正方形和矩形的对角线都互相平分，故本选项错误；C、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项错误；D、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；故选A．【分析】根据正方形与矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可．2、【答案】D【考点】正方形的判定【解析】【解答】有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形，故A选项说法正确；有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该矩形为正方形，故本B项说法正确；对角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形，故C选项说法正确；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故D选项说法错误．【分析】正方形集矩形、菱形的性质于一身，是特殊的平行四边形．3、【答案】B【考点】正方形的性质【解析】【分析】设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1-x，根据周长公式即可求得其周长和。【解答】设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1-x，故两个小正方形的周长和=4x+4（1-x)=4cm，故选B.【点评】解答本题的根据是熟练掌握正方形的四条边相等。4、【答案】B【考点】正方形的性质【解析】【分析】根据正方形的性质可求得边长，从而根据面积公式即可求得其面积．【解答】根据正方形的性质可得，正方形的边长为cm，则其面积为2cm2故选B．【点评】此题主要考查学生对正方形的性质的理解及运用．5、【答案】A【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OD，∠OAD=45°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，∴PF=OE，PE=BE，∴PE+PF=BE+OE=OA，∵AB=BC=4，∴OA=AC=x4=2，∴PE+PF=2，故选A．【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD=45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△APE是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF=OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE=BE，从而得到PE+PF=OA，然后根据正方形的性质解答即可．6、【答案】B【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：设正方形的边长为x，根据题意得x2=8，所以x=2．故选B．【分析】根据正方形的面积公式求解．7、【答案】C【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直平分，正方形与菱形都具有，故本选项错误；B、内角和为360°，正方形与菱形都具有，故本选项错误；C、正方形对角线相等，菱形对角线不相等，故本选项正确；D、对角线平分内角，正方形与菱形都具有，故本选项错误．故选C．【分析】根据正方形的性质与菱形的性质对各选项分析判断即可得解．8、【答案】B【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=8cm，OA=OC，∵OE∥AB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=AB=4cm，故选B．【分析】根据正方形的性质得出AD=AB=8，AO=OC，由OE∥AB，得出OE是△ABC的中位线解答即可．9、【答案】B【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AE=AB，∴AE=AB=AD，∴∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，∵∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE=270°，∴∠AEB+∠AED=135°，即∠BED=135°，∴∠BEF=180°﹣135°=45°．故选：B．【分析】由正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，然后由三角形内角和定理求出∠AEB+∠AED=135°，即可得出∠BEF．10、【答案】D【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，∴∠ADB=∠CGE=45°，∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△DGT是等腰直角三角形，∵两正方形的边长分别为4，8，∴DG=8﹣4=4，GE=8，∴GT=×4=2．∴ET=GE﹣GT=8﹣2=6．故选：D．【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的性质求出DG、GE，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求出GT，即可得出ET的值．11、【答案】A【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：∵正方形的面积为9cm2，∴边长=3cm；∴对角线的长==3（cm），∴以3cm为边长的正方形面积=（3）2=18（cm2）；故选：A．【分析】由已知正方形的面积求出边长，再由勾股定理求出对角线长，即可求出新正方形的边长12、【答案】D【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，AC=BD，∠ABC=90°，∵正方形ABCD的面积是4cm2，∴正方形ABCD的边长AB=BC=2cm，∴BD=AC==2（cm）．故选：D．【分析】由正方形的性质和已知条件得出正方形的边长，由勾股定理求出对角线长即可．13、【答案】D【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：①AB=BC，∠A=90°；根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；②AC⊥BD，AC=BD；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；③OA=OD，BC=CD；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA=OD，所以AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；④∠BOC=90°，∠ABD=∠DCA；由∠BOC=90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD=∠CDB=∠DCA，所以OC=OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确．故选D．【分析】根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案．14、【答案】D【考点】正方形的判定与性质【解析】【解答】解：无穷多个．如图正方形ABCD：AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA，∠A=∠B=∠C=∠D，有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，则EH=HG=GF=FE，另外很容易得四个角均为90°则四边形EHGF为正方形．故选D．【分析】在正方形四边上任意取点E、F、G、H，若能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．15、【答案】B【考点】正方形的判定与性质【解析】【解答】解：如图，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，∵∠A=∠D=90°，AB=AD，∴四边形ABFD是正方形，把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，则AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，∵∠CBE=45°，∴∠CBG=∠CBF+∠FBG=∠CBF+∠ABE=90°﹣∠CBE=90°﹣45°=45°，∴∠CBE=∠CBG，在△CBE和△CBG中，∴△CBE≌△CBG（SAS），∴CE=CG，∴AE+CF=FG+CF=CG=CE，设AE=x，则DE=12﹣x，CF=10﹣x，∴CD=12﹣（10﹣x）=x+2，在Rt△CDE中，CD2+DE2=CE2，即（x+2）2+（12﹣x）2=102，整理得，x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6，所以AE的长是4或6．故选B．【分析】过点B作BF⊥CD交DC的延长线于F，可得四边形ABFD是正方形，把△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，根据旋转的性质可得AE=FG，BE=BG，∠ABE=∠FBG，然后求出∠CBG=45°，从而得到∠CBE=∠CBG，再利用“边角边”证明△CBE和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=CG，然后求出AE+CF=CE，设AE=x，表示出DE，再表示出CF、DC，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可得到AE的长度．二、填空题16、【答案】AC＝BD或AB⊥BC（答案不唯一）【考点】正方形的判定【解析】【解答】∵在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC＝BD或AB⊥BC．【分析】根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．17、【答案】AC＝BC​【考点】正方形的判定【解析】【解答】设AC＝BC，即△ABC为等腰直角三角形，∵∠C＝90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，∴∠C＝∠CED＝∠EDF＝∠DFC＝90°，DF＝AC＝CE，DE＝BC＝CF，∴DF＝CE＝DE＝CF，∴四边形DECF是正方形．【分析】由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．18、【答案】4【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，∴∠ADB=∠CGE=45°，∴∠GDT=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠DTG=180°﹣∠GDT﹣∠CGE=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△DGT是等腰直角三角形，∵两正方形的边长分别为3，5，∴GE=，DG=5﹣3=2，∴GT=×2=，∴FT=4，故答案为：4．【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ADB=∠CGE=45°，再求出∠GDT=45°，从而得到△DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求解即可．19、【答案】【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H为AF的中点，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF===2，∴CH=，故答案为：．【分析】根据正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH=AF，根据勾股定理求出AF即可．20、【答案】4【考点】正方形的性质【解析】【解答】解：设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1﹣x，故两个小正方形的周长和=4x+4（1﹣x）=4cm．故答案为4．【分析】设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1﹣x，根据周长公式即可求得其周长和．三、解答题21、【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵AD=CD，∴∠DAE=∠DCG，∵DE=DG，∴∠DEG=∠DGE，∴∠AED=∠CGD．在△AED和△CGD中，∴△AED≌△CGD（AAS），∴AE=CG．（2）解法一：BE∥DF，理由如下：在正方形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCG．在△AEB和△CGD中，∴△AEB≌△CGD（SAS），∴∠AEB=∠CGD．∵∠CGD=∠EGF，∴∠AEB=∠EGF，∴BE∥DF．解法二：BE∥DF，理由如下：在正方形ABCD中，∵AD∥FC，∴=．∵CG=AE，∴AG=CE．又∵在正方形ABCD中，AD=CB，∴=．又∵∠GCF=∠ECB，∴△CGF∽△CEB，∴∠CGF=∠CEB，∴BE∥DF．【考点】正方形的性质【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；（2）先证明△AEB≌△CGD，得出对应角相等∠AEB=∠CGD，得出∠AEB=∠EGF，即可证出平行线．22、【答案】证明：（1）∵DE=DG，∴∠DEG=∠DGE，∴∠AED=∠CGD，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠DAC=∠BCE=∠DCA=45°，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（AAS），∴AE=CG；（2）在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠BEC=∠DEG，∴∠BEC=∠DGE，∴BE∥DF．【考点】正方形的性质【解析】【分析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；（2）先证明△BCE≌△DCE，得出对应角相等∠BEC=∠DEG，得出∠BEC=∠DGE，即可证出平行线．23、【答案】解：（1）∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，∴BC=