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文档简介
2024年辽宁省初中学业水平考试数学试卷(样卷)
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.某校仪仗队队员的平均身高为175cm,如果高于平均身高2cm记作+2cm,那么低于
平均身高2cm应该记作()
A.2cmB.—2cmC.175cmD.—175cm
2.如图是一个由4个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是()
4.下列运算正确的是()
A.2a+4=6aB.a2-a3―a5C.(2a)2=2a2D.a3+。3-a
5.一元二次方程一一2x-l=0根的情况是()
A,有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.只有一个实数根
21
6.解分式方程4=—;时,将方程两边都乘同一个整式.得到一个一元一次方程,这
xX-1
个整式是()
A.xB.x—1C.%(%+1)D.x(x-1)
7.一次函数丁=履+2的图象如图所示,下列结论正确的是()
B.y随x增大而增大
C.图象经过原点D.图象经过第一、二、三象限
8.我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题:“今有木,不知长短.引绳度之,
余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根长木,
绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,问木长多少尺?设木长x
尺,根据题意可列方程为()
A.—(%—4.5)=x—1B.2x-l=x+4.5
C.](x+4.5)=x-1D.i(x+4.5)=x+l
9.如图,平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后,折射光线BE,DF
的反向延长线交于主光轴MN上一点P.若NABE=150。,ZCDF=160°,则/£/平的度
A.20°B,30°C.50°D.60°
10.如图,线段AB=8,点P在线段A8上,且AP=5,分别以点A和点3为圆心,AP
的长为半径作孤,两弧相交于点C和点。,连接AC,BC,AD,BD,则点C到边AD
的距离是()
二、填空题
11.计算:应乂6="
12.如图,;AO3顶点A,3的坐标分别为(-M),(1,1),将二AC®平移后,点A的对应
点D的坐标是(1,2),则点B的对应点E的坐标是.
试卷第2页,共8页
13.甲袋中装有1个白球、1个黄球,乙袋中装有2个白球、1个黄球,这些球除颜色
外无其他差别,在看不到球的情况下,从两个袋子中各随机摸出一个球,摸出的两个球
的颜色都是白色的概率是.
14.如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,它的对角线08与
心一
函数y=4(x>0)的图象相交于点。,且OO:O8=l:&,若矩形Q4BC的面积为24,则
X
k的值是.
15.如图,在,ABC中,AB=BC,ZABC=90°,AC=3,以AC为边作正方形ACDE(点
A,C,D,E按逆时针方向排列),5C和a的延长线相交于点F点P从点B出发沿BF
向点尸运动,到达点尸时停止,点Q在线段CD上运动,且始终满足DQ=*CP,连
接EP,PQ,QE,当的面积为5时,CP的长是.
三、计算题
16.计算:
(1)32X(-1+3)-(-16)^8;
四、问答题
17.某中学开展跨学科综合实践活动,需要准备A,8两种吸管,学校计划前往某超市
购买.通过调查,将获取的相关数据整理如下表:
购买数量(单位:包)
总费用(单位:元)
A种吸管B种吸管
1215171
2428332
(1)A种吸管、8种吸管每包各是多少元?
⑵该中学决定购买43两种吸管共100包,且总费用不超过600元,那么该中学最多
可以购买A种吸管多少包?
五、作图题
18.全球工业互联网大会永久会址落户沈阳.为了让学生了解工业互联网相关知识,某
校准备开展“工业互联网”主题日活动,聘请专家为学生做五个领域的专题报告:
A.数字挛生;B.人工智能;C.应用5G;D.工业机器人;E.区块链.为了解学生
的研学意向,在随机抽取的部分学生中下发如图所示的调查问卷,所有问卷全部收回且
有效,根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图.
“工业互联网”主题日学生研学意向调查问卷
请在下列选项中选择您的研学意向,并在其后“口”内打气”(每名同学必选且只能选择其
中一项),非常感谢您的合作.
A.数字挛生口8.人工智能口C.应用5G□£).工业机器人口£.区块链口
“工业互联网”主题日学生研学意向调查结果统计图
请根据统计图提供的信总,解答下列问题:
(1)求本次调查所抽取的学生人数,并直接补全条形统计图;
试卷第4页,共8页
(2)求扇形统计图中领域“8”对应扇形的圆心角的度数;
(3)学校有600名学生参加本次活动,地点安排在两个多功能厅,每场报告时间为90分
钟.由下面的活动日程表可知,A和C两场报告时间与场地已经确定.在确保听取报告
的每名同学都有座位的情况下,请你合理安排D,E三场报告,补全此次活动日程
表(写出一种方案即可),并说明理由.
“工业互联网”主题日活动日程表
地点(座位数)1号多功能厅2号多功能厅
时间(200座)(100座)
8:00-9:30A
10:00-11:30C
13:00-14:30设备检修暂停使用
六、计算题
19.辽宁省今年南果梨喜获丰收.国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动,南果梨
销售金额y(元)与销售量x(千克)之间的关系如图所示.
⑴当XN4时,求销售金额y(元)与销售量X(千克)的关系式;
(2)乙超市南果梨的标价为20元/千克,国庆节当天也进行优惠促销活动,按标价的8折
销售.若购买12千克南果梨,通过计算说明在哪个超市购买更划算.
七、问答题
20.某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚,其侧面如图2所示,遮阳棚展开
长度AB=200cm,遮阳棚前端自然下垂边的长度3c=25cm,遮阳棚固定点A距离地
面高度AD=296.8cm,遮阳棚与墙面的夹角/BAD=72°.
(1)如图2,求遮阳棚前端B到墙面AD的距离;
⑵如图3,某一时刻,太阳光线与地面夹角NCrG=60。,求遮阳棚在地面上的遮挡宽
度。尸的长(结果精确到1cm).(参考数据:
sin72°»0.951,cos72°»0.309,tan72°*3.078,出土1.732)
八、证明题
21.如图,在中,AB=AC,以AC为直径的。交3c于点。,交54的延长线
于点E,连接CE,DE.
⑴求证:BD=CD;
24
(2)若BD=20,tanNMC=亍,求AC的长.
九、计算题
22.【发现问题】
“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动,杯子的叠放方式如图1所示:每层都是杯口朝下
排成一行,自下向上逐层递减一个杯子,直至顶层只有一个杯子.爱思考的小丽发现叠
放所需杯子的总数随着第一层(最底层)杯子的个数变化而变化.
【提出问题】
试卷第6页,共8页
叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系?
【分析问题】
小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据:
第一层杯子的个数X12345
杯子的总数y1361015
然后在平面直角坐标系中,描出上面表格中各对数值所对应的点,得到图2,小丽根据
图2中点的分布情况,猜想其图象是二次函数图象的一部分;为了验证自己的猜想,小
丽从“形”的角度出发,将要计算总数的杯子用黑色圆表示(如图3),再借助“补”的思想,
补充相同数量的白色圆,使每层圆的数量相同,进而求出y与无的关系式.
【解决问题】
(1)直接写出y与x的关系式;
(2)现有36个杯子,按【发现问题】中的方式叠放,求第一层杯子的个数;
(3)杯子的侧面展开图如图4所示,ND,MA分别为上、下底面圆的半径,A2所对
的圆心角/AC®=60。,O4=24cm,OD=15cm.将这样足够数量的杯子按【发现问题】
中的方式叠放,但受桌面长度限制,第一层摆放杯子的总长度不超过80cm,求杯子叠
放达到的最大高度和此时杯子的总数.(提示:杯子下底面圆周长与A3的长度相等)
十、证明题
23.【问题初探】
(1)在数学活动课上,李老师给出如下问题:如图1,在ACD中,/D=2NC,ABLCD,
垂足为8,且8C>AB.求证:BC^AD+BD.
A
CBD
图1
①如图2,小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路:在上截取班=9,连
接AE,将线段8C与A。,BO之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系.
A
CEBD
图2
②如图3,小亮同学从"=2NC这个条件出发给出另一种解题思路:作AC的垂直平
分线,分别与AC,CD交于F,E两点,连接AE,将ND=2NC转化为上□与NBE4之
间的数量关系.
图3
请你选择一名同学的解题思路,写出证明过程.
【类此分析】
(2)李老师发现之前两名同学都运用了转化思想,将证明三条线段的关系转化为证明
两条线段的关系;为了帮助学生更好地感悟转化思想,李老师将图1进行变换并提出了
下面问题,请你解答.
如图4,在RtAABC中,ZABC=90°,过点A作3c(点。与点C在AB同侧),
若ZADB=2NC.求证:BC^AD+BD.
(3)如图5,在四边形ABCD中,
AD=—,CD=g,sin。=|,ZBCD=ABAD,ZABC=3ZADC,求四边形ABCD的面
积.
试卷第8页,共8页
参考答案:
1.B
【分析】根据正负数的意义解答即可.
【详解】解:高于平均身高2cm记作+2cm,那么低于平均身高2cm应该记作-2cm.
故选B.
【点睛】本题考查正负数的实际应用,是基础考点,掌握相关知识是解题关键.
2.A
【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【详解】解:从正面看易得上面第一层右边有1个正方形,第二层有两个正方形,如图所示:
故选:A.
【点睛】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.
3.D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线
两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形;中心对称图形的定义:把一个图形
绕着某一个点旋转180。,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心
对称图形,这个点就是它的对称中心,进行逐一判断即可.
【详解】解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故A选项不合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故B选项不符合题意;
C、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故C选项不合题意;
D、是轴对称图形又是中心对称图形,故D选项合题意.
故选:D.
4.B
【分析】根据同底数幕的乘法,积的乘方和单项式除以单项式的法则逐项计算即可.
【详解】解:A.2a+4H6”,原式错误;
235
B.aa^a,计算正确;
C.(W=4a2,原式错误;
口/3+”3=1,原式错误;
故选:B.
答案第1页,共18页
【点睛】本题考查了同底数幕的乘法,积的乘方和单项式除以单项式,熟练掌握运算法则是
解题的关键.
5.A
【分析】由△=/-4ac的取值可快速判断,根据△=〃一4ac=8>0可知方程有两个不相等的
实数根.
【详解1由x。—2x-1=。得△=〃-4℃=8>0,
一元二次方程一一2工-1=0有两个不相等的实数根,
故选A.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况,可以利用A=从_44c的值进行快速判断方程
根的个数.
6.D
【分析】确定各分式的最简公分母,两边同时乘以最简公分母即可.
7I
【详解】解:将;两边同时乘以x(xT)即可得到一个一元一次方程,
故选:D.
【点睛】本题考查解分式方程的步骤一化为整式方程,解题的关键是找到最简公分母.
7.A
【分析】根据函数图象逐项判断即可.
【详解】解:由函数图象得:y随x增大而减小,图象不经过原点,图象经过第一、二、四
象限,
k<0,
即B,C,D错误,A正确;
故选:A.
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质,准确识别函数图象是解题的关键.
8.C
【分析】根据绳子的长度不变列出方程即可.
【详解】解:设木长x尺,
根据题意有:g(x+4.5)=x-l.
故选C.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程,找准等量关系,正确列出一元一次方
答案第2页,共18页
程是解题的关键.
9.C
【分析】首先求出尸和/CDP,再根据平行线的性质求出ZBPN和/DPN即可.
【详解】解:VZABE=150°,/CDb=160。
二ZABP=180°-ZABE=30°,Z.CDP=180°-Z.CDF=20°,
AB//CD//MN,
:.ZBPN=ZABP=30°2DPN=ZCDP=20°,
ZEPF=ZBPN+NDPN=50°,
故选:C.
【点睛】本题考查了平行线的性质,熟知两直线平行,内错角相等是解题的关键.
10.A
【分析】连接8交AB于E,求出CE,可得8的长,然后根据ACD面积的不同求法列
式求解即可.
【详解】解:连接。交A8于E
A
由作图可得CD垂直平分AB,AC=AD=AP=5,
AE=—AB=4,
2
CE=YIAC2-AE2=3,
VAC=AD,AELCD,
:.CD=2CE=6,
设点。到边AD的距离为人
:.sACD=^AD-h=^CD-AE,
.7CDAE6x424
・,/=---------=------=——,
AD55
故选:A.
【点睛】本题考查了作线段垂直平分线,勾股定理,熟练掌握等面积法的应用是解题的关键.
答案第3页,共18页
11.瓜.
【详解】解:0x6=后;故答案为".
点睛:此题考查了二次根式的乘法,掌握二次根式的运算法则:乘法法则G-班=疝是
本题的关键.
12.(3,2)
【分析】根据点A和点。的是平移后的对应点,计算出平移的方向和单位长度,由于图形
平移所有点的平移方向和单位长度一致,即可计算出点E的坐标.
【详解】解:由题可知A(-l,l)平移后得到点。(1,2);
,是先向右平移2个单位长度,在向上平移1个单位长度;
点B(U)先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度;
...点E(3,2);
故答案为(3,2).
13.-
3
【分析】根据列表法得出所有可能结果,根据概率公式求概率,即可求解.
【详解】解:列表如下,
白球白球黄球
白球都是白球都是白球1黄1白
黄球1黄1白1黄1白都是黄球
共有6种等可能结果,符合题意的有2种,
21
・・・摸出的两个球的颜色都是白色的概率是:=4,
63
故答案为:J.
14.12
【分析】过点。作DEJLx轴于点E,可得QDEs.OBA,根据相似三角形的性质可得
SDEO(OD^1
根据已知条件得出SAAB。=12,进而根据反比例函数上的几何意义,
ABOV°B)2
即可求解.
答案第4页,共18页
【详解】解:如图所示,过点。作轴于点
・・,四边形。4BC是矩形,
・・・ZBAO=9Q0,
/.DE//AB,
:.ODES:QBA,
•:OD:OB=、e,
...S./叫j
SABOIOB)2
•・•矩形。钻。的面积为24,
S/XABO=12
SnriF=—xl2=6
k
•.•函数)=一(%>。)过点。,
x
贝祖=6
2
又・・・。在第一象限,
:.k=n
故答案为:12.
15.近或2巧-3亚
【分析】分两种情况:①当点尸在线段BC上运动时,过点尸作「MLCD,交OC延长线于
点M,先证出PQM'QED,再证出PQ=EQ,NPQE=90。,利用三角形的面积公式求
解即可得;②当点尸在线段CP上运动时,过点尸作PNLCD于点N,连接CE,先求出
NECF=90°,RtZXCPN是等腰直角三角形,再设CP=x(x>。),则OQ=#x,从而分别
求出尸N,CQ的长,然后根据|5虑°+532-$1{,。』=5012=5建立方程,解方程即可得.
【详解】解:①如图,当点尸在线段BC上运动时,过点P作PA/J_CD,交。C延长线于点
M,
答案第5页,共18页
D
•・•四边形ACD£是正方形,AC=3,
.\CD=DE=AC=3,ZEDQ=ZACD=90°,
:.ZACM=90°,
•・•在ABC中,AB=BC,ZABC=90°,
ZACB=45°,BC=ACcos45°=-A/2,
2
,\ZPCM=45°,
.•,RtPO0是等腰直角三角形,
:.PM=CM=CP-cos45°=—CP,
2
DQ=qCP,
PM=CM=DQ,
:.QM=CQ+CM=CQ+DQ=CD=ED,
在.PQM和一Q石。中,
PM=QD
<ZM=ZEDQ=90°,
QM=ED
二.PQM均QEO(SAS),
/.PQ=EQ,ZPQM=ZQED,
/.ZPQE=180°-ZPQM-ZEQD=180°-ZQED-ZEQD=90°,
EP。的面积为5,
11
92
:.-PQEQ=-EQ=5f
解得£Q=A或EQ=-M<0(不符合题意,舍去),
/.DQ=ylEQ2-DE2=1,
答案第6页,共18页
又.DQ=^CP,
CP=41DQ=5/2;
②如图,当点尸在线段C/上运动时,过点尸作PNLCD于点N,连接CE,
•••四边形ACDE是正方形,
."CE=45。,CE=732+32=3V2-
ZDCF=180°-90°-45°=45°,
ZECF=90°,RtACPW是等腰直角三角形,
CN=PN=sin45°-CP=—CP,
2
设CP=x(x>0),则。0=#尤,PN=^x,
:.CQ=CD-DQ=3-^x,
又|£CE°+S、CPQ—SRI.CEP卜S£pg=5,
^DECQ+^PNCQ-^CECP=5,
,i,0rl夜心血i一万<
2l2J22I2J2
整理为卜+6&r—18|=20,
即》2+60X-18=20或无2+6&了-18=—20,
解方程犬+6也.18=20得:x=2y/14-3y/2^x=-2y/l4-3y/2<0(舍去),
解方程尤2+6也》-18=-20得:尤=4-3忘<|&(此时点P在3C上,不符合题设,舍去)
或》=-4-3正<0(舍去),
综上,CP的长是应或23点,
故答案为:应或2m-30.
答案第7页,共18页
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形
全等的判定与性质、一元二次方程的应用等知识,正确分两种情况讨论,通过作辅助线,构
造全等三角形是解题关键.
16.(1)20
(2)x+l
【分析】(1)根据有理数的混合运算法则计算即可;
(2)根据分式的混合运算法则计算即可.
【详解】(1)解:32X(-1+3)-(-16)-8
=9x2-(-2)
=18+2
=20;
(2)解:
(JC-1)(X+1)尤+1
x+1x-1
=x+l.
【点睛】本题考查有理数的混合运算,分式的混合运算.熟练掌握各运算法则是解题关键.
17.(1)4种吸管、8种吸管每包各是8元,5元;
⑵该中学最多可以购买A种吸管33包.
【分析】(1)设每包A种吸管、2种吸管每包分别为x元,y元,列出方程组即可解答;
(2)由题意列出不等式即可.
【详解】(1)解:设每包个A种吸管、8种吸管每包分别为x元,y元,
12x+15y=171
依题意可得:
24x+28y=332
x=8
解得:
y=5'
答:A种吸管、B种吸管每包各是8元,5元;
(2)解:设购买A种吸管。包,则8种吸管为(10。-。)包,
答案第8页,共18页
根据题意可得:8a+5(100-a)W600,
解得:aW33:,
。为正整数,
,该中学最多可以购买A种吸管33包.
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用等知识,解题的关键
是理解题意,列出方程组和不等式即可.
18.(1)40人,统计图见解析
(2)54°
(3)见解析
【分析】(1)根据统计图,用A领域的人数除以占比即可得出总人数,进而求得。的人数,
从而补全条形统计图;
(2)根据领域“8”的占比乘以360。即可求解;
(3)根据样本估计总体,分别求得民RE的人数,进而根据表格数据即可求解.
【详解】(1)解:总人数为4+10%=40(人)
。的人数为:40-4-6-10-8=12(人)
(2)解:扇形统计图中领域“8”对应扇形的圆心角的度数为二'36()。=54。
40
(3)解:3的人数有:600x3=90(人)
40
12
。的人数有:600x—=180(人)
40
0
E的人数有:600X—=120(人)
40
90<100,100<120<180<200
答案第9页,共18页
B场次安排在2号多功能厅,。,石安排在1号多功能厅
补全此次活动日程表如图所示,
“工业互联网”主题日活动日程表
地点(座位数)1号多功能厅2号多功能厅
时间(200座)(100座)
8:00-9:30DA
10:00-11:30CB
13:00-14:30E设备检修暂停使用
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图综合运用,样本估计总体,熟练掌握是解题的
关键.
19.⑴y=12x+32
(2)甲超市更划算
【分析】(1)设销售金额y(元)与销售量无(千克)的关系式为y=用待定系数法
即可求解;
(2)分别计算两个超市所需费用,比较,即可求解.
【详解】(1)解:依题意,当无“时,
设销售金额y(元)与销售量X(千克)的关系式为,=区+"
将(4,80),(10,152)代入得,
J4左+6=80
]10%+6=152
y=12x+32
(2)解:依题意,甲超市:12x12+32=176(元)
乙超市:20x0.8x12=192(元)
V176<192
答案第10页,共18页
.••甲超市更划算.
20.⑴遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm
⑵遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm
【分析】(1)作破,4)于E,在RtZkABE中,根据sinZB4E=——列式计算即可;
AB
(2)作BE,于E,SJL于H,延长BC交DG于K,则BK1DG,可得四边形BEHC,
四边形HDKC是矩形,解直角三角形RtA4BE求出AE,可得CX=Da=210cm,然后
RtZkCFK中,解直角三角形求出FK,进而可得£>尸的长.
【详解】(1)解:如图3,作郎_]_4。于E,
RFBF
在RtAABE中,sinZBAE=—,gpsin72°=—,
・•・BE=sin72°x200«0.951x200=190.2cm,
答:遮阳棚前端3到墙面AD的距离约为190.2cm;
(2)解:如图3,作6石,AD于E,8,">于“,延长3C交OG于K,则BKLOG,
图3
・•・四边形四边形HOKC是矩形,
由(1)得班=190.251,
・•・DK=HC=BE=190.2cm,
AEAF
在中,cosZ.BAE=----,即cos72。=---,
AB200
AE=cos72°x200«0.309x200=61.8cm,
由题意得:EH=BC=25cm,
・•・DH=AD-AE-EH=296.8-61.8-25=210cmf
・•・CK=DH=210cmf
「K91n
在RtZXC定K中,tanNCTK=——,gptan60°=——
FKFK
答案第n页,共18页
210210
FK=«121.25cm
tan60°A/3
・・・DF=DK-FK=190.2-121.25«69cm,
答:遮阳棚在地面上的遮挡宽度。尸的长约为69cm.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,矩形的判定和性质,作出合适的辅助线,构造出
直角三角形,熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
21.⑴见解析
(2)AC=25
【分析】(1)连接AD,根据直径所对的圆周角是直角可得再根据等腰三角形三
线合一的性质得出结论;
24
(2)由圆周角定理结合已知可得tanZE4C=tanNE£)C=亍,设AE=7x,则EC=24x,
求出跖=32%,然后在RtZk5EC中,利用勾股定理构建方程求出工即可.
【详解】(1)证明:连接AD,
〈AC是O的直径,
AZADC=90°,^ADIBC,
;AB=AC,
:.BD=CD;
(2)角军:VZEAC=ZEDCf
24
tan/EAC=tan/EDC=一,
7
〈AC是。的直径,
:.ZAEC=90°,
丁…EC24
tanNEAC=----
AE7
设AE=7x,则EC=24x,
;•AC=^]AE2+EC2=25x,
答案第12页,共18页
・•・AB=AC=25x,
BE=AB-]-AE=25x-^lx=32x,
BD=20,
:.BC=2BD=4。,
在RtABEC中,BE2+CE2=BC2,
:.(32尤)2+(24尤)2=402,
解得:x=l(负值已舍去),
二AC=25x^25.
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论,等腰三角形的性质,正切的定义,勾股定理的应
用等知识,作出合适的辅助线,灵活运用相关性质定理进行推理论证是解题的关键.
22.(1)y=;/+;无(2)第一层杯子的个数为8个;(3)杯子叠放达到的最大高度为15后加
和此时杯子的总数为55个
【分析】(1)根据题意,将要计算总数的杯子用黑色圆表示(如图3),再借助“补”的思想,
补充相同数量的白色圆,使每层圆的数量相同,进而求出,与无的关系式;
(2)将y=36代入(1)中的解析,即可求解;
(3)根据弧长公式先求得=4cm,根据题意列出不等式求得第一层摆放杯子10个,进
而求得总数,根据得出ONDsOMA,勾股定理求得的长,利用相似三角形
的性质得出的长,进而即可求解.
【详解】解:(1)依题意,y=^(x+l)x=^x2+^x;
(2)当y=36时,一无2H—x=36,
22
解得:士=8,%=-9(舍去),
答:第一层杯子的个数为8个;
(3)&=6°:”^=8兀,8n-2nxMA,
180
解得:M4=4cm;
•••第一层摆放杯子的总长度不超过80cm,
设第一层杯子的个数为x个,则4x2xV80,
解得:X<10,x取最大值为10,
即第一层摆放杯子10个,杯子的层数也是10,
答案第13页,共18页
...杯子的总数为y=;(10+l)xl0=55(个),
在图4中,OA=24cm,OD=15cm,
NDMA,
:..ONDSOMA,
.NDODON15_5
MA~OA~OM~'
在Rt/VMM中,OM==V242-42=4735,
:.ON=-OM=^^-,
82
:.MN=OM-ON=—辰,
2
/.最大高度为10xMN=15A/35cm.
【点睛】本题考查了二次函数的应用,求弧长,勾股定理,相似三角形的性质与判定,熟练
掌握以上知识是解题的关键.
1444
23.(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)—
【分析】(1)选择小鹏同学的解题思路,利用垂直平分线的性质、三角形外角的性质,可得
AE=AD=CE,WffiBC=CE+BE=AD+BD;选择小亮同学的解题思路,先证
AE=EC,ZD=ZAED,推出=再根据等腰三角形“三线合一”证明BE=BD,进
而可证BC=CE+BE=AD+3D;
(2)过点A作/叱//。3交CB的延长线于点E,证明四边形AE3O是平行四边形,推出
AD=BE,AE=BD,ZADB=ZE,在BC上截取班'=同(1)可证
BC=CF+BF=AE+BE=BD+AD;
(3)延长A5交。C的延长线于点E,作AH工DE于点H,作BFLDE于点F,先通过导
角证明NO=NE,ZBCE=2ZE,同(1)可得EF=BC+CF.再利用勾股定理、锐角三角
函数解直角三角形,求出EAD,E3C的底和高,根据四边形ABCD的面积MS^D-SEBC
即可求解.
【详解】解:(1)选择小鹏同学的解题思路,证明如下:
如图,
答案第14页,共18页
A
,AB是线
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