-微分方程的基本概念

§9.1微分方程的基本概念Basicconceptofdifferentialequations三、微分方程的解一、问题的提出二、微分方程的定义微积分电子教案引例

一曲线通过点(1,2),且在该曲线上的任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,

求该曲线的方程。解：设所求曲线方程为：y=f(x)两边对x求积分：即

y=x2+C将x=1,y=2代入，得：2=1+C即

C=1故所求曲线为：y=x2+1一、问题的提出由题意得：定义1

含有未知函数的导数(或微分)的方程。2.1、微分方程二、微分方程的定义定义1

含有未知函数的导数(或微分)的方程。如：2.1、微分方程二、微分方程的定义未知函数是多元函数，即含有偏导数的微分方程，称为偏微分方程未知函数是一元函数的微分方程常微分方程定义2微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶。二阶微分方程n阶微分方程的一般形式为：F(x，y，y

，y

，…，y(n))=0一阶微分方程二、微分方程的定义2.2、微分方程的阶二、微分方程的定义2.3、微分方程的分类分类1:常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:分类3:线性(未知函数及其导数都是一次)非线性微分方程分类4:单个微分方程与微分方程组.定义3

若将某函数及其导数代入微分方程,可使方程成为恒等式,则称此函数为微分方程的解三、微分方程的解3.1、微分方程的解三、微分方程的解例1

验证下列函数都是微分方程y

－2y

+y=0的解.解:代入原方程∴

是原方程的解.代入原方程：∴

是原方程的解.三、微分方程的解例1

验证下列函数都是微分方程y

－2y

+y=0的解.解:代入原方程：∴

是原方程的解.解的线性组合也是解y=0也是解。均为解，有何区别？⑴

通解：

微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。3.2、通解与特解三、微分方程的解⑵特解：确定了通解中任意常数的解。例1中：——通解——特解——既非通解，也非特解，是个解。——奇解（但不是特解，不研究）通解：通用的解，含有任意常数；特解：特殊的解，不含有任意常数⑴

通解：

微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。3.2、通解与特解三、微分方程的解⑵特解：确定了通解中任意常数的解。特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解称为定解条件，也称为初始条件一般地，n阶微分方程就有n个定解条件三、微分方程的解求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解中任意常数的值，可得特解。微分方程微分方程的通解初始条件如引例求解得：微分方程的特解解例3

验证:函数是微分方程的解.并求满足初始条件的特解.三、微分方程的解所求特解为练习：为微分方程的特解.三、微分方程的解函数是微分方程的解吗？如是解，请问是什么解?练习题练习题答案§5.2一阶微分方程Basicconceptofdifferentialequations三、齐次方程一、一阶微分方程的形式四、一阶线性微分方程微积分电子教案二、可分离变量的微分方程⑴一般形式:F(x,y,y

)=0⑵正规型:⑶微分型:f(x,y)dx+g(x,y)dy=0正规型可化为如：

下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及解法,包括：可分离变量的微分方程、齐次微分方程、线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程。一、一阶微分方程的形式y

=

f(x,y)⑴形式：即变量x的函数和微分与变量y的函数和微分已分离在等式两边（或已分离开来）.⑵解法：直接积分。例1、求通解：解：两边积分故原方程的通解为：2.1、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程例2求通解：解：两边积分得：二、可分离变量的微分方程故原方程的通解为：结论1:

通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.⑴形式：二、可分离变量的微分方程2.2、可分离变量的微分方程⑵解法：先分离变量，再两边积分即可。或例3

解微分方程解:先分离变量，二、可分离变量的微分方程再两边积分故原方程的通解为二、可分离变量的微分方程⑵若积分后出现对数,则可将任意常数写成

lnC的形式,以利化简.说明:⑴在解微分方程时,对形如…积分,可直接得lnx,lny,…不必加绝对值；òdxx1òdyy1例3解题过程可简化为：先分离变量：再两边积分解：二、可分离变量的微分方程例4求方程满足初始条件y(1)=2的特解.分离变量积分得：故通解为:将x=1,y=2代入通解故所求特解为：得：C=10例5

设f(x)在(-∞，+∞)连续,且满足:求f(x).注：⑴积分方程求导后化为微分方程;

⑵注意隐条件.二、可分离变量的微分方程ò+=xdttfxxf0)(2)(解：原方程对x求导：即：分离变量得：两端积分得：由原方程可知：f(0)=0代入通解C=2故把函数的自变量乘以一个因子

，如果此时因变量相当于原函数乘以这个因子的幂，则称此函数为齐次函数。定义函数为k次齐次函数，需满足关系：

解：⑴∵f(tx,ty)=50(tx)(ty)2=50t3xy2=t3f(x,y)故⑴是齐次函数,且是3次齐次函数;故⑵是齐次函数,且是0次齐次函数.三、齐次方程⑴复习:证明函数⑴f(x,y)=50xy2;都是齐次函数,并说明是几次齐次函数.yxyxyxf+-=),(⑵),(),(⑵yxfyxyxtytxtytxtytxf=+-=+-=3.1、齐次方程的引入3.2、齐次方程及其解法⑷解法：①化标准形式；②变量替换；③分离变量；④求通解；⑤回代。⑵标准形式：⑶常见形式：如三、齐次方程化为标准形式⑴定义:微分方程

中,若为0次齐次函数,则称该方程为齐次微分方程,简称为齐次方程.⑴—关于y的微分方程代入原方程,得：⑵—关于u的微分方程分离变量,得：积分、整理得通解：回代得：是⑴的解。三、齐