2023-2024学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期中数学试卷

2023-2024学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共10道小题，每小题3分）.

1.下列方程中是一元二次方程的是（）

2

A.2尤+1=0B.x+-^-=2C.x-1=0D.j

XX

2.己知四条线段a,3,a+1,4是成比例线段，则a的值为（）

A.4B.3C.-4D.-3或-4

3.如图，ZVIBC与△£）所位似，点。是位似中心，若OE=3OB,S^ABC=4,贝U

（）

D

A.9B.12C.16D.36

4.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小刚

将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在

纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计

此二维码中黑色阴影的面积为（）

A.9.6B.0.6C.6.4D.0.4

5.若一元二次方程办2+2x+l=0有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是（）

A.a<\B.aWlC.aWl且a#0D.a<l且aWO

6.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中

平均一个人传染的人数是（）

A.14B.11C.10D.9

7.ABC。是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△3PD的面积为（

8.如图，在平行四边形ABCQ中，E为CD上一点、,DE,EC=2：3,连接AE、BD,且

AE、BD交于点F,则。足BF等于（）

9.如图，。是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACDSAABC的是（）

A.ZACD^ZBB.ZADC=ZACBC.—D.AC2=AD-AB

ACBC

10.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、

F,连接出）、DP,2。与CB相交于点凡给出下列结论：①AE-^FC；②/PDE=15°；

③替DHC旁_；④DE2=PF，FC.其中正确的为（）

SABHC3

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

11.方程尤2=3x的解为：.

12.一个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀，

从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中.不断重复这一过程，共摸了100

次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为个.

13.如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台A8的长为20米，主持人站在点C处自然得

体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为

米.

ACB

14.如图，点E,F,G,反分别是任意四边形ABC。中A。，BD,BC,C4的中点.当四边

形ABCD的边至少满足条件时，四边形EFGH是菱形.

y

BGC

15.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=5,BC=12,。是43上一动点，过点。

作DELAC于点E,DFVBC于点F.连接EF,则线段EF的最小值

是•

16.如图，在△ABC中，AB=BC,ZABC=90°.按以下步骤作图：①分别以点A,B为

圆心，以大于*AB长为半径作弧，两弧交于点E,F；②作直线EB③以点8为圆心，

以2A为半径画弧交直线所于点G；④连接交AC于点P.则.

BC

三、作图题（4分，用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹）

17.（4分）如图所示，一块儿三角形空地ABC,要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱

形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在AABC的3条边上.你能设计出此菱形花园吗?

四、解答题(本题满分68分)

18.用适当的方法解下列方程：

(1)2(x-1)2--=0；

2

(2)x2-2x=4；

(3)2x(尤-3)=3-尤；

(4)(3x-2)2=4X2-4.r+l.

19.(6分)如图，在△ABC中，CD//EF,AF=1,AO=3,AE=2.

(1)求AC的长；

(2)若AB=9,求证：△ABCS^ADE.

20.（6分）九年级1班近期为参加学校举办的海洋知识竞赛，决定要从A、B、C、。四名

同学中随机选出2名同学参赛.

（1）请问选中8同学的概率是多少？

（2）请利用树状图或表格求出同时选中A、C两名同学的概率.

21.（6分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成

三个大小相同的矩形，设矩形的边长为x米，矩形场地的总面积为y平方米.

（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；

（2）当尤为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？

22.（8分）已知：如图，在口ABC。中，AB=BD,点E,尸分别是8C,的中点.

（1）求证：AABF色ACDE；

（2）当NA=0时，四边形BEQ尸是正方形？请证明你的结论.

23.（6分）请阅读下列材料，并完成相应的任务.

梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学

方面的许多书籍.梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点

也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与

一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）.他进

行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：

设。，E,歹依次是△ABC的三边AB、AC,2C或其延长线上的点，且这三点共线，则

满足螺•冬•善=1.这个定理的证明步骤如下：

DBFCEA

情况①：如图1,直线。E交△ABC的边于点。，交边AC于点E,交边8c的延长

线于点足过点C作CG〃。F交A2于点G,则里粤，祟厘.（依据）

FCDGDGEC

.BFrAD^BDrAE

,■FC'DT'DT'EC'

:.BF・AD・EC=BD，AE，FC,BP—.—•—=1.

DBFCEA

图1图2图3

情况②：如图2,直线。E分别交△ABC的边AB,AC,8C的延长线于点。，E,F-

(1)情况①中的依据指：.

(2)请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明.

(3)如图3,D、E分别是△ABC的边42,AC上的点，且A。：DB=CE：EA=4：5,

连接。E并延长，交8c的延长线于点凡那么8尸：CF=.

24.因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最

喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游”网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春

节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间将接待游客达28.8

万人次.

(1)求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；

(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅

游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每

天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多

少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润

额？

25.(12分)矩形ABC。中，AC,8。为对角线，AB=6cm,BC=8cm,£为。C中点，动

点P从点A出发沿方向，向点8运动，动点。同时以相同速度，从点8出发沿

方向向点C运动，P、。的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也

随之停止运动，设运动时间为尤秒.(0</<6)

(1)尸。〃AC时，求运动时间/；

(2)时，求运动时间,；

(3)当f为何值时，以点P,B,。为顶点的三角形与相似？

(4)连接PE,APQE的面积能否达到矩形ABCD面积的三分之一，若能求出t的值；

若不能，说明理由.

A

P

B

2023-2024学年山东省青岛市即墨区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本题满分30分，共有10道小题，每小题3分)

1.下列方程中是一元二次方程的是()

A.2尤+1=0B.xd=2C.x2-1=0D.x2+^~=-l

XX

【分析】一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系

数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,

满足这四个条件者为正确答案.

解：A、方程2x+l=0未知数的最高次数是1,属于一元一次方程，故本选项不符合题意;

B、乂二=2是分式方程，故本选项不符合题意；

X

。、P一1=0符合一元二次方程的定义；故本选项正确；

D、x2+2=-1是分式方程；故本选项不符合题意•

x

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要

看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

2.已知四条线段a,3,a+1,4是成比例线段，则a的值为()

A.4B.3C.-4D.-3或-4

【分析】根据比例线段的定义可得a：3=(a+1)：4,进行计算即可得到答案.

解：•••四条线段a,3,。+1,4是成比例线段，

.,.a：3—(a+1)：4,

即3(a+1)=4a,

解得a=3.

故选：B.

【点评】本题考查了比例线段，解决本题的关键是掌握比例线段的定义.

3.如图，AABC与尸位似，点。是位似中心，若OE=3OB,S4wc=4,贝U5小以而=

()

o

E

A.9B.12C.16D.36

【分析】根据位似变换的性质得到BC〃EF,得到△OBCS^OEF,求出耳，根据相似

三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.

解：:△ABC与△。所位似，

J.BC//EF,

:AOBCSAOEF,

,BC=OB=2

••丽—瓦一百，

.S/iABC/BC、21

SADEFEF9

•S^ABC=4,

••S^DEF=36,

故选：D.

【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的

面积比等于相似比的平方是解题的关键.

4.近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.小刚

将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在

纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计

此二维码中黑色阴影的面积为（）

A.9.6B.0.6C.6.4D.0.4

【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可.

解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，

据此可以估计黑色部分的面积为16X0.6=9.6.

故选：A.

【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固

定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的

集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

5.若一元二次方程以2+2x+l=0有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是（）

A.a<\B.aWlC.aWl且czWOD.且a=0

【分析】由一元二次方程"2+2彳+1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式A〉。，a

W0,继而可求得a的范围.

解：•.•一元二次方程ax2+2x+l=0有两个不相等的实数根，

；.aW0,A=b--4ac—2--4XaX1=4-4a>0,

解得：a<l且a#0,

故选：D.

【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识.此题比较简单，注意掌握一元二次方

程有两个不相等的实数根，即可得A>0.

6.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中

平均一个人传染的人数是（）

A.14B.11C.10D.9

【分析】患流行性感冒的人传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中.设每轮传染中

平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了尤个人，第二轮作为传染源的是（尤+1）人，

则传染尤（尤+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）=144,解方程即可求解.

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）=144,

即（1+x）2=144,

解方程得=X2=-13（舍去），

故选：B.

【点评】考查了一元二次方程的应用，本题要注意的是，患流行性感冒的人把病毒传染

给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的.

7.ABC。是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（）

【分析】根据三角形面积计算公式，找到△BP。的面积等于△8CP和△CQP面积和减去

△BCD的面积的等量关系，并进行求解.

解：4BPD的面积等于△BCP和△[£)尸面积和减去△BC。的面积

因此本题求解△BCP、△8尸面积和△BCD的面积即可,

<_1Vs_、、

S3-5X1X----n

SACDP=-^-X1X[=],

S^BCD=-^X1Xl=g,

遥十]_1_V3-1

T424

故选：B.

【点评】本题考查了三角形面积的计算，考查了正方形对角线平分正方形为2个全等的

等腰直角三角形.解决本题的关键是找到△8尸。的面积等于△BCP和△a)p面积和减去

△BCD的面积的等量关系.

8.如图，在平行四边形A8CZ)中，E为CD上一点,DE：EC=2：3,连接AE、BD,且

AE、BD交于点、F,则。氏BF等于()

A.2：5B.2：3C.3：5D.3：2

【分析】利用平行四边形的性质可得出A2〃cr»且AB=C。，结合OE：EC=2：3可得

出譬=?，由AB〃C。可得出再利用相似三角形的性质即可求出。F：

DC5

BF的值.

解：：四边形ABC。为平行四边形,

：.AB//CD,B.AB=CD.

,：DE：EC=2：3,

.DE_DE_2_DE

,•而―DE+EL1前

'：AB//CD,

：.△DEFs^BAF,

.DF=DE=2

,•萨一瓦—T

故选：A.

【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形

的性质结合。E：EC=2：3找出。E：8A的值是解题的关键.

9.如图，。是△ABC边48上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACOSAABC的是（）

A.ZACD=ZBB.ZADC=ZACBC.—D.AC2=AD-AB

ACBC

【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案.

解：A、当时，再由/A=NA,可得出△ACDs/SABC,故此选项不合题意;

B、当时，再由可得出△AC£>S^ABC,故此选项不合题意;

。、噂嘿时,无法得出△ACDsZVl3C,故此选项符合题意；

D、当时，即空■望，再由可得出故此选项

ABAC

不合题意；

故选：C.

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关

键.

10.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交于点E、

F,连接跳入DP,5D与C尸相交于点H.给出下列结论：①AE-^FC；②/PDE=15。；

2

③;为为=2^；@DE=PF-FC.其中正确的为（）

SABHC§

AFED

J

BC

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④

【分析】由ABPC是等边三角形和相似三角形的性质，得出PE=PF,进而得到FC=EB,

再根据直角三角形的性质，得到AE,BE，而8E=b，故①正确；根据等腰三角形的

判定和性质以及三角形内角和定理，得出/POC=75°,可判定②正确；由△FDNsA

CHB,得碧石，由△B8C与LDHC同高，可知;&口成招,则判定③正确，由4

BHBC^ABHC阳

PEDs^DEB,得翦厚，则即2=PE・BE,可判定④正确.

EDBE

解：:△BPC为等边三角形，

:.PB=PC,NPBC=NPCB=6Q°,

'：FE//BC,

:.△FEPs^CPB,

.PEPF

••—,

PBPC

:・PE=PF,

:.FC=EB,

9：ZPBC=60°,ZABC=90°,

AZABE=30°,

在中，

VZABE=30°,

AE=yBE-

又•：BE=FC,

•••AE=yFC-

故①正确；

,:PC=BC=CD,ZPC£>=90°-60°=30°,

•••ZDPC=ZPDC=180-30—=75

:./PDE=NADC-NPDC=90°-75°=15

故②正确；

,JFD//BC,

•.•DH—FD，

BHBC

又ABHC与ADHC同高，

.S^DHC二DH

S/kBHCBH

又...咀ZFCD=90°-60°=30°,

BHBC

‘嗡卷黑=tan/FCD=tan30°考

SABHC3

故③正确;

VZEPD=180°-ZEPF-ZZ)PC=180°-60°-75°=45°=ZADBf/PED=/

PED,

:•丛PEDs丛DEB,

.,«—PE——ED.

EDBE

：.ED2^PE'BE,

又,：PE=PF,BE=FC,

：.DE^=PF-FC,

故④正确，

故选：A.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质,

等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

11.方程7=3x的解为：苞=0,尤2=3.

【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0,然后对方程左边分解因式，根据几个式

子的积是0,则这几个因式中至少有一个是0,即可把方程转化成一元一次方程，从而求

解.

解：移项得：x2-3x=0,

即尤（%-3）=0,

于是得：尤=0或x-3=0.

则方程％2=3x的解为：X[=0,X2=3.

故答案为：苞=0,X2=3.

【点评】本题考查了因式分解法解二元一次方程，理解因式分解法解方程的依据是关键.

12.■个口袋中有红球，白球共20个，这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀，

从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中.不断重复这一过程，共摸了100

次球，发现有60次摸到红球，估计这个口袋中红球的数量为」_个.

【分析】用球的总个数乘以摸到红球的频率即可.

解：估计这个口袋中红球的数量为20义黑=12（个），

100

故答案为：12.

【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有

代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确.

13.如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台A8的长为20米，主持人站在点C处自然得

体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为

（10、化-10）米.

ACB

【分析】由黄金分割点的定义得4。=返二142,再代入AB的长计算即可.

2

解：：点C是线段A8上靠近点B的黄金分割点，42=20米，

；.AC=y5_,二1X2O=（10代-10）（米），

故答案为：（10代-10）.

【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键.

14.如图，点E,F,G,”分别是任意四边形ABC。中A。，BD,BC,CA的中点.当四边

形ABC。的边至少满足AB=CD条件时，四边形EFG8是菱形.

【分析】首先利用三角形的中位线定理证出E尸〃A8,EF=—AB,HG//AB,HG=-AB,

22

可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB

=C。后，证明跖=£7/即可.

解：需添加条件A8=CD.

,:E,F^AD,中点，

：.EF//AB,EF=—AB,

2

,:H,G是AC,8c中点，

：.HG//AB,HG=—AB,

2

J.EF//HG,EF=HG,

四边形EFGH是平行四边形，

,：E,H是AD,AC中点，

：.EH=—CD,

2

\'AB=CD,

：.EF=EH,

...四边形EFG”是菱形.

故答案为：AB=CD.

【点评】此题主要考查了三角形中位线定理与菱性的判定方法，菱形的判别方法是说明

一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂

直平分.

15.如图，在RtzXABC中，ZACB=90°,AC=5,BC=12,。是AB上一动点，过点。

作。ELAC于点E,于点忆连接EF,则线段跖的最小值是—粤

【分析】连接CQ,利用勾股定理列式求出48,判断出四边形CEDE是矩形，根据矩形

的对角线相等可得CD,再根据垂线段最短可得CDLAB时，线段EE的值最小，然

后根据三角形的面积公式列出求解即可.

解：如图，连接CD

VZACB=90°,AC=5,BC=12,

.-.AB=7AC2+BC2=7S2+122=13,

•：DE±AC,DFLBC,ZC=90°,

，四边形CFDE是矩形，

：.EF=CD,

由垂线段最短可得。时，线段EF的值最小,

此时，S^ABC=^BC-AC=^AB'CD,

即上X12X5=^X13・CD,

22

解得：cr>=黑，

13

.・・E□F口=——60.

13

故答案为：黑.

13

【点评】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CZ)_LA8

时，线段EF的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程.

16.如图，在△ABC中，AB=BC,ZABC=90°.按以下步骤作图：①分别以点A,B为

圆心，以大于*AB长为半径作弧，两弧交于点E,F；②作直线EF；③以点8为圆心，

以8A为半径画弧交直线所于点G；④连接BG交AC于点P.则NAP8=75°.

【分析】连接AG,如图，由作法得EE垂直平分AB,根据线段垂直平分线的性质可证

明△ABG为等边三角形，则NABG=60°,然后根据三角形内角和可计算出NAPB的度

数.

解：连接AG,如图，

由作法得EF垂直平分AB,

：.GA=GB,

\'BG=BA,

：.AB=BG=AG,

：.AABG为等边三角形，

AZABG^60°,

\"AB=BC,ZABC=90°,

：.ZBAP=45°,

：.ZAPS=180°-ZABP-ZBAP=180°-60°-45°=75°.

故答案为:75°.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了线段垂直平

分线的性质和等腰直角三角形的性质.

三、作图题（4分，用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹）

17.(4分)如图所示，一块儿三角形空地ABC,要在其内部建一个菱形花园，使得B为菱

形花园的一个顶点，其余3个顶点分别在△ABC的3条边上.你能设计出此菱形花园吗？

【分析】首先作的角平分线交AC于点D再过点。分别作。E〃8C,DF//AB,交

8C于点R42于点E,则四边形2瓦＞下为所求菱形.

解：如图所示：四边形8瓦不为所求菱形.

【点评】本题考查了作图-应用与设计作图，用到的知识点有角平分线的性质、等腰三

角形的判定和性质以及菱形的判定，熟记菱形的各种判定方法是解题关键.

四、解答题(本题满分68分)

18.用适当的方法解下列方程：

,q

(1)2(x-1)2--=0；

2

(2)x2-2x=4；

(3)2尤(尤-3)=3-x；

(4)(3x-2)2=4X2-4x+l.

【分析】(1)利用直接开平方法求解即可；

(2)利用配方法去即可；

(3)整理后，利用因式分解法求解即可；

(4)利用因式分解法求解即可.

解：(1)2(x-1)2-9=0,

2

(X-1)2=—,

4

.'.X-1=±-,

2

._51

••阳=了％2=--•

(2)x2-2x=4,

x2-2x+l=4+l,即(x-1)2=5,

-1=土疾,

1+^/5,%2=1-V•^・

(3)2x(x-3)=3-x,

2x(x-3)+(x-3)=0,

(x-3)(2x+l)=0,

/.x-3=0或2x+l=0,

.__1

•»X1—3Q,X2-—•

(4)(3x-2)2=4X2-4尤+1,

(3x-2)2-⑵-1)2=0,

[(3x-2)+(2x-1)][(3x-2)-(2x-l)]=0,

.,.5x-3=0或x-I=0,

._3

•-------,X2—1.

5

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

19.(6分)如图，在△ABC中，CD〃EF,AF=1,AD=3,AE=2.

(1)求AC的长；

(2)若A3=9,求证：AABC^AADE.

【分析】（1）由平行线分线段成比例定理得到AF：AD^AE；AC,代入有关数据即可

求出AC=6；

（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，由此即可证明问题.

【解答】（1）解：：。〃£孔

：.AF：AD=AE：AC,

VAF=1,AZ）=3,AE=2,

Al：3=2：AC,

.'.AC=6；

（2）证明：\9AD=3,AB=9,AE=2,AC=6,

：.AD：AB=AE：AC,

ZDAE=ABAC,

：.AABC^AADE.

【点评】本题考查相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理，关键是由CD//EF,

得至IJAF：AD^AE：AC；证明A。：AB=AE；AC.

20.（6分）九年级1班近期为参加学校举办的海洋知识竞赛，决定要从A、B、C、。四名

同学中随机选出2名同学参赛.

（1）请问选中8同学的概率是多少？

（2）请利用树状图或表格求出同时选中A、C两名同学的概率.

【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；

（2）画出树状图，数出所有的情况数和符合题意的情况数，再根据概率公式，即可求解.

解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，选中B同学的结果有6种，同时选中A、C两名向学的结果有

两种，

（1）选中2同学的概率是义乌；

122

（2）A、C两名同学被选中的概率为：

126

【点评】此题主要考查了用树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握树状图或列表

法是解题的关键.

21.（6分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成

三个大小相同的矩形，设矩形的边长为x米，矩形场地的总面积为y平方米.

（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；

（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米?

【分析】（1）设的长度为x米，则8C的长度为（100-4无）米;

（2）根据矩形的面积公式列出方程.

解：（1）依题意得，BC=100-4x.

贝Uy=（100-4A）x.

（2）设A8的长度为x,则8C的长度为（100-4x）米.

根据题意得（100-4x）x—400,

解得尤1=20,X2=5.

贝IJ100-4.r=20或100-4x=80.

V80>25,

.,.X2=5,舍去.

即AB=20,8c=20.

答：当x的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给

出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

22.（8分）已知：如图，在。ABC。中，AB=BD,点E,尸分别是8C,的中点.

（1）求证：AABF^/\CDE；

（2）当/4=45°时，四边形8即尸是正方形？请证明你的结论.

【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB^CD,/A=NC,根据全等三

角形的判定定理即可得到结论；

（2）根据线段中点的定义得到=5AD,BE=gBC，推出四边形BE。尸是平行四边形,

22

得到四边形出办尸是矩形，根据等腰直角三角形的性质得到8/=。F=/4。，于是得到

四边形BEDE是正方形.

【解答】（1）证明：：四边形ABC。是平行四边形，

：.AD=BC,AB=CD,ZA=ZC,

9

：AB=BDf

：.CD=BD,

,:E,1分别是5C,AO的中点，

：.BF_LAD,DELBC,

：.ZAFB=ZCED=90°,

在△ABb与△COE中，

<ZA=ZC

<NAFB=NCED，

AB=CD

AABF^ACDE（A4S）；

（2）解：当NA=45°时，四边形8即尸是正方形，

证明：•・,点E,尸分别是5C,AZ）的中点，

**•DF=-^-AD,BE=^-BC?

9：AD=BC,

：.DF=BE,

9：DF//BE,

・・・四边形BEDF是平行四边形，

•：BF_LAD,

：.ZBFD=90°,

・・・四边形8即尸是矩形，

VZA=45°,AB=BD,

：.ZA=ZADB=45°,

ZABD=90°,

：.BF=DF=^AD,

，四边形BEDF是正方形,

故答案为：45.

【点评】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，熟

练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键.

23.（6分）请阅读下列材料，并完成相应的任务.

梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学

方面的许多书籍.梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点

也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与

••条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）.他进

行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：

设Q,E,尸依次是△ABC的三边A3、AC、8C或其延长线上的点，且这三点共线，则

满足祟•受•暮=1.这个定理的证明步骤如下：

DBFCEA

情况①：如图1,直线。E交△ABC的边于点。，交边AC于点E,交边的延长

线于点R过点C作CG〃。产交于点G,则与锣，黑塔.（依据）

FCDGDGEC

.BFrAD=BDrAE

"FC"DG"DT'EC'

/.BF'AD-EC=BD-AE-FC,BP-•—=1.

DBFCEA

图1图2图3

情况②：如图2,直线。E分别交△ABC的边AB,AC,BC的延长线于点。，E,F-

（1）情况①中的依据指：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明.

（3）如图3,D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，且A。：DB=CE：EA=4：5,

连接QE并延长，交BC的延长线于点凡那么8RCF=25：16.

【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可.

（2）如图2中，过点C作CG〃DF交AB的延长线于点G.模仿情况①的方法解决问题

即可.

（3）利用结论解决问题即可.

解：（1）情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

（2）证明：过点C作CG〃。尸交A8的延长线于点G,

则及理他❷，

FCDGDGEC

.BFAD_BDAE

,•而"质同"而‘

:.BF，AD，EC=BD，AE，FC,即也•此=］；

DBFCEA

（3）如图3中，：坦•此•巫=i，AD：DB=CE：EA=4：5,

DBFCEA

：.BF-.CF=25：16.

故答案为：25：16.

图2

【点评】本题考查梅涅劳斯定理与塞瓦定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

24.因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最

喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春

节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间将接待游客达28.8

万人次.

（1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率；

（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅

游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每

天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多

少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在