二次函数的线段、角度与面积问题-中考数学复习题练习（教师版）

专题6二次函数的线段、角度与面积问题(解析版)

类型一线段问题

15

1.(2022秋•西华期中)如图，抛物线y=∕+⅛x+c与X轴交于A(10),B(-,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点O是直线BC下方抛物线上一点，过点。作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.

①求直线BC的解析式；

②当线段OE的长度最大时，求点。的坐标.

思路引领：(1)利用待定系数法求抛物线的解析式；

(2)①求出8、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题.

2

②设。坐标为(m,∕M-3∕W+∣),则点E坐标为Gn,-∣w+∣),设。E的长为"，构建二次函数，利

用二次函数的性质即可解决问题.

15

解：(1);抛物线y=Λ2+∕λr+c与X轴交于A(-,0),B(-,0)两点，

.β+lfo+c=°

住+/+C=O

(b=-3

解得C=S.

故该抛物线解析式为：)=Λ2-3x+东

(2)令X=0,得y=牙

5

：.C(0,-).

4

设直线BC的解析式为y=kx^b,

信々+b=0

则有5,

3=4

解得卜一；2,

.∙.直线BC的解析式为y=-⅛+~

•24

②设。坐标为(∕π,m2-3∕n÷∣),

二点E坐标为(加，-⅛÷7),

设OE的长为d,

是直线BC下方的一点，

：.d=(—⅛m+-(w^-3∕∏+J)-///-+B/n=-(∕n-ɪ)^4-

2442416

...当〃?=,时，线段OE的长度最长，此时OG-y∣).

总结提升：本题属于二次函数综合题，主要考查了抛物线与X轴的交点、一次函数的应用、待定系数法

等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，属于中

考常考题型.

2.(2022秋•荔湾区期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为(-1,0),且OA=OC=5。8,

抛物线y=αr2+bx+c(a≠0)图象经过4,B,C三点.

(1)求A,C两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)若点尸是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作POLAC于点Q,当尸。的值最大时，求此时点

尸的坐标及PO的最大值.

思路引领：(1)OA=OC=5OB=5,即可求解；

(2)抛物线的表达式为：y=”(x+l)(χ-5)="(/-4χ-5),即可求解;

(3)PD=HPsmZPFD=ɪ(x-5-x2+4x+5),即可求解.

解：⑴O4=OC=5O8=5,

故点A、C的坐标分别为(5,0)、(0,-5)；

(2)抛物线的表达式为：y=a(x+l)(X-5)=a(x2-4x-5),

即-54=-5,解得：a=l>

故抛物线的表达式为：y=?-4x-5；

(3)直线CA过点C,设其函数表达式为：y=kχ-5,

将点4坐标代入上式并解得：k=l,

故直线CA的表达式为：y=x-5>

过点P作y轴的平行线交AC于点H,

9JOA=OC=S,

,NOAC=NoC4=45°,

・・・。〃〃)，轴，

NPHD=NoCA=45°,

设点。(Λ,X2-4X-5),则点”(x,χ-5),

PD=HPSinNPHD=ɪ(χ-5-x2+4x+5)=一驿+挈x,

•.•一孝<0,

ς25√2

有最大值，当X=时，其最大值为一，

28

5ɔς

此时点尸(---⅛).

24

总结提升：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等，其中(3)中用函数关

系表示尸。是本题解题的关键.

3.（2021秋•鼓楼区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1,0）,且OA=OC=4。8,

抛物线y=αr2+%x+cQWO）图象经过4,B,C三点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在过A,B,C三点的抛物线上，是否存在点P,使得CP是以AC为直角边的直角三

角形？若存在，请求出所有符合条件的点尸的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）若点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，作PZXLAC于点。，当0<POV2√Σ时，请直接写

出点P横坐标的取值范围.

思路引领：（1）根据题意可以求得点C和点A的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）根据题意作出合适的图形，然后利用分类讨论的数学思想即可求得符合条件的点尸的坐标；

（3）过点P作y轴的平行线交AC于点Q,可得PQ=√∑PO,根据直线解析式和抛物线解析式求出线段

PQ的解析式，可得当X=-2时，P点坐标为（-2,6）,此时尸。的最大值为PQ-4,由此得出点P横

坐标的取值范围.

解：（1）；点点8的坐标为（1,0）,且OA=OC=4。8,动点P在过A,B,C三点的抛物线上，

ΛOB=I,OA=OC=408=4,

...点C的坐标为（0,4）,点4的坐标为（-4,0）,

设抛物线的解析式为y=αx2+⅛r+c,

α+b+c=O（a=-1

16a—4b+c=0,解得M=-3,

、c=4Ic=4

即抛物线的解析式为y=-7-3x+4；

（2）存在，

第一种情况，当以点C为直角顶点时，过点C作CPLAC交抛物线于点P,过点PI作），轴的垂线，垂

足为M,

VZACP∖=90a,

ΛZMCPι÷ZACO=90σ,

VZACO+ZOAC=90o,

：.ZMCPi=ZOAC1

TOA=OC,

JNMCP=NOAC=45°,

ΛZMCPi=ZMPiC,

ΛMC=Λ∕P∣,

设点P∖Cm9-nr-3m+4）,

则-m+4=-nΓ-3m+4,

解得，Ml=O（舍去），"22=-2,

当ιn=-2时,-m2-3加+4=6,

工点尸1(-2,6)；

第二种情况，

当点A为直角顶点时，过点A作AP2,AC交抛物线于点P2,交y轴于点R作P2N,y轴于点M

，P2N〃x轴，

∖∙∕C4O=45°,

.".ZFPiN=ZFAO=45°,

.∙.NP2FN=45°,

ΛZΛFO=45o,PlN=NF,

：.OF=OA,

设P2（〃，-n2-3n+4）,则"+4=-（-n2-3n+4）,解得，〃1=-4（舍去）,“2=2,

二当〃=2时，-"2-3〃+4=-6,即P2（2,-6）,

由上可得，点P的坐标是（2,-6）或（-2,6）；

（3）；点A坐标为（-4,0）点C坐标为（0,4）,

直线AC的解析式为y=x+4,

过点P作y轴的平行线交AC于点Q,

设点P坐标为(X.-X2-3X+4),其中-4<X<0,则点。坐标为(X,X+4),

；点P是直线AC上方的抛物线上的一个动点，

ΛPQ-(-X2-3x+4)-(X+4)=-x2-4x,

二尸。=-(x+2)2+4,即当X=-2时，尸点坐标为(-2,6),此时P。的最大值为PQ=4,

又Y/C4O=/OCA=45°,P。〃)，轴，

.".ZPQD=ZOCA=45a,

是等腰直角三角形，

：.PQ=y∕2PD,

又Y0<PD<2√Σ,

Λ0<Pβ<4,即：0<-%2-4x<4,

；.当工=-2时，尸。的最大值为PQ=4,此时PO=2√Σ

当0<PO<2√^寸，点P横坐标的取值范围为：-4<x<0且xr-2.

总结提升：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等

腰直角三角形的性质.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.其中(3)得出PQ=√2PD,

并用函数关系表示PQ是本题解题的关键，

类型二面积问题

4.(2022秋•五华区校级期中)已知，如图，抛物线y=oc2+6x+c(αW0)的顶点为M(1,9),经过抛物线

上的两点A(-3,-7)和B(3,，〃)的直线交抛物线的对称轴于点C

(1)求抛物线对应的函数解析式和直线AB对应的函数解析式.

(2)在抛物线上A,M两点之间的部分(不包含A,M两点)，是否存在点D,使得Sz√MC=2SgcM?

若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

思路引领：(1)抛物线的表达式为：y=α(X-I)2+9,将点A的坐标代入上式并解得：α=-1,即可求

解二次函数的解析式，进而求得点8的坐标，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；

(2)SΔD4C≈2SΔZ)CM,则HN=2GH,即l-k-(3k-7)=2(9-⅛-l+k),即可求解.

解：(1)设抛物线的表达式为：y="(χ-l)2+9,

将点A的坐标代入得-1—a(-3-1)2+9,

解得“=-I,

抛物线的表达式为：y=-∕+2x+8,

将点2(3,m)代入得，〃?=-9+6+8=5,

点B(3,5)；

设直线AB为y=kx+n,

.ʃ-3fc+n=-7

**tɜ/e÷n=5'

解得｛:二:1,

.∙.直线AB的解析式为v=2x-1.

(2)过点M、C、4分别作三条相互平移的平行线，分别交y轴于点G、H、N,直线/与抛物线交于点

D,

设直线〃?的表达式为：y=kx^t,将点M的坐标代入得9=Z+/,

/.Γ=9→,

.∙.直线"?的表达式为：y=⅛x+9-

当X=O时∙，v=9-k,

・・・点G(0,97),

同理直线/的表达式为：y=kx+l→,故点“(0,Ir),

同理直线〃的表达式为：y=kx+3k-7,故点N(307),

*.∙SM)AC=2SADCM,

：.HN=ZGH,

：A-k-(32-7)=2(9-⅛-l+⅛),

解得：k=-2,

，直线/的表达式为：y=-2x+3…②，

由忧萼:工解喉

.∙.点£>(-1,5).

总结提升：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结

合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.

5.(2022秋•抚远市期末)如图，抛物线)，=(χ-l)2+〃与X轴交于A,B两点(点A在点8的左侧)，与

)，轴交于点C(0，-3),点。与点C关于抛物线的对称轴对称.

(1)求抛物线的解析式及点。的坐标；

(2)P是抛物线上的一点，当AABP的面积是8时，直接写出点P的坐标.

y,

A∖O/Bx

思路引领：(1)根据点C的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出〃值，进而可得出抛物线的

解析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点C的坐标可得出点。的

坐标：

(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B的坐标及AB的长，设点P的坐标为(4,b),由

三角形的面积公式结合AABP的面积是8,可求出。值，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P

的坐标.

解：(1)；抛物线y=(X-I)2+〃与y轴交于点C(0,-3),

.,.-3=(0-1)2+n,

in=-4,

抛物线的解析式为y=(X-I)2-4,

/.抛物线的对称轴为直线X=L

•；点。与C关于抛物线的对称轴对称，

.∙.点D的坐标为(2,-3)；

(2)当y=0时，(X-I)2-4=0,

解得：Xi=-LX2=3,

・•・点A的坐标为(-1,0),点8的坐标为(3,0),AB=3-(-1)=4.

设点P的坐标为(小b),

•••△A5P的面积是8,

Λ^AB∙∣⅛∣=8,即1×4∣⅛∣=8,

Λ⅛=±4.

当b=4时，(a-1)2-4=4,

解得：a∖=l-2√2,a2=I÷2√2,

・・・点尸的坐标为(1-2√2,4)或(l+2√2,4)；

当b=-4时，（α-1）2-4=-4,

解得：43=44=1,

二点P的坐标为（1,-4）.

二当448P的面积是8,点P的坐标为（1-2√2,4）或（1+2√Σ,4）或（1,-4）.

总结提升：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求

一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用二次函数

图象上点的坐标特征求出”值；（2）利用三角形的面积公式，求出点P的纵坐标.

类型三角度问题

6.（道里区一模）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，直线尸营+1与抛物线y=∣Λ以+c交

于A,B两点,点A在R轴上，点5的横坐标为4.

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线y=%2+fcv+c交X轴正半轴于点C,横坐标为，的点P在第四象限的抛物线上，过点P作AB

的垂线交X轴于点E,点Q为垂足，设CE的长为d,求d与f之间的函数关系式，直接写出自变量f的

取值范围：

（3）在（2）的条件下，过点B作y轴的平行线交X轴于点Q,连接QQ.当NAQO=3NPQ。时，求点

P坐标.

思路引领：（1）先求得点A和点B的坐标，将点A和点8的坐标代入抛物线的解析式求得b、C的值可

得到抛物线的解析式；

（2）先求得点。的坐标，设点尸的坐标为"∣r2-∣r-3）,EP的解析式为y=-2x+。，将点P的坐标

代入可求得匕的值，得到直线"的解析式为y=-2x+^2+∣L3,接下来，求得点E的坐标，依据“

=EC可得到d与f的函数关系是；

（3）过点。作CFLAb垂足为F.先证明aQFQ为等腰直角三角形，可得到QF=OF,由AB的解析

1

式可知tan/Mo=I,z则。为A尸的中点，故此E为A。的中点，则可得到EC的长，由”和f的函数

关系是可得到r的值.

1

解：(1)令y=0得：-χ÷l=O,解得：X=-2,

，点A(-2,0).

1

将代入得：

x=4V=Lɔ×4+l=3,

：.B(4,3).

将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：+c=O

18+4b+c=3

解得：a=一］,

IC=-3

抛物线的解析式为y=-3-

(2)如图1所示：

令y—O得：O=5/一τ:X-3>解得：XI=~2,X2=3,

LΔ

.∙.点C的坐标为(3,0).

设点P的坐标为(t>⅛-∣∕-3).

∖'EC±AB,

二设EP的解析式为y=-2x+b.

将点P的坐标代入得:-2t+b=^-^t-3,解得6=界+|「3.

设直线EP的解析式为y=-2x+∣r2+∣z-3.

令y=0,得：2x+与*+*-3=0,解得：

・，・点E(1尸+/—ɪ,0),

.∖EC=3-=-ξf2-√+^∙

■,•d——《厂―4'+N

∙.∙点P在第四象限，

ΛO<Z<3.

(3)如图2所示：过点d作CFJ_A8,垂足为E

:NAQD=3NPQD,NAQP=90°,

.∙.NPQO=45°.

.'.ZDQF=45°.

：.QF=DF.

,：AB的解析式为y=1+1,

AtanZMD=ɪ,即DF=^AF.

.∙.Q为AF的中点.

'：QP//DF,

.∙.E为Ao的中点.

：.E(1,0).

.∙.EC=2,即2=-1尸一%+?,解得r=2或f=-5.

∙.∙点P在第四象限，

∙,∙f=2,

当x=2时，y=-2.

・•・点尸的坐标为（2,-2）.

总结提升：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次

函数的解析式、等腰直角三角形的判定、平行线分线段成比例定理，求得点E的坐标是解题的关键.

7.(2019•崇川区模拟)如图，抛物线y=oΛ⅛x+c交X轴于。(0,0),A(8,0)两点，顶点B的纵坐标

为4.

(1)直接写出抛物线的解析式;

(2)若点C是抛物线上异于原点。的一点，且满足2BC2=OA2+2OC2,试判断AOBC的形状，并说明

理由.

(3)在(2)的条件下，若抛物线上存在一点。，使得ZoCZ)=/AOC-/OC4,求点。的坐标.

思路引领：(1)根据抛物线y=0x2+hx+c交X轴于。(O,0),A(8,0)两点，顶点B的纵坐标为4,

根据待定系数法可求抛物线的解析式；

(2)设C(x,y),由勾股定理得点C(12,-12),则NAo3=∕AOC=45°,ZBOC=90°,因此△

OBC是直角三角形；

(3)作CE,X轴于E,根据三角函数可得直线与抛物线的交点即为所求点。.aOBC中，tanNOCB=

⅛⅞=1可得直线上方的点力即为点8(4,4),由点8关于点。的对称点8(-4,-4),且OBJ_

OC,可得NoCB=NoC8,将直线BC解析式为)=-6代入抛物线产-+2Λ∙,可得点。的坐

标.

解：(1)：抛物线y=0x2+fev+c交X轴于。(0,0),A(8,0)两点，顶点8的纵坐标为4,

C=O

ʌ64Q+8力+c=0,

.16Q+4b+c=0

1

a=--7

解得b=2

(C=O

故抛物线的解析式是y=--τx2+2%；

(2)4OBC是直角三角形.

如图1,设C(X,y),

由勾股定理得：OB2=42+42,Oe2=x2+y2,BC2=(x-4)2+Cy-4)2,

V2βC2=OA2+2OC2,

，化简得X=-y,

1C

代入y=-ξX2+2x,

解得X=12,y=-12,

即点C(12,-12),

则乙4。B=NAOC=45°,NBoC=90°,

因此AOBC是直角三角形.

1

(3)如图2,作CE_LX轴于EWJtanZACE=ɪ

7ZAOC=ZOCE=45o,

・•・ZAOC-ZOCA=ZOCE-ZOCA=ZACEf

u

：AOCD=AAOC-ZOCA9

1

.*.tanZOCD=ɜ,

只要经过点C,在CO的上方与下方各作一条直线，使所作直线与C。所成锐角的正切值为则直线与

抛物线的交点即为所求点D.

,.•△0Be中tanNOCB=4匕=

12√2

直线上方的点D即为点B(4,4),

；点B关于点0的对称点B1(-4,-4),且OB_LOC,

：.NOCB=NOCB

,/直线BC解析式为y=-^χ-6

.∙.代入抛物线)=-Jχ2+2χ,

J4

解得Jn=-2,X2=1O(舍去)，

当X=-2时,y=-5.

则O(-2,-5).

总结提升：本题主要考查了二次函数综合题，涉及运用待定系数法求抛物线解析式、直角三角形的判定、

三角函数、勾股定理等知识，运用图形结合的思想是解题的关键.

8.(2020秋•衢州期中)如图，直线y=-x+3与X轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x2+⅛x+c经过

B、C两点，与X轴另一交点为A,顶点为。.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如果一个圆经过点。、点B、点C三点，并交于抛物线AC段于点E,求N0E8的度数.

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使aPCO为等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标，

如果不存在，请说明理由.

(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使NAPB=NO