第六章圆周运动讲和练

第六章圆周运动一．描述圆周运动的物理量1．周期、频率、转速周期：做匀速圆周运动的物体沿圆周运动一周所用的时间，用T表示；周期的倒数为频率，频率用f表示；转速：转速是单位时间内物体转过的圈数，用n表示；周期、频率和转速的关系为：T=_______=_______2．线速度定义：描述圆周运动的物体运动_______的物理量，是矢量，方向和半径_______，和圆周_______。定义式：v=_______3．角速度定义：描述物体绕_______转动快慢的物理量定义式：ω=_______，单位rad/s4．线速度和角速度的关系：v=_______5．向心加速度定义：描述线速度_______变化快慢的物理量，方向指向圆心。定义式：an=_______=_______=_______=_______6．向心力作用效果：产生向心加速度，只改变速度的_______，不改变速度的_______。大小：Fn=_______=_______=_______=_______方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变二．常见的传动方式1．皮带传动：边缘处线速度大小相同2．摩擦传动：边缘处线速度大小相同3．同轴转动：角速度、周期和频率相同三．离心运动和近心运动1．离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离_______的运动。2．受力特点(如图)①当F=0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动；②当0<F<mrω2时，物体逐渐远离圆心，做_______运动；③当F>mrω2时，物体逐渐靠近圆心，做_______运动。3．本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。四．匀速圆周运动与变速圆周运动1．匀速圆周运动：合外力完全提供_______。2．变速圆周运动①与圆周相切的分力Ft产生切向加速度at，改变线速度的大小，当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动；②指向圆心的分力Fn提供向心力，产生向心加速度an，改变线速度的_______。五．水平面内的匀速圆周运动1．汽车在水平路面转弯2．火车转弯3．圆锥摆4．水平转台（光滑）3．水平转台（粗糙）六．竖直平面内的圆周运动1．拱桥模型汽车过拱形桥汽车过凹形路面受力分析向心力对桥的压力FN′=FN′=结论汽车对路面的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力汽车对路面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对路面的压力2．轻绳模型比较项目特点情景图示弹力特征弹力可能向下，也可能等于零受力示意图力学方程临界特征FT=0，即，得的意义物体能否过最高点的临界点3．轻杆模型比较项目特点情景图示弹力特征弹力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意图力学方程临界特征v=0，即F向=0，此时FN=mg的意义FN表现为拉力还是支持力的临界点研究传动问题时需要注意两个问题：1．选取合适的模型，判断线速度和角速度是否有相等的关系；2．根据判断线速度和角速度的关系，从而判断向心加速度的关系。【例题】1.如图所示，皮带传动装置右轮的半径为r，a是它边缘上的一点；左侧为一轮轴，大轮的半径为，小轮的半径为，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑，则（）A.a点与c点的角速度相等B.b点与d点的角速度相等C.a点与d点的向心加速度大小相等D.a、b、c、d四点中，向心加速度最小的是b点【答案】BCD【解析】【详解】A．由题意可得，a、c两点是同缘转动，则线速度大小相等，由于，由可得选项A错误；B．由于b、d两点共轴转动，因此选项B正确；C．由题意可得，a、c线速度大小相等，由可得d、c角速度相等，由可得故a点与d点的向心加速度大小相等，选项C正确；D．a点与d点的向心加速度大小相等，b、c、d角速度相等，根据可得向心加速度最小的是b点，选项D正确；故选BCD。【练习题】2.修正带是学生常用的学习工具之一，其结构如图所示，包括上下盖座、大小齿轮、压嘴座等部件，大小齿轮分别嵌合于大小轴孔中，大小齿轮相互啮合，a、b两点分别位于大小齿轮的边缘，则关于这两点的线速度大小、角速度关系说法正确的是（）A.线速度大小相等，角速度不等 B.线速度大小不等，角速度相等C.线速度大小相等，角速度相等 D.线速度大小不等，角速度不等【答案】A【解析】【详解】根据题意可知，大小齿轮由于边缘啮合，所以边缘上的点的线速度大小相等，而齿轮的半径不一样，由公式可知，角速度的大小不等。故选A。3.如图为一种“滚轮—平盘无极变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可带动从动轴转动的圆柱形滚轮组成。由于摩擦力的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴的转速n1、从动轴的转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是（）A.n2＝n1 B.n1＝n2C.n2＝n1 D.n2＝n1【答案】A【解析】【详解】从动轴的转速为n2，滚轮半径为r，则滚轮边缘的线速度大小为v2＝2πn2r平盘与滚轮接触处的线速度大小为v1＝2πn1x根据v2＝v1，得2πn2r＝2πn1x解得n2＝n1故选A。4.英语听力磁带盒的示意图如图所示，A、B为缠绕磁带的两个轮子，其半径均为r。当放音结束时，磁带全部绕到了B轮上，磁带的外缘半径。现在进行倒带，使磁带绕到A轮上，可以认为此过程A轮是主动轮，B轮是从动轮，主动轮的角速度不变。经测定磁带全部绕到A轮上需要的时间为t，当B轮的角速度也为时所用的时间记为，此时磁带的线速度记为v，磁带厚度均匀，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【详解】AB．磁带的总长度不变，磁带对应的圆环面积不变，设当两轮角速度相等时磁带的半径为，有解得则选项A正确、B错误；CD．此过程中磁带的线速度随时间均匀增加，则解得选项C正确、D错误。故选AC。匀速圆周运动的特点：1．运动学特点：角速度恒定，线速度大小不变。2．动力学特点：做匀速圆周运动的物体所受合外力完全提供向心力。所以，分析匀速圆周运动的关键点在于通过受力分析判断哪些力提供向心力。【例题】5.当老鹰在高空中盘旋时，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力。已知当质量为m的老鹰以速率v匀速水平盘旋时，半径为R，则其向心力为（）A.mv2R B. C. D.【答案】B【解析】【详解】根据向心力计算公式得故选B。【练习题】6.旱冰爱好者在地面上滑行如图所示，若他正沿圆弧弯道以不变的速率滑行，则他（）A.做匀速运动 B.所受合力为0C.受到重力和向心力 D.向心力方向不断变化【答案】D【解析】【详解】A．匀速圆周运动的速度方向是时刻改变的，故匀速圆周运动是变速运动，故A错误；B．合力提供做圆周运动所需要的向心力，故B错误；C．向心力是效果力，不是旱冰爱好者受到的力，故C错误；D．向心加速度大小不变，方向时刻改变，故D正确。故选D。7.一质点沿螺旋线自外向内运动，如图所示，已知其走过弧长s与时间t成正比。则关于该质点的运动，下列说法正确的是（）A.质点运动的线速度越来越大 B.质点运动的向心力越来越大C.质点运动的角速度越来越大 D.质点所受的合力不变【答案】BC【解析】【详解】A．质点沿螺旋线自外向内运动，说明运动轨迹半径R不断减小，根据其走过的弧长s与运动时间t成正比，设其比值为k，则有可知，线速度大小不变，故A错误；B．根据可知，v不变，R减小时，F向增大，故B正确；C．根据可知，v不变，R减小时，ω增大，故C正确；D．合力方向不断变化，故合力不断变化，故D错误。故选BC【点睛】根据线速度的定义，结合题意判断线速度的变化情况。再结合线速度与角速度和向心力的关系进行分析解答。8.我市某公园有一种叫做“快乐飞机”的游乐项目，模型如图所示，已知模型飞机质量为m，固定在长为L的旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为（小于），当模型飞机以恒定角速度绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（）A.模型飞机受到重力、旋臂的作用力和向心力B.旋臂对模型飞机的作用力方向一定与旋臂垂直C.旋臂对模型飞机的作用力大于D.若仅减小夹角，则旋臂对模型飞机的作用力减小【答案】CD【解析】【详解】A．当模型飞机以角速度绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，模型飞机受到重力和支持力的作用，而向心力属于效果力，由重力和支持力的合力产生，故模型飞机受到的力为重力和旋臂的作用力，故A错误；B．旋臂对模型飞机的作用力方向可以与旋臂不垂直，但在竖直方向和水平方向有分力，且竖直方向的分力等于重力，水平方向的分力提供向心力，故B错误；C．由力的合成关系可知，旋臂对模型飞机的作用力大小为故C正确；D．根据旋臂对模型飞机的作用力大小的表达式，若夹角减小，则旋臂对模型飞机的作用力减小，故D正确。故选CD。【易错题小练】9.如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【详解】因为电扇叶片有三个，相互夹角为，现在观察者感觉扇叶不动，说明在闪光时间里，扇叶转过三分之一、或三分之二，或一周…，即转过的角度为（1，2，3，…）由于光源每秒闪光45次，则转动的角速度为（1，2，3，…）转速为（1，2，3，）所以，转速为，所以，转速为，故AC错误，BD正确；故选BD。10.已知飞镖到圆盘的距离为L，且对准圆盘边缘上的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直盘面且过盘心O点的水平轴匀速转动。若飞镖恰好击中A点，空气阻力忽略不计，重力加速度为g，求：（1）飞镖打中A点所需的时间；（2）圆盘的半径r；（3）圆盘转动角速度的可能值。【答案】（1）；（2）；（3）（k＝0，1，2，…）【解析】【详解】（1）飞镖水平抛出，在水平方向做匀速直线运动，因此飞镖打中A点所需的时间（2）飞镖击中A点时，A恰好在最下方，有求得（3）飞镖击中A点，则A点转过的角度满足（k＝0，1，2，…）故（k＝0，1，2，…）1．如图所示向心力且，解得2．稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力和运动所需向心力也越大。【例题】11.两根长度不同的细线下面分别悬挂两个完全相同的小球A、B，细线上端固定在同一点，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动。已知A球细线跟竖直方向的夹角为30°，B球细线跟竖直方向的夹角为45°，下列说法正确的是（）A.小球A和B的角速度大小之比为 B.小球A和B的线速度大小之比为C.小球A和B的向心力大小之比为 D.小球A和B所受细线拉力大小之比为【答案】AC【解析】【详解】AB．受力分析得又得故相同。又A正确，B错误；C．向心力为故故C正确；D．拉力为得故D错误。故选AC。【练习题】12.如图所示，两根长度不同的细线分别系有1、2两个质量相同的小球，细线的上端都系于O点，细线长L1大于L2现使两个小球在同一水平面上做匀速圆周运动，下列说法中正确的有（）A.球2运动的角速度大于球1的角速度B.球1运动的线速度比球2大C.球2所受的拉力比球1大D.球2运动的加速度比球1大【答案】B【解析】【详解】CD．设细线与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为mg，加速度大小为a，细线的拉力大小为T，小球在竖直方向合力为零，则①在水平方向根据牛顿第二定律有②根据①②解得因为，所以，故CD错误；A．设小球的角速度大小为ω，在水平方向根据牛顿第二定律有③根据①③解得因为两小球在同一水平面上做匀速圆周运动，则相同，所以两小球的角速度大小相同，故A错误；B．球1的运动半径比球2的运动半径大，根据可知球1运动的线速度比球2大，故B正确。故选B。13.天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B（m1≠m2）。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则（）A.球A、B运动的周期之比等于m2：m1B.两球的向心加速度大小相等C.球A、B到P的距离之比等于m2：m1D.球A、B运动的线速度之比等于m2：m1【答案】C【解析】【详解】A．对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力FT，绳中拉力在竖直方向的分力与重力平衡，设轻绳与竖直方向的夹角为θ，则有FTcosθ=mg拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到P的距离为l，则有解得周期为因为任意时刻两球均在同一水平面内，h相等，所以两球运动的周期相等，A错误；B．小球的向心加速度两球做圆周运动半径r不相等，所以两球向心加速度大小也不相等，B错误；C．连接两球的绳的张力FT相等，由于向心力为Fn=FTsinθ=mω2lsinθ则有故m与l成反比，C正确；D．小球线速度v=ωlsinθ，结合选项C有D错误。故选C。14.如图所示，在半径为R的半球形陶罐的内表面上，一质量为m的光滑小球在距碗口高度为h的水平面内做匀速圆周运动，小球可视为质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A.小球运动的周期为 B.小球运动的线速度为C.陶罐对小球的支持力为 D.小球运动的向心加速度为【答案】B【解析】【详解】ABD．设小球与圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，对小球受力分析可知其中可得选项AD错误，B正确；C．陶罐对小球的支持力为选项C错误。故选B。15.如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在水平转台上，转台竖直转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。当转台匀速转动时，观察到陶罐内壁上质量为m的小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与的夹角。重力加速度大小为g。下列判断正确的是（）A.转台的角速度一定等于 B.物块的线速度大小可能等于C.物块所受合力的大小一定等于 D.陶罐壁对物块弹力的大小一定等于2mg【答案】B【解析】【详解】AB．小物块绕轴上等高位置做匀速圆周运动，一定受重力、支持力，可能受摩擦力，若摩擦力为0，则有解得则此时线速度为当小物块受摩擦力不为0时，则角速度不等于，物块的线速度也不等于，故A错误，B正确；CD．当小物块受摩擦力为0时，物块所受合力的大小为0，则小物块受弹力不等于，合力也不等于2mg，故CD错误。故选B。【易错题小练】16.如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1kg的小球，AC绳长L＝2m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度不可能是（）（）A.2rad/s B.2.5rad/s C.3.5rad/s D.4rad/s【答案】ACD【解析】【详解】当上绳绷紧，下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如下图

由牛顿第二定律得mgtan30°=mω12r半径为r=Lsin30°解得当下绳绷紧，上绳恰好伸直无张力时，小球受力如下图

由牛顿第二定律得mgtan45°=mω22r解得由此可知当故选ACD。17.如图所示，用一根长为l的细线，一端系一质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角为θ。设小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T，重力加速度为g，求：（1）若要小球刚好离开锥面，则此时小球的角速度为多大？（2）细线的张力T与小球匀速转动的角速度有关，请通过计算在图中画出在不同取值范围的Tω2的图象（要求标明关键点的坐标）。【答案】（1）；（2）见解析【解析】【详解】（1）若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平。在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得解得（2）当时当时，小球受三个力：重力、支持力、拉力。根据牛顿第二定律有水平方向有竖直方向有联立解得显然是线性关系当，小球恰离开锥面，则当时，球离开锥面，绳子与竖直方向的夹角为，则得即也是线性关系;因此画出图象如图所示水平转盘上的物体做匀速圆周运动，主要有一下几个关键点：1．确定研究对象的受力特点；2．研究对象所受力在水平方向的分力共同提供向心力；3．判断研究对象发生的受力临界和滑动临界。【例题】18.如图所示，小木块a、b和c(均可视为质点)放在水平圆盘上，a、b的质量均为，c的质量为，a与转轴的距离为，b、c与转轴的距离为且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的倍，重力加速度大小为。若圆盘从开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法正确的是（  ）A.b、c所受的摩擦力始终相等B.当a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等C.b和c均未滑落时线速度一定相等D.b开始滑动时的角速度是【答案】B【解析】【详解】AB．当a、b和c均未滑落时，三个小木块的角速度相等，由静摩擦力提供向心力，可知a、b和c受到的静摩擦力分别为，，可知当a、b和c均未滑落时，三个小木块受到的摩擦力大小关系为故A错误，B正确；C．b和c均未滑落时，b和c的角速度相等，根据由于b和c的半径相等，可知b和c的线速度大小相等，但方向不同，故C错误；D．设b开始滑动时的角速度为，则有解得故D错误。故选B。【练习题】19.如图所示，两个可视为质点的质量不等的木块A和B，A的质量大于B的质量，放在水平转盘上，A与圆心O、A与B距离都为L。木块与转盘间的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，整个装置能绕通过转盘中心的转轴ab转动。现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（）A.当角速度增大过程中，B先滑动B.当，A一定出现滑动C.当，A与B都出现滑动D.将A与B的位置对换后，由于A的质量大于B，还是B先滑动【答案】AC【解析】【详解】A．A、B均由静摩擦力提供向心力，即将滑动时可得由于A距离O点较远，可知当角速度增大过程中，B先滑动，故A正确；B．A出现滑动临界条件为所以当时，还未发生滑动，故B错误；C．B发生滑动的临界条件为由B选项分析可知，当时，B发生滑动，且A也一定发生滑动，故C正确；D．由发生滑动的临界条件可知将A与B的位置兑换后，是A先滑动，故D错误。故选AC。20.如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是（  ）A.当时，A、B相对于转盘会滑动B.当，绳子一定有弹力C.ω在范围内增大时，B所受摩擦力变大D.ω在范围内增大时，A所受摩擦力一直变大【答案】ABD【解析】【详解】A．当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有解得所以，当时，A、B相对于转盘会滑动，故A正确；B．当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有解得可知当时，绳子有弹力，故B正确；C．当时，B已达到最大静摩擦力，则ω在范围内增大时，B受到的摩擦力不变，故C错误；D．ω在范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，当时，绳上无拉力，则当ω增大时，静摩擦力也增大；当时，B的摩擦力不变，有可知随着ω增大，绳上拉力增大，对A有得可知随着ω增大，A所受摩擦力也增大，故D正确。故选ABD。【易错题小练】21.如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（）A.当转盘匀速转动时，物块P所受摩擦力方向为c方向B.当转盘匀速转动时，物块P不受转盘的摩擦力C.当转盘加速转动时，物块P所受摩擦力方向可能为a方向D.当转盘减速转动时，物块P所受摩擦力方向可能为b方向【答案】A【解析】【详解】AB．当转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向沿半径指向圆心O点，故A正确，B错误；C．当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，即物块P所受摩擦力方向可能为b方向，故C错误；D．当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，即物块P所受摩擦力方向可能为d方向，故D错误。故选A。22.如图所示，水平圆盘上有A、B两个物块，中间用一根不可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过圆盘圆心。它们一起随圆盘绕竖直中心轴转动，转动角速度由零逐渐增大，转动半径，质量，A、B两物块与圆盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（）A.当时，绳中恰好出现拉力B.A物块受到的摩擦力一旦达最大值，再增大，两个物块将一起相对圆盘滑动C.要使A、B两物块与圆盘保持相对静止，的最大值为D.当A、B两物块恰好要与圆盘发生相对滑动时，绳中的拉力为【答案】C【解析】【详解】A．当B恰好达到最大静摩擦力的时候，对B解得当A恰好达到最大静摩擦力的时候，对A解得可知B先达到最大静摩擦力，当此时绳中无弹力，故A错误；B．当A的摩擦力达到最大时，B的摩擦力也达到最大值，再增大，绳中拉力继续变大，因A所需的向心力更大，则A的摩擦力保持不变，B所需的向心力较小，所以B的摩擦力减小，直到为零后反向逐渐增大，当反向达到最大值，A、B将一起相对圆盘向A的方向滑动，所以当A的摩擦力达到最大时，再增大，两物体不是立即相对圆盘产生滑动，故B错误；CD．由上述分析可知当A所受的摩擦力指向圆心达到最大且B所受的摩擦力达到最大背离圆心时，A、B将与圆盘发生相对滑动，设此时绳中拉力为，则对A对B解得故C正确，D错误。故选C。23.如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块处于静止状态，用长为L的细绳将物块连接在转轴上，细线与竖直转轴的夹角为θ，绳子刚好拉直且绳中张力为零。物块与转台间的动摩擦因数为μ（μ<tanθ），最大静摩擦力可近似等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动。求：（1）当绳中刚出现拉力时，转台的角速度大小；（2）若物块的角速度增大到时，保持角速度不变，求此时绳子的拉力？【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）转台由静止加速时，静摩擦力提供向心力，且逐渐增大，当静摩擦力达到最大时，绳中刚要出现拉力，此时最大静摩擦力提供向心力，有μmg=mω2Lsinθ解得ω=（2）当转台对物块的支持力为零时，摩擦力为零，重力和拉力的合力提供向心力，设此时物块的角速度为ω0，有得ω0=<ω1=所以当角速度增大到时物块已经离开转台。设绳子与竖直方向的夹角为α，设绳子的拉力为T，则有解得1．火车转弯问题中，当火车所受重力和轨道支持力完全提供向心力时，火车在斜面方向对内、外轨均无作用力，即解得为火车转弯的半径。2．拱桥模型拱桥模型主要研究物体在拱桥的最高点和最低点的向心力判断，在最高点，物体的向心加速度竖直向下，物体处于失重状态，支持力小于重力；在最低点，物体的向心加速度竖直向上，物体处于超重状态，支持力大于重力。【例题】24.在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，当火车以特定的行驶速度转弯时，内轨与外轨均不会受到轮缘的挤压。若此速度大小为v，两轨所在平面的倾角为，则下列说法正确的是（）A.该弯道的半径为（g为重力加速度的大小）B.火车以大小为v的速度转弯时，火车受到的合力为零C.若火车上的乘客增多，则特定的转弯速度将增大D.若火车速率大于v，则外轨将受到轮缘的挤压【答案】AD【解析】【详解】A．火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，设转弯处斜面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得解得A正确；B．火车以大小为v的速度转弯，是曲线运动，受到的合力为零时物体应该保持静止或匀速直线运动，B错误；C．根据牛顿第二定律得解得可知火车规定的行驶速度与质量无关，C错误；D．当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不能够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，D正确；故选AD。25.城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端以不变的速率驶过该立交桥，小汽车速度大小为，则（）A.小汽车通过桥顶时处于超重状态B.小汽车通过桥顶时处于平衡状态C.小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为D.小汽车到达桥顶时的速度必须大于【答案】C【解析】【详解】ABC．由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得解得小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为物体处于失重状态，故AB错误，C正确；D．由解得故D错误。故选C。【练习题】26.如图所示，当列车以恒定速率通过一段水平圆弧形弯道时，乘客发现在车厢顶部悬挂玩具小熊的细线与车厢侧壁平行。同时观察放在桌面上水杯内的水面（与车厢底板平行）。已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（）A.列车转弯时的向心加速度大小为gtanθB.列车的轮缘与轨道均无侧向挤压作用C.水杯受到指向桌面外侧的静摩擦力D.水杯受到指向桌面内侧的静摩擦力【答案】AB【解析】【详解】A．设玩具小熊的质量为m，则玩具受到的重力mg、细线的拉力FT的合力提供玩具小熊随车做水平面内圆周运动的向心力F，如图所示有mgtanθ=ma可知列车在转弯时的向心加速度大小为a=gtanθA正确；B．列车的向心加速度a=gtanθ，由列车的重力与轨道的支持力的合力提供，故列车与轨道均无侧向挤压作用，B正确；CD．水杯的向心加速度a=gtanθ，由水杯的重力与桌面的支持力的合力提供，水杯与桌面间的静摩擦力为零，CD错误。故选AB。27.游乐场里的过山车（可视为质点）如图所示，过山车无动力运动过程中先后经过A、B两点，下列说法正确的是（）A.在A点时过山车处于失重状态 B.在A点时过山车所受向心力较大C.在B点时过山车处于超重状态 D.在B点时过山车所受向心力较大【答案】B【解析】【详解】A．过山车在A点时，加速度方向向上，处于超重状态，故A错误；BD．向心力公式，由图可知由机械能守恒定律可得所以在A点时所受向心力较大，故B正确，D错误；C．过山车在B点时，加速度方向向下，处于失重状态，故C错误。故选B。轻绳模型和轻杆模型最大的区别在于最高点物体的动力学分析，轻绳模型在最高点没有支撑作用，所以物体在最高点速度不能为0；轻杆模型在最高点有支撑作用，所以物体在最高点速度可以为0。【例题】28.如图，轻绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（）A.小球过最高点时的最小速度是0B.小球过最高点时，绳子拉力可以为零C.若将轻绳换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力不可以与小球所受重力大小相等，方向相反D.若将轻绳换成轻杆，则小球过最高点时的最小速度是【答案】B【解析】【详解】AB．因为绳子只能提供拉力，所以当小球到最高点时，至少有重力提供此时的向心力，此时绳子拉力为零，因此最小速度不可能为零，A错误，B正确；CD．若将轻绳换成轻杆，小球过最高点时，轻杆可对小球产生竖直向上的弹力，若此时小球速度为零，所需向心力为零，由力的平衡可知此时轻杆对小球的作用力与小球所受重力大小相等，方向相反，此时向心力为零，得最小速度为零，CD错误。故选B。29.如图甲所示，一长为L的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（）A.图像函数表达式为B.重力加速度C.绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大D.绳长不变，用质量较大的球做实验，图像上b点的位置向右移【答案】B【解析】【详解】A．当小球到达最高点时，根据牛顿第二定律，有所以故A错误；B．由图可知，当F=0时，v2=b，即所以故B正确；C．若绳长不变，小球质量较小时，斜率较小，故C错误；D．图线上b点表示小球在最高点时只受重力的速度，即解得此速度的大小与小球质量无关，所以绳长不变，小球质量较大时，b点位置不移动，故D错误。故选B。【练习题】30.如图所示，小球m在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，小球直径远小于管道半径R，下列说法中正确的是（）A.小球通过最高点的最小速度为B.运动到a点时小球一定挤压外侧管壁C.小球在水平线ab以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力D.小球在水平线ab以上管道中运动时，某时刻内、外侧管壁对小球作用力可能均为零【答案】BD【解析】【详解】A．小球通过最高时受重力和内壁向上的支持力，若二者大小相等，小球的最小速度为零，故A错误；B．小球运动到a点时，外壁对小球指向圆心的支持力提供小球做圆周运动的向心力，所以小球一定挤压外侧管壁，故B正确；C．小球在水平线ab以下管道中运动时，因为重力沿半径方向的分力指向外，所以必须是管道外壁对小球有沿半径指向圆心的作用力，才能使得径向的合力指向圆心，小球才能做圆周运动，故C错误；D．当小球在水平线ab以上管道中运动时，重力可以提供向心力，所以内、外侧壁对小球作用力可能均为零，故D正确。故选BD。31.如图所示，轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一个小球，小球随轻杆一起在竖直平面内在转轴的带动下绕O点以角速度做匀速圆周运动。已知杆长为L，小球的质量为m，重力加速度为g，A、B两点与O点在同一水平直线上，C、D分别为圆周的最高点和最低点，下列说法正确的是（）A.小球在运动过程中向心加速度不变B.小球运动到最高点C时，杆对小球的作用力为支持力C.小球运动到A点时，杆对小球作用力为D.小球在D点与C点相比，杆对小球的作用力的大小差值一定为2mg【答案】C【解析】【详解】A．小球做匀速圆周运动，向心加速度大小不变，方向始终指向圆心，一直改变，A错误；B．当小球在最高点，以竖直向下为正，由牛顿第二定律当小球恰好通过最高点解得所以当小球通过最高点时线速度大于时，为正，即杆对小球作用力竖直向下为拉力；当小球通过最高点时线速度等于时，为零，即杆对小球没有作用力；当小球通过最高点时线速度小于时，为负，即杆对小球作用力竖直向上为支持力，B错误；C．当小球在A点时，杆对小球作用力竖直方向的分力应等于重力，水平方向分力提供向心力，故杆对小球的作用力C正确；D．若小球在最高点，杆对小球的作用力为支持力，则在C点在D点所以若小球在最高点，杆对小球的作用力为拉力，则在C点在D点所以D错误。故选C。物体做圆周的关键点在于判断哪些力提供向心力，解决物体做抛体运动的关键点在于运动的合成与分解，两种运动的联系点在不同运动过程之间的速度关系。【例题】32.小明同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m=100g的小球（大小不计），甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球在某次运动到最低点时，绳恰好达到所能承受的最大拉力F而断掉，球飞行水平距离s后恰好无碰撞地落在邻近的一倾角为α=53°的光滑固定斜面体上并沿斜面下滑。已知斜面体顶端与小球做圆周运动最低点的高度差h=0.8m，绳长r=0.3m，重力加速度g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求：（1）绳断时小球的速度大小v1和小球在圆周最低点与斜面体的水平距离s；（2）绳能承受的最大拉力F的大小。【答案】（1）3m/s，1.2m；（2）4N【解析】【详解】（1）由题意可知，小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以有vy=v1tan53°又vy2=2gh代入数据得vy=4m/sv1=3m/s故绳断时球的小球做平抛运动的水平速度为3m/s。由于小球在竖直方向做自由落体运动，有vy=gt1得则水平位移为s=v1t1=3×0.4m=1.2m（2）由牛顿第二定律解得F=4N【练习题】33.如图所示，天花板上悬挂的电风扇绕竖直轴匀速转动，竖直轴的延长线与水平地板的交点为O，扇叶外侧边缘转动的半径为R，距水平地板的高度为h。若电风扇转动过程中，某时刻扇叶外侧边缘脱落一小碎片，小碎片落地点到O点的距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，则电风扇转动的角速度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】小碎片脱离扇叶后做平抛运动，脱离到落地的水平位移为做平抛运动的时间为故脱离扇叶时的角速度为D正确。故选D。34.如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过后又恰好垂直与倾角为的斜面相碰。已知半圆形管道的半径，小球可看作质点且其质量为，g取。则（）A.小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力的大小是B.小球经过管道的B点时，受到上管道的作用力的大小是C.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是D.小球在斜面上的相碰点C与B点的竖直距离是【答案】A【解析】【详解】AB．小球到达斜面时竖直分速度为因为小球垂直撞在斜面上，则解得小球经过B点的速度在B点，根据牛顿第二定律得解得轨道对小球的作用力可知轨道对小球的作用力方向向上，大小为1N，即小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力的大小是，故A正确，B错误；C．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为故C错误；D．小球在斜面上的相碰点C与B点的竖直距离为故D错误。故选A。35.如图所示，水平放置的正方形光滑木板abcd，边长为2L，距地面的高度为，木板正中间有一个光滑的小孔O，一根长为2L的细线穿过小孔，两端分别系着两个完全相同的小球A、B，两小球在同一竖直平面内。小球A以角速度在木板上绕O点沿逆时针方向做匀速圆周运动时，B也在水平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，O点正好是细线的中点，其中，不计空气阻力，取.求：（1）小球B的角速度；（2）当小球A、B的速度方向均平行于木板ad边时，剪断细线，两小球落地点之间的距离。【答案】（1）2.5rad/s；（2）【解析】【详解】（1）A和B的圆周运动半径分别为其中θ为BO线与竖直方向的夹角，设绳子拉力为T，则对A有对B有

解得（2）当剪断细绳后，A先匀速运动L，后做平抛运动；B做平抛运动，A做圆周运动的线速度为B做圆周运动的线速度为半径为做平抛运动过程中A的水平位移为做平抛运动过程中B的水平位移为如图为A、B两小球在轨迹的俯视图可知（其中包含A在正方向abcd上做的距离为L的匀速直线运动）知A、B落地点间距利用向心力演示仪探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。1．实验器材—向心力演示仪当转动手柄1时，变速塔轮2和3就随之转动，放在长滑槽4和短滑槽5中的球A和B都随之做圆周运动。球由于惯性而滚到横臂的两个短臂挡板6处，短臂挡板就推压球，给球提供了做圆周运动所需的向心力。由于杠杆作用，短臂向外时，长臂就压缩塔轮转轴上的测力部分的弹簧，使测力部分套管7上方露出标尺8的格数，便显示出了两球所需向心力之比。2．实验方法—控制变量法（1）使两物体的质量、转动的半径相同，探究向心力的大小跟转动的角速度的定量关系。（2）使两物体的质量、转动的角速度相同，探究向心力的大小跟转动的半径的定量关系。（3）使两物体的转动半径、转动的角速度相同，探究向心力的大小跟物体质量的定量关系。3．实验过程（1）把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不一样，探究向心力的大小与角速度的关系。（2）保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径，调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同，探究向心力的大小与半径的关系。（3）换成质量不同的小球，使两个小球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同，探究向心力的大小与质量的关系。（4）重复几次以上实验。4．实验数据的处理和结论（1）图像法处理实验数据分别作出Fn－ω2、Fn－r、Fn－m的图像，分析向心力与角速度、半径、质量之间的关系。（2）实验结论根据控制变量法制作表格，根据实验结果填写表格如下相同的物理量不同的物理量实验结论1m、rωω越大，F越大，F∝ω22m、ωrr越大，F越大，F∝r3r、ωmm越大，F越大，F∝m公式F=mω2r【例题】36.如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置。转动手柄，可使两侧变速塔轮以及长槽和短槽随之匀速转动。皮带分别套在左右两塔轮上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以各自的角速度做匀速圆周运动，其向心力由挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。那么：（1）下列实验的实验方法与本实验相同的是___________。A．验证力的平行四边形定则B．验证牛顿第二定律C．伽利略对自由落体研究（2）若长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A到转轴距离的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。探究向心力和角速度的关系时，若将传动皮带套在两半径之比等于2：1的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板___________和挡板___________处（选填“A”、“B”或“C”），则标尺露出红白相间的等分格数的比值约为___________。若仅改变皮带位置，通过对比皮带位置轮盘半径之比和向心力大小之比，可以发现向心力F与___________成正比。（3）为了能探究向心力大小的各种影响因素，左右两侧塔轮___________（选填“需要”或“不需要”）设置半径相同的轮盘。（4）利用传感器升级实验装置，用力传感器测压力F，用光电计时器测周期进行定量探究。某同学多次改变转速后，记录一组力与对应周期数据，他用图像法来处理数据，结果画出了如图所示的图像，该图线是一条过原点的直线，请你分析他的图像横坐标x表示的物理量是___________。A．TB．C．T2D．【答案】①.B②.A③.C④.1：4⑤.角速度的平方⑥.需要⑦.D【解析】【详解】（1）[1]本实验所用的研究方法是控制变量法，与验证牛顿第二定律实验的实验方法相同。故选B。（2）[2][3][4]若探究向心力和角速度的关系时，则要保持质量和半径不变，即要将质量相同的小球分别放在挡板A和挡板C上。若将传动皮带套在两半径之比等于2：1的轮盘上，因两轮盘边缘的线速度相同，则角速度之比为1：2

，则向心力之比为1：4，则标尺露出红白相间的等分格数的比值约为1：4。[5]若仅改变皮带位置，通过对比皮带位置轮盘半径之比和向心力大小之比，可以发现向心力F与角速度的平方成正比。（3）[6]为了能探究向心力大小的各种影响因素，因为要研究角速度一定时向心力与质量或半径的关系，则左右两侧塔轮需要设置半径相同的轮盘。（4）[7]根据纵标表示向心力F，则图像横坐标x表示的物理量是T2。故选D。37.如图所示为研学小组的同学们用圆锥摆验证向心力表达式的实验情景。将一轻细线上端固定在铁架台上，下端悬挂一个质量为m的小球，将画有几个同心圆周的白纸置于悬点下方的水平平台上，调节细线的长度使小球自然下垂静止时恰好位于圆心处。手带动小球运动使它在放手后恰能在纸面上方沿某个画好的圆周做匀速圆周运动。调节平台的高度，使纸面贴近小球但不接触。（1）若忽略小球运动中受到的阻力，在具体的计算中可将小球视为质点，重力加速度为g；①从受力情况看，小球做匀速圆周运动所受的向心力是____________（选填选项前的字母）；A．小球所受绳子的拉力B．小球所受的重力C．小球所受拉力和重力的合力②在某次实验中，小球沿半径为r的圆做匀速圆周运动，用秒表记录了小球运动n圈的总时间t，则小球做此圆周运动的向心力大小____________（用m、n、t、r及相关的常量表示）。用刻度尺测得细线上端悬挂点到画有圆周纸面的竖直高度为h，那么对小球进行受力分析可知，小球做此圆周运动所受的合力大小____________（用m、h、r及相关的常量表示）；③保持n的取值不变，改变h和r进行多次实验，可获取不同时间t。研学小组的同学们想用图像来处理多组实验数据，进而验证小球在做匀速圆周运动过程中，小球所受的合力F与向心力大小相等。为了直观，应合理选择坐标轴的相关变量，使待验证关系是线性关系。为此不同的组员尝试选择了不同变量并预测猜想了如图所示的图像，若小球所受的合力F与向心力大小相等，则这些图像中合理的是__________（选填选项的字母）；A．B．C．D．（2）考虑到实验的环境、测量条件等实际因素，对于这个实验的操作，下列说法中正确的是_________（选填选项前的字母）；A．相同体积的小球，选择密度大一些的球可以减小空气阻力对实验的影响B．相同质量的小球，选择体积小一些的球有利于确定其圆周运动的半径C．测量多个周期的总时间再求周期的平均值，有利于减小周期测量的偶然误差D．在这个实验中必须测量出小球的质量【答案】①.C②.③.④.B⑤.ABC【解析】【详解】（1）①[1]小球在运动过程中受到重力和绳子的拉力，重力和绳子的拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力。

故选C。②[2]小球做圆周运动的周期为根据向心力公式可知联立可得[3]令绳子和竖直方向的夹角为θ，根据三角形定则可知，小球的合力大小为③[4]由上可知解得所以t2和h成正比。故选B。（2）[5]A．相同体积的小球，选择密度大一些的球，质量可以大一些，重力相较于阻力可以更大一些，可以减小空气阻力对实验的影响，故A正确；B．相同质量的小球，选择体积小一些的球越近似可以看作一个几何点，越有利于在平面上的纸面上确定其位置，有利于确定其圆周运动的半径，故B正确；C．测量多个周期的总时间再求周期的平均值，有利于减小周期测量的偶然误差，故C正确；D．实验中只需要确保质量不变即可探究向心力表达式，不需要测量质量，故D错误。故选ABC。【练习题】38.探究向心力大小F与小球质量m、角速度和半径r之间关系的实验装置如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动。皮带分别套在塔轮的圆盘上，可使两个槽内的小球分别以不同角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂的挡板提供，同时，小球对挡板的弹力使弹簧测力筒下降，从而露出测力筒内的标尺，标尺上露出的红白相间的等分格数之比即为两个小球所受向心力的比值。已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为。（1）在这个实验中，利用了___________（填“理想实验法”“等效替代法”或“控制变量法”）来探究向心力的大小与小球质量m、角速度和半