人教A版高中数学必修4课时作业1-4-2第1课时正弦余弦函数的周期性与奇偶性

课时分层作业(九)(建议用时：60分钟)一、选择题1．函数f(x)＝x＋sinx，x∈R()A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数A[函数y＝x为奇函数且y＝sinx也是奇函数，故f(x)＝x＋sinx，x∈R是奇函数．]2．下列函数中最小正周期为π的偶函数是()A．y＝sineq\f(x,2) B．y＝coseq\f(x,2)C．y＝cosx D．y＝cos2xD[A中函数是奇函数，B、C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．]3．函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的最小正周期为eq\f(π,5)，其中ω＞0，则ω等于()A．5 B．10C．15 D．20B[由已知得eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(π,5)，又ω＞0，所以eq\f(2π,ω)＝eq\f(π,5)，ω＝10.]4．函数y＝－xcosx的部分图象是下图中的()ABCDD[y＝cosx为偶函数，y＝x为奇函数，∴y＝－xcosx为奇函数，排除A、C，又x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时cosx＞0，x＞0，∴y＜0，故排除B，选D.]5．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝1，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))的值为()A．1 B．－1C．0 D．2B[由已知得f(x＋π)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－π))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－1.]二、填空题6．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；②存在φ，使f(x)是偶函数；③存在φ，使f(x)是奇函数；④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．其中错误的是(填序号)．①④[φ＝0时，f(x)＝sinx，是奇函数，φ＝eq\f(π,2)时，f(x)＝cosx是偶函数．]7．若函数f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为．6[T＝eq\f(2π,ω)，1＜eq\f(2π,ω)＜4，则eq\f(π,2)＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.]8．函数y＝sinx的图象关于原点对称，观察正弦曲线的形状，结合正弦函数的周期性可知，正弦曲线的对称中心为．(kπ，0)(k∈Z)[∵y＝sinx是奇函数，∴(0,0)是其对称中心，又正弦函数的周期为2kπ，结合正弦曲线可知，对称中心为(kπ，0)(k∈Z)．]三、解答题9．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))cos(π＋x)；(2)f(x)＝eq\r(1＋sinx)＋eq\r(1－sinx).[解](1)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))cos(π＋x)＝－sin2x·(－cosx)＝sin2xcosx.∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin2xcosx＝－f(x)．∴该函数f(x)是奇函数．(2)对任意x∈R，－1≤sinx≤1，∴1＋sinx≥0,1－sinx≥0.∴f(x)＝eq\r(1＋sinx)＋eq\r(1－sinx)的定义域为R.∵f(－x)＝eq\r(1＋sin－x)＋eq\r(1－sin－x)＝eq\r(1－sinx)＋eq\r(1＋sinx)＝f(x)，∴该函数是偶函数．10．已知函数y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．[解](1)y＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(1,2)|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，x∈[2kπ，2kπ＋π]k∈Z，,0，x∈[2kπ－π，2kπ]k∈Z，))图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.1．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的选项有()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))C．y＝tan2x D．y＝|sinx＋cosx|ABD[由于函数sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))的周期是eq\f(2π,2)＝π，故A正确；由于函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝－sin2x，它最小正周期为eq\f(2π,2)＝π，故B正确；由于函数y＝tan2x最小正周期为eq\f(π,2)，故C错误，由于y＝|sin(x＋π)＋cos(x＋π)|＝|sinx＋cosx|，函数的周期是π，故D正确，故选ABD.]2．设函数f(x)＝sineq\f(π,3)x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝()A.eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(\r(3),2)C．0 D.eq\r(3)D[∵f(x)＝sineq\f(π,3)x的周期T＝eq\f(2π,\f(π,3))＝6，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2017)＋f(2018)＝336eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)＋sin\f(2,3)π＋sinπ＋sin\f(4,3)π＋sin\f(5,3)π＋sin2π))＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)＝336×0＋f(1)＋f(2)＝sineq\f(π,3)＋sineq\f(2,3)π＝eq\r(3).]3．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))[∵f(x)是(－3,3)上的奇函数，∴g(x)＝f(x)·cosx是(－3,3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪(0,1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3)).]4．设f(x)是定义域为R，最小正周期为eq\f(3π,2)的函数，若f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx，－\f(π,2)≤x≤0，,sinx，0＜x≤π，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))的值等于．eq\f(\r(,2),2)[因为函数f(x)的周期为eq\f(3π,2)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,4)π))＝feq\b\lc\(