天津市河东区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页天津市河东区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法正确的是（

）A．“若a是实数，则”是必然事件B．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件C．“天津市明天降雨的概率为”，表示天津市明天一定降雨D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次2．一元二次方程根的判别式的值是（

）A．33 B．23 C．17 D．3．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．4．我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（

）．A．

B．

C．

D．

5．对于抛物线，下列说法错误的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线C．时，随的增大而减小 D．，函数有最小值6．如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（）A．4 B．5 C． D．7．一个扇形的弧长是，面积为，则其半径为（

）A．6 B．36 C．12 D．1448．某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为（

）A． B． C． D．9．已知点都在函数的图象上，则（

）A． B． C． D．10．如图，已知点P是外一点，用直尺和圆规过点P作一条直线，使它与相切于点M．下面是琪琪给出的两种作法：作法Ⅰ：如图1，作线段的垂直平分线交于点G；以点G为圆心，长为半径画弧交于点M，作直线．直线即为所求．作法Ⅱ：如图2，连接，交于点B，作直径，以O为圆心，长为半径作弧；以P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，交于点M，作直线．直线即为所求．对于琪琪的两种作法，下列说法正确的是（

）A．两种作法都正确 B．两种作法都错误C．作法Ⅰ正确，作法Ⅱ错误 D．作法Ⅱ正确，作法Ⅰ错误11．如图，点E是正方形的边上一点，将绕着顶点A逆时针旋转，得，连接，若P为的中点，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．12．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点，是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④二、填空题13．一个不透明的袋子里装有2个绿球、3个黑球和6个红球，它们除颜色外其余相同，从袋中任意摸出一个球为绿球的概率为．14．若方程的一个根是，则另一个根是．15．已知一元二次方程的两根为，，则．16．抛物线与x轴只有一个公共点，则c的值为17．如图，矩形中，，，为边上一动点，以为边构造等边（点位于下方），连接，则

①当时，；②点在运动的过程中，的最小值为．三、解答题18．解方程：(1)(2)19．如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形；(2)在图②中，在四边形的边上找一点N，连结，使．20．从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为2，5，6，8．将这四张牌背面朝上，洗匀．(1)从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是；(2)小明从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回．背面朝上，洗匀．然后，小华从中随机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率．21．已知正方形的边长为2，O为原点．(1)如图①，若点B在y轴上，求点A的坐标；(2)如图②，将图①中的正方形绕点O逆时针旋转时，求点B的坐标．22．已知是的直径，弦于点E，连接．(1)如图①，若，，求的长；(2)如图②，G是弧上一点，的延长线交于点F，若，求的度数．23．落实五育并举，加强劳动教育．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜成本为50元/．乙种蔬菜的种植成本与其种植面积之间的关系如下图所示．设乙种蔬菜种植成本为y（元/），乙种蔬菜的植面积为x（）（其中）．

(1)根据题意，填写下表：种植面积x（）乙种蔬菜种植成本y（元/）①②③(2)设年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？24．已知四边形是菱形，，，点E、F分别为射线上的动点，且．

(1)如图①，当点E是线段的中点时，求的长度；(2)将从图①的位置开始，绕点A顺时针旋转．①如图②，当时，证明：；②如图③，当时，直接写出点F到的距离．25．在二次函数中，(1)若它的图象过点，则t的值为多少？(2)当时，y的最小值为，求出t的值：(3)如果都在这个二次函数的图象上，且，求m的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【分析】根据事件的分类和概率的意义进行解答即可，此题考查了事件的分类、概率的意义，熟练掌握事件的分类、概率的意义是解题的关键．【详解】解：A．“若a是实数，则”是必然事件，故选项正确，符合题意；B．成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故选项错误，不符合题意；C．“天津市明天降雨的概率为”，天津市明天不一定降雨，故选项错误，不符合题意；D．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次不一定中奖1次，故选项错误，不符合题意．故选：A．2．C【分析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案．【详解】解：∵，，，∴．故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键．3．A【分析】关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标．【详解】点关于原点对称的点的坐标为；故选：A．【点睛】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的坐标特征是关键．4．D【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；D.是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．5．C【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．【详解】解：∵，∴抛物线开口向上，故A选项正确，不符合题意；∵抛物线，∴对称轴是直线，故B选项正确，不符合题意；C、时，随的增大而增大，故C选项错误，符合题意；D、，函数有最小值，故D选项正确，不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．6．D【分析】根据圆周角定理得出，，求出，根据含度角的直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出即可．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，熟练应用圆周角定理是解此题的关键．7．C【分析】根据代入计算即可．【详解】∵，弧长是，面积为，∴，解得，故选C．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积与弧长的关系是解题的关键．8．A【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，关于降价百分比的问题：若原数是a，每次降价的百分率为x，则第一次降价后为；第二次降价后为，即：原数降价的百分率降低后的售价．【详解】解：设平均每次降价的百分率为为，则，解得：，（舍去），故选A．9．A【分析】根据函数的解析式求出函数图象的对称轴，开口向上，当时，随的增大而减小，再结合横坐标可得结果．【详解】解：，函数图象的对称轴是直线，图象的开口向上，当时，随的增大而减小，，，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．10．A【分析】根据切线的判定定理逐个判断即可．【详解】作法Ⅰ：连接、∵线段的垂直平分线交于点G∴,∵以点G为圆心，长为半径画弧交于点M，∴点在上，且为直径∴∴直线与相切；作法Ⅱ：∵以O为圆心，长为半径作弧∴，∵以P为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，∴∴∴直线与相切；综上所述，两种作法都正确；故选：A．【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．D【分析】在直角中，根据“度角所对的直角边等于斜边的一半”进行判断B；根据旋转的性质推即可得即可判断D，点A、P、D、F在以为直径的圆上，所以由圆周角定理进行证明，即可判断C；利用反证法．推知点P在对角线上，所以通过旋转的角度、正方形的性质来证明线段与不平行，即可判断A．【详解】解：连接，如图所示：∵将绕着顶点A逆时针旋转，得，∴，∴，∴C、D、F在一条直线上，∵，∴当时，，即不一定等于，故选项B不正确；∵将绕着顶点A逆时针旋转，得，∴，，∴，即是等腰直角三角形，故选项D正确；∵P为的中点，，∴，∵，∴点A、P、D、F在以为直径的圆上，∴，即，但无法证明，∴不成立，故C选项错误；∵是等腰直角三角形，∴，又∵点A、P、D、F在以为直径的圆上，∴，即，连接交于点O，如图所示，∵，∴点P在正方形的对角线上，假设，∵，∴，∴，即，又∵，∴与重合，这与已知图形相矛盾，∴与不平行，故选项A错误；故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、含30度直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，解题的关键是掌握相关性质．12．C【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．【详解】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，∴A，B关于原点对称，∴m＝4，n＝﹣1，∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得，∴，∴①②正确，符合题意，∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，∴，∴，∴﹣1＜a＜0，∴④正确，符合题意，∵a+c＝0，∴c＝﹣a，0＜c＜1，当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，∵﹣1＜a＜0，∴﹣a＞0，∴a+b+c＝2﹣a＞2＞0，③错误，不符合题意．综上所述，结论正确的是①②④．故选：C．【点睛】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“黄金函数”，“黄金点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．13．【分析】从袋子里任意摸一个球有种等可能的结果，其中是绿球的有种，根据简单概率公式代值求解即可得到答案．本题考查概率问题，弄清总的结果数及符合要求的结果数，熟记简单概率公式求解是解决问题的关键．【详解】解：由题意可知，从袋子里任意摸一个球有种等可能的结果，其中是绿球的有种，（任意摸出一个球为绿球），故答案为：．14．-2【分析】设方程的另一个根是α，根据根与系数的关系可得0+α=-2，由此即可解答.【详解】∵方程x2+2x-k=0的一个根是0，设另一个根是α，则0+α=-2，∴α=-2.故答案为-2.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=，x1•x2=．15．2【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵一元二次方程的两根为∴，故答案为：2．16．/0.25【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系进行解答即可．【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数中，，二次函数图像与轴有两个交点；，二次函数图像与轴有一个交点；，二次函数图像与轴没有交点，是解本题的关键．17．45【分析】如图所示，连接交于O，连接，由矩形的性质可得，，利用勾股定理求出，进而得到，证明是等边三角形，得到，则，再证明，得到，则；当时，则，，可求出，则，由此可得；由，可得点F在直线上运动（直线与的夹角为30度），故当时，有最小值，则此时．【详解】解：如图所示，连接交于O，连接，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴；当时，则，，∴，，又∵，∴，∴，∴；∵，∴点F在直线上运动（直线与的夹角为30度），∴当时，有最小值，∴此时，故答案为：45；．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．18．(1)，(2)，【分析】（1）因式分解法解方程即可；（2）公式法解方程即可．【详解】（1）解：，∴，∴或，∴，；（2），∴，∴，∴，．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．19．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用网格特征连接，并延长，即可作以点为对称中心的平行四边形；（2）取格点，，，连接，，，与交于点，连接并延长交于点即可．【详解】（1）如图①中，平行四边形即为所求；（2）如图②中，点即为所求．如图所示，找到格点，连接，，，∴，∴是等腰直角三角形，，找到格点，则是矩形，∴是的中点，连接，并延长交线段于点N，则垂直平分，∴平分，即．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．20．(1)(2)列表详见解析；【分析】本题考查概率的应用，列表法或画树状图法求概率，能够通过列表或画树状图列出所有等可能的情况是解题的关键．（1）利用概率公式直接计算即可；（2）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，利用概率公式计算即可．【详解】（1）解：∵共有四张扑克牌，分别是2，5，6，8，其中偶数有3张，∴从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是．故答案为：；（2）解：列表如下：小明小华25682（2，2）（5，2）（6，2）（8，2）5（2，5）（5，5）（6，5）（8，5）6（2，6）（5，6）（6，6）（8，6）8（2，6）（5，8）（6，8）（8，8）一共有16种等可能的情况，其中小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的有6种，则小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率是．21．(1)(2)【分析】（1）连接交于点F，根据正方形的性质求出，即可得到答案；（2）过点B作轴于点E，则，连接，根据旋转的性质得到，则，由勾股定理得到，即可得到点B的坐标．【详解】（1）解：连接交于点F，∵四边形是正方形，正方形的边长为2，∴，与互相垂直平分，∴，∴点A的坐标是；（2）过点B作轴于点E，则，连接，∵将图①中的正方形绕点O逆时针旋转，∴，∴，∴，∴点B的坐标为．【点睛】本题主要考查了旋转变换、正方形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形．22．(1)(2)【分析】（1）连接，证明是等边三角形，则，由垂径定理得到，，根据得到，即可得到的长；（2）连接，由是的直径得到，则，根据圆周角定理即可得到的度数．【详解】（1）解：连接，∵，，∴是等边三角形，∴，∴弦于点E，∴，，∵，∴，∴；（2）解：连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∴．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．23．(1)见解析(2)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，最小【分析】（1）当时，待定系数法求解析式为，即，分别求当时，当时，当时的值，然后填表即可；（2）分别求当时，当时的的表达式，然后根据一次函数，二次函数的性质求最值，然后判断作答即可．【详解】（1）解：当时，设，将代入得，，解得，，∴，∴，当时，；当时，；当时，；填表如下：种植面积x（）乙种蔬菜种植成本y（元/）（2）解：当时，，∵，∴当，有最小值，最小值为，∴；当时，，∵，∴当时，有最小值，最小值为，∵，∴当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，最小．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，一次函数、二次函数解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质等知识．熟练掌握一次函数、二次函数的应用，一次函数、二次函数解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质是解题的关键．24．(1)(2)①见解析；②【分析】（1）连接，证明是等边三角形，则，点E是线段的中点，得到，．由勾股定理得到，再证明是等边三角形，即可得到的长度；（2）①连接，证明是等边三角形，进一步证明，则，再证明是等边三角形，即可得到结论；②连接，过点A作于点G，则，证明是等腰直角三角形，则，证明，则