第2讲 全称量词与存在量词、充要条件（原卷版）

第2讲全称量词与存在量词、充要条件基础知识1.全称量词与存在量词(1)一般地,“”“”“”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“”表示.

(2)“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“”表示.

(3)含有一个量词的命题的否定:全称量词命题p:∀x∈M,p(x),它的否定是.

存在量词命题q:∃x∈M,q(x),它的否定是.

2.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的条件,q是p的条件

p是q的条件

p⇒q且q⇒/pp是q的条件

p⇒/q且q⇒pp是q的条件

p⇔qp是q的条件

p⇒/q且q⇒/p常用结论1.充要条件的两个结论:(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;(2)若p是q的充分不必要条件,则¬q是¬p的充分不必要条件.2.充分、必要条件与集合的关系使p成立的对象构成的集合为A,使q成立的对象构成的集合为Bp是q的充分条件A⊆Bp是q的必要条件B⊆Ap是q的充分不必要条件A⫋Bp是q的必要不充分条件B⫋Ap是q的充要条件A=B分类训练探究点一全称量词与存在量词角度1全称量词命题与存在量词命题的真假判断例1(1)(多选题)[2020·重庆模拟]下列命题为真命题的是 ()A.∀x∈R,3x>1 B.∀x>1,2x+1C.∃x∈R,cosx=0 D.∃x∈R,lgx>1(2)[2020·海口模拟]能够说明“∀x∈N*,2x≥x2”是假命题的一个x的值为.

[总结反思]全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法:命题名称真假判断方法一判断方法二全称量词命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真存在量词命题真存在一个对象使命题为真否定为假角度2含有一个量词的命题的否定例2(1)[2020·淄博一模]设m∈R,命题“存在m>0,使方程x2+x-m=0有实根”的否定是 ()A.对任意m>0,方程x2+x-m=0无实根B.对任意m≤0,方程x2+x-m=0有实根C.存在m>0,使方程x2+x-m=0无实根D.存在m≤0,使方程x2+x-m=0有实根(2)命题“∀n∈N,f(n)∉N且f(n)≤n”的否定是()A.∀n∈N,f(n)∈N且f(n)≤nB.∀n∈N,f(n)∉N且f(n)>nC.∃n∈N,f(n)∈N或f(n)>nD.∃n∈N,f(n)∈N且f(n)>n(3)命题“实数的平方都是正数”的否定是.

[总结反思]全称量词命题与存在量词命题的否定:①改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写.②否定结论:对原命题的结论进行否定.探究点二根据命题的真假求参数的取值范围例3(1)[2020·新余模拟]已知命题p:“∃x∈R,ax2+x+1≤0”是假命题,则a的取值范围为 ()A.a<14 B.a≥C.a>14 D.a>14或(2)[2020·安徽六安一中月考]若存在x∈1e,e,使不等式2xlnx+x2-mx+3≤0成立,则实数m的最小值为.

[总结反思]根据命题的真假求参数的一般步骤:(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;(3)根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.变式题(1)[2020·衡阳一模]若“∃x∈R,sinx-3cosx=a”为真命题,则实数a的取值范围是 ()A.[-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)(2)[2020·云南师大附中月考]命题“∀x∈(0,+∞),x2-2x-m≥0”为真命题,则实数m的最大值为.

探究点三充分、必要条件的判定1.[2020·天津卷]设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.[2020·南昌三模]“k=1”是“函数f(x)=ex-keA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的 ()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件[总结反思]充分条件、必要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同的类型:定义法适用于定义、定理的判断问题;集合法多适用于命题中涉及参数的取值范围的推断问题;等价转化法适用于条件和结论中带有否定性词语的命题.探究点四充分、必要条件的应用例4(1)[2019·全国卷Ⅱ]设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 ()A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面(2)[2020·衡阳三模]设条件p:|2x+3|<1,条件q:x2-(2a+2)x+a(a+2)≤0,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.

[总结反思]充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.解题过程中要注意检验区间的端点值.变式题(1)(多选题)[2020·烟台模拟]“关于x的不等式x2-2ax+a>0对任意x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是 ()A.0<a<1 B.0≤a≤1C.0<a<12 D.a(2)已知“x>k”是“3x+1<1”的充分不必要条件,则k的取值范围为 (A.(-∞,1] B.[1,+∞)C.[2,+∞) D.(2,+∞)同步作业1.[2020·开封二模]已知p:∀x>0,x-1x≥0,则¬p为 (A.∃x>0,x-1x<B.∃x≤0,x-1x<C.∀x>0,x-1x<D.∀x≤0,x-1x2.下列命题中为假命题的是 ()A.∃x∈R,lnx<0B.∀x∈(-∞,0),ex>0C.∀x>0,5x>3xD.∃x∈(0,+∞),12x<13x3.[2020·安徽淮北一中月考]已知非零向量a,b满足|a|=|b|,则“|a+2b|=|2a-b|”是“a⊥b”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知a,b都是实数,那么“a>b”是“lna>lnb”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.对于常数m,n,“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”是“mn>0”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设n∈N*,则一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=.

7.[2020·浙江杭州二中模拟]在△ABC中,“cosA<cosB”是“tanA>tanB”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件8.[2020·广东茂名模拟]已知p:∃x∈[0,+∞),a<12x+1,若p为真命题,则实数a的取值范围为 ()A.(-∞,2) B.(2,+∞)C.(-2,2) D.[-2,2]9.[2020·绵阳南山中学模拟]若|x-a|<1成立的充分不必要条件是1<x<32,则a的取值范围是 (A.12<a<2 B.12≤C.a≤12或a≥2 D.a<12或10.[2020·南昌一模]已知r>0,x,y∈R,p:|x|+|y|2≤1,q:x2+y2≤r2,若p是q的必要不充分条件,则实数r的取值范围是A.0,255 B.(0,1]C.255,+∞ D.[2,+∞)11.(多选题)[2020·登州模拟]下列命题中是真命题的是 ()A.∃x∈R,x-2>lnxB.∀x,y∈R,x2+y2>2x-2y-3C.命题“∀x>0,x2+x>0”的否定是“∃x>0,x2+x≤0”D.“-2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0无实根”的充分不必要条件12.(多选题)[2020·青岛模拟]下面四个说法中正确的是 ()A.“直线a∥直线b”的充要条件是“直线a平行于直线b所在的平面”B.“直线l垂直于平面α内的所有直线”的充要条件是“直线l⊥平面α”C.“直线a,b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a,b不相交”D.“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线的三点到β的距离相等”13.(多选题)[2020·泰州模拟]定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)<f(x),则不等式exf(2x)<e4f(3x-4)成立的一个充分不必要条件是 ()A.-1<x<2 B.2<x<5C.4<x<7 D.