2023中考数学练习 07 五大最值问题模型（学生版+解析版）

专题07五大最值问题模型

一、【知识回顾】

(1)将军饮马模型:

①一定两动

(2)费马点模型：(如图：求PA+PB+PC最小值，图3CD为所求最小值)

(3)阿氏圆模型：

如图，点P是GQ上的一个动点，求尸4+的最小值.

①连接OPOB,计算嚣=m(一般情况下)

:②≡蟒上找一点C,使得黑=嚣=m

/

B、、飞&、③连接PC,贝!J维=m,即PC=mPB

C^-D

B

④连接4C,即为所求的最小值

（4）胡不归模型:

［模型建立】如图，一动点P在直线MV外的运动速度为在直线MNI：运动的速度为F2，FlΠ<P2,

A.B为定点，点,C在直线MN1:.确定点C的位置使江+空的值最小.I

匕乂

［问题分析］—+—=1［BC+^-^CL记*=匕∙，即求BC+⅛⅛C的最小值.

v

V1IJ匕----

【问题解次】构造射线4。使得SinNzUΛMR,即匚”=彳，CH=kAC.

3

m-

M--------------------/--------------N

CH

Sina=---=k、、

AC、、、D

、

'、、D

CH=kAC、

将问题转化为求BOCH最小值,过B点作BHLAD交于点、C,交4D千H点,此时BC+CH取到最小

值，即BC+⅛⅜C最小.

（5）隐圆最值模型：

①四点共圆：②动点到定点等定长：

OIi

③直角所对的是直径：

D

“邑rB彳「一----

、/

、一」

④定弦对定角:

定弦对定角（锐角）定弦对定角（钝角）

二、【考点类型】

考点1：将军饮马模型

典例1:（2022春•全国•九年级期末）如图，回。是血18C的外接圆，为直径，弦/。平分鲂/C,过点。作

射线NC的垂线，垂足为M,点E为线段/8上的动点.

⑴求证：MD是团。的切线；

（2）若回8=30。，4B=8,在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在,

说明理由；

⑶若点E恰好运动到a4C8的角平分线上，连接CE并延长，交团。于点尸，交ZO于点P,连接Z尸，CP=3,

EF=4,求/厂的长.

【变式1】(2023春•八年级课时练习)如图，在等边A3C中，AC于O,AE>=3cm.点AQ分别为

AB,AA上的两个定点且BP=A0=1cm,点M为线段5。上一动点，连接PM,QM,则PM+QM的最小值

【变式2】(2023春•山东青岛•九年级专题练习)如图，点P是/498内任意一点，OP=3cm,点M和点N

分别是射线。4和射线。8上的动点，/408=30。，则,PMN周长的最小值是

【变式31(2022春•贵州铜仁•八年级统考期末)如图，已知一次函数y=⅛r+6的图像经过“(1,4),B(4,

1)两点，并且交X轴于点C,交y轴于点力.

⑴求该一次函数的表达式；

(2)若夕轴存在一点P使PA+PB的值最小，求此时点P的坐标及PA+PB的最小值；

⑶在X轴上是否存在一点使0Λ∕Q1的面积等于EWo8的面积；若存在请直接写出点A/的坐标，若不存在

请说明理由.

考点2：费马点模型

典例2：（2021秋•四川成都•九年级成都实外校考阶段练习）如图，在.ABC中，ZCAB=90o,AB=AC=I,

P是ABC内一点，求A4+PB+PC的最小值为.

【变式1］（2022秋•全国•九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点,

AB=2√2;

（1）如图1,将AADE绕点D逆时针旋转90。得到ADCF,连接EF；

①把图形补充完整（无需写画法）；②求E尸的取值范围；

（2）如图2,求BE+AE+DE的最小值.

【变式2](2022春♦全国•九年级专题练习)如图，正方形ABa)的边长为4,点P是正方形内部一点，求

PA+2PB+芯Pe的最小值.

【变式3](2022春•江苏•九年级期末)如图，在平面直角坐标系Xoy中，点B的坐标为(0,2),点。在X轴

的正半轴上，Na>8=30。，OE为回Be)D的中线，过B、E两点的抛物线y=ɑ?+走声,与X轴相交于A、

(2)等边回OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及40的长：

(3)点户为WAB。内的一个动点，设帆=PA+P8+PO,请直接写出加的最小值,以及m取得最小值时，线

段AP的长.

考点3：阿氏圆模型

典例3：（2023春•江苏•九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCe）的边长为4,B的半径为2,P为：B上

的动点，则-JlPC-PD的最大值是.

【变式1］（2022春•江苏•九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为回O,尸是回。上一动点,

则√2PA+PB的最小值为

【变式2］（2023秋•重庆九龙坡•九年级重庆市育才中学校考期末）已知CDE与二ΛBC有公共顶点C,CDE

为等边三角形，在ABC中，NBAC=I20。.

（1）如图1,当点E与点8重合时，连接己知四边形48。C的面积为2√5,求AB+AC的值;

⑵如图2,AB=AC,4E、。三点共线，连接AE、BE,取BE中点"，连接A”,求证：AD=IAM

(3)如图3,AB=AC=4,CE=2,将..CDE以C为旋转中心旋转，取OE中点尸，当BF+巫AF的值最小

4

时，求tanNABF的值.

【变式3](2021•全国•九年级专题练习)如图1,在R70/8C中，0ACB=9Q∙>,CB=4,CA=6,圆C的半

2

@2AP+BP,

③3尸+80，

④AP+3BP的最小值.

考点4：胡不归模型

典例4：（2023秋•四川乐山•九年级统考期末）如图，在一45C中，NBAC=90。,NB=60。,AB=4,若。是BC

边上的动点，则2AD+DC的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

【变式1】（2022春・全国•九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=χ2-Zt+c的图象与X

轴交于“、C两点，与y轴交于点5（0,-3）,若P是X轴上一动点，点。（0,1）在y轴上，连接尸。，

则&PD+PC的最小值是（）

A.4B.2+2√2C.2√2D.∣+∣√2

【变式2］（2022•湖北武汉•校联考一模）如图，在ZMCE中，CA=CE,NC4£=30。，半径为5的。经过

点C,CE是圆。的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点。是线段AC上任意一点（不含端点），则

OD+^CD的最小值为.

【变式3］（2022秋・浙江•九年级专题练习）如图，四边形NBCQ是菱形，AB=S,且胡BC=60。，M为对角

线BD（不含8点）上任意一点，则的最小值为.

考点5：隐圆最值模型

典例5：（2023秋•浙江金华•九年级统考期末）如图，正方形ABCo的边长为4,点E是正方形ABCD内的动

点，点尸是BC边上的动点，ELZEAB=ZEBC.连结AE,BE,PD,PE,则Pr）+PE的最小值为（）

A.2√13-2B.4√5-2C.4√3-2D.2√15-2

【变式1】（2022•山东泰安•统考中考真题）如图，四边形ABCZ）为矩形，AB=3,BC=4.点P是线段BC

上一动点，点M为线段AP上一点.ZADM=NBAP,则BM的最小值为（）

A.-B.—C.ʌ/lʒ—D.∖∕↑3—2

252

【变式2］（2023秋•广东广州•九年级统考期末）如图，四边形438中，ABCD,AClBC,ZDAB=60,

Ar）=C£）=4,点M是四边形ABCD内的一个动点，满足NAMo=90,则MBC面积的最小值为

【变式3】（2022春•全国•九年级专题练习）SWBC中，AB=AC=5,BC=6,。是8C的中点，E为AB上一

动点，点8关于。E的对称点8'在IaJBC内（不含S48C的边上），则8E长的范围为

BDC

巩固训练

一、单选题

1.（2022秋•安徽池州•九年级统考期末）如图，RLABC中，ZC=90o,AC=4,BC=3,点P为ZC边上

的动点，过点P作PDLAB于点。，则PB+PD的最小值为（）

2.（2022秋•重庆沙坪坝•八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，E为正方形ABCl）边AO上一点,

AE=I,DE=3,P为对角线8。上一个动点，则B4+PE的最小值为（）

A.5B.4√2C.2√WD.10

3.（2022秋・浙江杭州•九年级杭州外国语学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数

y=-d+法+3的图像与X轴交于4c两点,与X轴交于点C（3,（））,若P是X轴上一动点，点。的坐标为（0,-1）,

连接P。，则√∑PQ+PC的最小值是（）

Lr~32/7；

A.4B.2+2√2C.2√2D.—+—Λ∕2

•河南•校联考三模)如图正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，

4.(20221,ABCoJE3CPAC

设AP=X,PB+PE=yf当点P从A向点C运动时，》与大的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象

的最低点，则点M的坐标是()

A.(4√2,3√5)B.(2√2,3√5)C.(3√5,2√2)D.(3√5,4√2)

5.(2022秋•河北邢台・九年级统考期末)如图，。的半径是"，尸是O上一动点，/是，。内部一点,

且Ao=石，则下列说法正确的是()

①RI的最小值为G-TL②Rl的最大值为#+G；③当NOAP=90°时，曲。是等腰直角三角形；

3

④ELR40面积最大为—.

A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④

7.(2022秋・北京海淀•九年级校考期中)如图，如图，"的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点尸是M

上的任意一点，PA±PB,PA,PB与X轴分别交于48两点，若点/、点8关于原点。对称，则AB的

A.3B.4C.5D.6

o

8.（2023春,九年级课时练习）如图，在Rz酎8C中，^ACB=90fCB=7,AC=9f以。为圆心、3为半径

作倒C,尸为EIC上一动点，连接/P、BP,则g∕P+8P的最小值为（）

A.7B.5√2C.4+√10D.2√13

3

9.（2022•福建厦门•福建省厦门集美中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=Jx-3分别与X

轴、N轴相交于点4B,点、E、F分别是正方形。ICO的边NC上的动点，且。E=4R,过原点。作

OHlEF,垂足为H,连接H4、HB,贝ILH48面积的最大值为（）

A.6+5√2B.12C.6+3后D.-ɪɪ

2

10.（2023春•全国•八年级专题练习）如图，在ΔA8C中，NA=90。，/8=60。，AB=I,若D是BC边上

的动点，则2AO+OC的最小值（）

A.2√3+6B.6C.√3+3D.4

二、填空题

11.（2022秋・山东荷泽・九年级校考阶段练习）如图，在周长为12的菱形ABa）中，DE=I,DF=2,若P

为对角线AC上一动点，则EP+FP的最小值为.

12.（2023秋•山东东营•九年级校考期末）如图，AB是回。的弦，点C在回。内，ZACB=90。,ZABC=30。，连

接OC,若回。的半径是4,则OC长的最小值为.

13.（2022春・全国•九年级专题练习）如图，在BL48C中，0C=9Oo,AC=8,AB=IO,。是ZC上一点，且

CD=3,E是8C边上一点，将团QCE沿。E折叠，使点C落在点尸处，连接"，则BF的最小值为

A

14.（2023春•全国•八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线/分别交X、夕轴于8、C两点，点/、

C的坐标分别为（3,0）、（0,-3）,且回。CB=60。，点P是直线/上一动点，连接/P,贝∣JAP+H∙PC的最小

2

值是.

15.(2022秋•浙江•九年级专题练习)如图，直线y=χ-3分别交X轴、y轴于8、/两点，点C(0,1)在

y轴上，点尸在X轴上运动，则√∑PC+P8的最小值为一.

三、解答题

16.(2023秋・江西宜春•八年级统考期末)如图，在；ABC中，AB=AC,ZR4C=120。,AB边的垂直平分线OE

交AB于点。，若AE=3,

(2)若点P是直线OE上的动点，直接写出R4+PC的最小值为

17.（2022秋•河北保定•八年级统考期末）在ABC中，?B90?,。为BC延长线上一点，点E为线段AC,

Co的垂直平分线的交点，连接E4,EC,ED.

⑴如图1,当NBAC=40。时，则NAED=°；

（2）当ZBAC=60。时，

①如图2,连接AO,判断的形状，并证明；

②如图3,直线C尸与Eo交于点F,满足NCFn=NC4£.P为直线CF上一动点.当PE-PD的值最大时,

用等式表示PE,尸D与AB之间的数量关系为，并证明.

411

18.（2022春•全国•九年级专题练习）在平面直角坐标系，41,1）,直线/：y=§x+l经过8（加片），点〃在直

4

线/上运动，求AH+gB，最小值.

19.（2021春•江苏苏州•八年级校考期中）定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1,在

RtZVlBC中，ZA=90o,AB=AC,点O、E分别在边AB、ACl.,AD^AE,连接。E、DC,点M、

P、N分别为、DC,3C的中点，且连接PM、PN.

N

图2

⑴观察猜想

线段PM与PN填（"是"或"不是"）"等垂线段

⑵VAQE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置,连接CE,试判断PM与PN是否为“等垂线段",

并说明理由.

⑶拓展延伸

把VAOE绕点A在平面内自由旋转，若DE=2,BC=4,请直接写出PM与PN的积的最大值.

20.(2022秋•山东济南•九年级山东师范大学第二附属中学校考阶段练习)如图1,抛物线

y=ax1+(a+3)x+3(αwθ)与X轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在X轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),

过点E作X轴的垂线交直线48于点N,交抛物线于点尸，过点尸作尸Am48于点

⑴求a的值和直线AB的函数表达式：

(2)设团PMN的周长为C∣,EUEN的周长为G，若"L=■!求，"的值.

⑶如图2,在(2)的条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转得到0£,旋转角为α(0o<α<90o),连接£4、

2

EB,求肥4+§£8的最小值.

21.（2022•湖南长沙•模拟预测）如图，抛物线y=*-20x-3”（α为常数，”<0）与X轴分别交于Z,B两

点（点/在点8的左侧），与夕轴交于点C,且OB=OC

⑴求α的值；

（2）点。是该抛物线的顶点，点尸（m,〃）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接8。、BC、CD、BP,

当SIPBN=I3C8。时，求机的值：

⑶点K为坐标平面内一点，OK=2,点M为线段BK的中点，连接当最大时，求点K的坐标.

22.(2022秋•江苏•九年级期中)问题情境：如图1,尸是ElO外的一点，直线Po分别交回。于点4B,则

PA是点P至幅。上的点的最短距离.

(1)探究证明：如图2,在回。上任取一点C(不与点48重合)，连接PC,OC.求证：PA<PC.

(2)直接应用：如图3,在RtEL43C中，S4C5=90o,AC=BC=3,以BC为直径的半圆交/8于。，P是

弧S上的一个动点，连接ZP,则43的最小值是.

(3)构造运用：如图4,在边长为2的菱形488中，EW=60。，M是NZ)边的中点，N是/8边上一动点，

将EWMN沿MN所在的直线翻折得到0∕bAW,连接45,则长度的最小值为.

(4)综合应用：如图5,平面直角坐标系中，分别以点/(-2,3),B(4,5)为圆心，以1,2为半径作

≡W,鲂，M,N分别是0/1,勖上的动点，尸为X轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为.

NOp

图4

23.（2021•全国•九年级专题练习）如图，EWBC中，C=45o,AB=6,∕C=4,尸为平面内一点，求

2同尸+&AP+3PC最小值

专题07五大最值问题模型

一、【知识回顾】

(1)将军饮马模型:

①一定两动

(2)费马点模型：(如图：求PA+PB+PC最小值，图3CD为所求最小值)

(3)阿氏圆模型：

如图，点P是GQ上的一个动点，求尸4+的最小值.

①连接OPOB,计算嚣=m(一般情况下)

:②≡蟒上找一点C,使得黑=嚣=m

/

B、、飞&、③连接PC,贝!J维=m,即PC=mPB

C^-D

B

④连接4C,即为所求的最小值

（4）胡不归模型:

［模型建立】如图，一动点P在直线MV外的运动速度为在直线MNI：运动的速度为F2，FlΠ<P2,

A.B为定点，点,C在直线MN1:.确定点C的位置使江+空的值最小.I

匕乂

［问题分析］—+—=1［BC+^-^CL记*=匕∙，即求BC+⅛⅛C的最小值.

v

V1IJ匕----

【问题解次】构造射线4。使得SinNzUΛMR,即匚”=彳，CH=kAC.

3

m-

M--------------------/--------------N

CH

Sina=---=k、、

AC、、、D

、

'、、D

CH=kAC、

将问题转化为求BOCH最小值,过B点作BHLAD交于点、C,交4D千H点,此时BC+CH取到最小

值，即BC+⅛⅜C最小.

（5）隐圆最值模型：

①四点共圆：②动点到定点等定长：

OIi

③直角所对的是直径：

D

“邑rB彳「一----

、/

、一」

④定弦对定角:

C

定弦对定角（锐角）定弦对定角（钝角）

二、【考点类型】

考点1：将军饮马模型

典例1:（2022春•全国•九年级期末）如图，回。是血18C的外接圆，为直径，弦/。平分鲂/C,过点。作

射线NC的垂线，垂足为M,点E为线段/8上的动点.

⑴求证：MD是团。的切线；

（2）若回8=30。，4B=8,在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在,

说明理由；

⑶若点E恰好运动到a4C8的角平分线上，连接CE并延长，交团。于点尸，交ZO于点P,连接Z尸，CP=3,

EF=4,求/厂的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）存在，£C+EN的最小值为2M，理山见解析

(3)6

【分析】（1）连接8,交BC于点M通过证明四边形CNOM为矩形得出ODLMD,利用切线的判定定

理即可得出结论.

（2）过点C作CFlAB,并延长交回。于点尸，连接交4B于点、E,连接EC,利用将军饮马模型可知

此时EC+EM的值最小，由题意可得FZ）为圆的直径，在府ΔF0M中，利用勾股定理即可求得结论.

（3）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质可以判定W为等腰三角形，证明ΔMEAFCA.,m

相似三角形的性质得出比例式，解关于AF的方程即可得出结论.

【详解】（1）解：如图，连接O。，交8C于点M

4B为直径

.-.ZACB=90°.

.∙.ZBCM=90\

弦/。平分加C,

:.CD=BD

:.0NLBe

DMɪAC,

四边形CNDM为矩形

.∙.OD±MD.

为圆的半径

加。是团。的切线

（2）解：在点E运动过程中，EC+EM存在最小值，理由如下：

过点C作CFJAB,并延长交回。于点尸，连接MR交AB于点、E,连接EC,则此时EC+£M的值最小

ZB=30°,ZACB=90°,

.∙.NC48=60".

.弦40平分I3A4C,

.∙.NCAo=NDA8=30°.

CD与BD的度数为60。

48是直径

.∙.AC=CD=BD

ABlCD,48是直径

.∙.AC=AF.

.∙.AF+AC÷CD=180o

.∙.FA。为半圆

.•.尸。为圆的直径

由（1）知：M。是团O的切线

FDlMD.

由题意得：力8垂直平分FC

.∖EC=EF.

.EC+EM=EF+EM=FM

ZCFD=NDAB,ZDAB=30°

/.ZCFD=30°.

AB=8,

,∖FD=8.

由（1）知：四边形CNOM为矩形

:.MD=NC.

ONLBC

.∖CN=-BC.

2

在RtAACB中

sinZCAB=-,

AB

n

BC=ΛB∙sin600=8×-=4√3.

2

..MD=CN=LBC=2瓜

2

在RtAFDM中

MF=yjDF2+MD2=√82+（2√3）2=2√19

∙∙∙EC+EM的最小值为M尸=2加.

M

F

（3）解：如图

“平分NAC8,ZAC3=90°,

/.ZACF=ZBCF=45°

.∙.ZBAF=ZBCF=45°

.力。平分/A4C,

ZCAD=ZBAD

ZPAF=ZBAD+/BAF,AAPF=ZACF+ZCAD,

.∙.APAF=ZAPF,

・・・AF=FP.

..FC=FP+CP=AF-h3,

.ZFAB=ZACF=45°,ZF=ZF,

/.ΔE4EAFCA.

.FAFE

'~FC~~FA'

.∙.FA2=FE∙FC=4（AF÷3）.

.∙.AF2-4AF-12=0.

解得AF=6或AF=-2（不合题意，舍去）

・•.AF=6.

【点睛】本题是一道圆的综合题，此题考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，轴对称的性

质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，连接半径OD和利

用轴对称中的将军饮马模型找出EC+EM存在最小值是解题的关键.

【变式1］（2023春•八年级课时练习）如图，在等边中，Bo_LAC于。，AO=3cm.点P,。分别为

AB,A。上的两个定点旦3P=A。=1cm,点M为线段3。上一动点，连接PM,QM,贝IJPM+QM的最小值

为cm.

A

Q

【答案】5

【分析】如图所示，作点P关于8。的对称点P',且点P'在5C上，则尸M+QM=P0W+QM,当PCM,Q

在同一条直线上时，有最小值，证明四边形PP3是平行四边形，P¢Q=AP=AB-BP,由此即可求解.

【详解】解：如图所示，作点P关于8。的对称点P',

0ABe是等边三角形，BDLAC,

12?ABD2DBC-IABC1窗60=30?,

22

回点P，在BC上，

0∕W=PM1则尸M+QM=P啊+QM,当Q在同一条直线上时，有最小值,

SI点P关于BD的对称点F,ZABD=ZDBC=30°,

0PPtZBM，BP=BPC=Icm，

SINBPP=60°,

SLBP尸是等边三角形，即？BP中2C60?，

回PPMAC,且PP¢=AQ=Icm,

团四边形PP¢QA是平行四边形，

0P0ρ=AP=AB-BP.

在RlA4BZ）中，ZABD=30°,AD=3,

13AB=2AD=2×3=6.

^AP=PTQ=PM+QM=PM+QM=AB-BP=6-1=5,

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称一最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握

等边三角形得性质，对称一最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键.

【变式2］（2023春•山东青岛•九年级专题练习）如图，点尸是NAoB内任意一点，OP=3cm,点M和点N

分别是射线。4和射线OB上的动点，ZAoB=30。，则PMN周长的最小值是.

【分析】分别作点P关于。4、OB的对称点C、D,连接CO,分别交O408于点A/、N,连接

OP,OC、OD,PM、PN,当点M、'在CD上时，PMN的周长最小.

【详解】解：分别作点P关于。4、08的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、M连接

回点P关于04的对称点为C,关于OB的对称点为D,

⑦PM=CM,OP=OC,NeOA=NPQ4；

EI点尸关于OB的对称点为，

田PN=DN,OP=OD,NDOB=NPoB*

SloC=OD=OP=3cm,NCOD=ZCOA+ZPOA+ZPOB+NDoB=IAPOA+2乙PoB=IZAOB=60°,

Ia△<:”>是等边.角形，

EIcr>=OC=Or>=3(Cm).

HPMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+ΛW+Z)N≥ɑ)=3cm.

故答案为：女m.

【点睛】本题生要考查最短路径问题和等边三角形的判定.作点P关于OA.OB的对称点C、。是解题的

关键所在.

【变式3】(2022春•贵州铜仁•八年级统考期末)如图,已知一次函数y=λx+6的图像经过4(1,4),8(4,

1)两点，并且交X轴于点C,交N轴于点∕λ

(2)若y轴存在一点P使PA+PB的值最小，求此时点P的坐标及PA+PB的最小值；

⑶在X轴上是否存在一点Λ/,使0MO4的面积等于豳。8的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在

请说明理由.

【答案】(l)y=-x+5

⑵，(吟)；扃

(3)存在,卜或

【分析】(1)把力(1,4),8(4,1)代入y=Ax+人中，求出左、b的值，即可写出一次函数的表达式.

(2)先作出41,4)关于)，轴的对称点4(-1,4),连接ZB与y轴的交点即为尸点.求出直线45的函数表达

式，即可求出尸点的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出45的长，即以+尸8的最小值.

⑶先求出血1。3的面积，再根据团MeM的面积等于HL4O8的面积列方程求出Λ/点的横坐标，即可求出M点的

坐标.

(1)

把/(1,4),5(4,1)代入y=b+b中,得

4=k+b,k=-l

1=3。解得

b=5

国一次函数的表达式为：y=-x+5;

(2)

作41,4)关于歹轴的对称点4卜1,4),连接45交y轴于尸点，连接B4,此时为+尸8的值最小，且

PA+PB=PA'+PB=A'B,

设力B的表达式为y=mx+nf则

3

m=——

4=-m+n5

，，解得

1=4加+〃17

n=一

5

团直线Z5的表达式为y=—(2χ+157，

17

当X=O时，ʃ=-

17

0P(O,—),

f22

且AB=λ∕(-l-4)+(4-l)

=y/34>

胡"P8的最小值为国;

(3)

由y=x+5得C(5,0),

国

SAAoB=SδAoC-SABOC

=J∙x5x4-Jχ5xl

22

15

~2

设MXMyM，

^SΔMOA=SΔAOB[J

15

回XM=W或%=一了，

IW（-,0）或,0）,

44

团存在一点M,使回MoA的面积等于幽。8的面积，且M点的坐标为（与，0）或（-与，0）.

44

【点睛】本题主要考查J'利用待定系数法求一次函数的表达式，求两条线段之和的最小值（即将军饮马），两

点之间距离公式，以及利用面积法求点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键.

考点2：费马点模型

典例2：（2021秋•四川成都•九年级成都实外校考阶段练习）如图，在.ABC中，ZCAB=90°,AB^AC=↑,

P是ΛSC内一点，求P4+P3+PC的最小值为.

【分析】将包4尸。绕点C顺时针旋转60°得回。"1,可得PC=PF,DF=AP,PA+PB+PC转化为FD+BP+PF,

此时当8、P、F、。四点共线时，P4+P3+PC的值最小，最小值为8。的长；根据勾股定理求解即可.

【详解】解：将EWPC绕点C顺时针旋转60°得回QFC,连接尸尸、AD.DB,过点。作。£08/1,交历I的延

长线于点E；

SiAP=DF,ISPCf=EWCP=60o,PC=FC,AC=CD,

EBPC下、12Wa＞是等边三角形，

BlPC=PF,AD=AC=I,ElZMC=60°

田PA+PB+PC=FD+BP+PF,

回当8、P、F、。四点共线时，P4+P8+PC的值最小，最小值为8。的长：

0ZC4B=9Oo,0CJZ）=6Oo,

WEAD=300,

0DE=—Λ,D=一,

22

^AE=∖∣AD2-ED2=—,

0BE=1+-,

2

0βD=√BE2+DE2="+∙,

2

0M+PB+PC的值最小值为6+3.

2

故答案为：XiM1.

2

【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将a4PC绕点C顺时针旋转60。得回。尸C,将三条线段的反转

化到一条直线上.

【变式1］（2022秋•全国•九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，

AB=2√2;

（1）如图1,将AADE绕点D逆时针旋转90。得到ADCF,连接EF；

①把图形补充完整（无需写画法）；②求E产的取值范围；

（2）如图2,求BE+AE+DE的最小值.

【答案】（1）①补图见解析；②8≤E∕2≤16;（2）2√3+2

【分析】（1）①根据要求画出图形即可；

②首先证明IaECF=90。，设AE=CF=X,EF2=y,则EC=4-x,在RtlaECF中，利用勾股定理即可解决问题；

（2）如图2中，将ElABE绕点A顺时针旋转60。得到回AFG,连接EG,DF.作FH1Σ1AD于H.根据两点之间线

段最短可得DF≤FG+EG+DE,BE=FG,推出AE+BE+DE的最小值为线段DF的长；

【详解】（1）①如图团DCF即为所求:

②回四边形ABCD是正方形，

OBC=AB=20,回B=90°,≡1DAE=EIADC=45°,

EIAC=AB-+BC-=√2AB=4，

瓯ADE绕点D逆时针旋转90。得到回DCF,

00DCF=0DAE=45o,AE=CF,

SBECF=I3ACD+I3DCF=9O°,

设AE=CF=X,EF2=y,则EC=4-x,

0y=(4-×)2+×2=2×2-8x÷160(0<×≤4).

即y=2(x-2)2+8,

02>0,

回x=2时，y有最小值，最小值为8,

当x=4时，y最大值=16,

08≤EF2≤16.

(2)如图中，将EIABE绕点A顺时针旋转60。得到ISAFG,连接EG,DF.作FH团AD于H.

由旋转的性质可知，回AEG是等边三角形，

ElAE=EG,

0DF≤FG+EG+DE,BE=FG,

0AE+BE+DE的最小值为线段DF的长.

在RtaAFH中，回FAH=30°,AB=2√2=AF,

E)FH=3AF=五，AH='AF?-FH2=瓜，

222

在RtBIDFH中，DF=y∣FH+DH=J(2√2+√6)+=2百+2,

0BE+AE+ED的最小值为2百+2.

【点睛】本题考查作图-旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学

会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考

题型.

【变式2］（2022春・全国•九年级专题练习）如图，正方形ABC。的边长为4,点P是正方形内部一点，求

PA+2PB+@C的最小值.

【答案】4√10

［分析］延长DC到H,使得C"=2BC=8,则BH=4有，在NCBH的内部作射线BJ,使得ZPBJ=NCBH,

使得BJ=小BP，连接/V,JH,AH.先证明△//炉sΔWBC,可得PJ=2PB,再证明△/>5csA75H,可

得：HJ=亚PC,从而得到PA+2PB+石尸C=PA+R∕+H∕≥A”,计算出AW的长度即可.

【详解】解：延长Z）C到“，使得CH=2BC=8,则BH=46，在NCBH的内部作射线即，使得

NPBJ=NCBH,使得BJ=小BP，连接PJ，JH,AH.

/PBJ=ZCBH,理二生=在，

BJBH5

•PBBJ

一~BC~~BH'

JBPSHBC,

:./BPJ=NBCH=90。,

2222

：.pj=√BJ-PB=y∣(y∕5PB)-PB=2PB,

「PBBC

"BC=ZJBH,—=—,

BJBH

PBCSJBH,

.PCPB

•.，='=—,

JHBJ5

；.HJ=小PC

.∙.PA+2PB+MC=PA+PJ+HJ,

PA+PJ+JHNAH,

PA+2PB+√5PC>√42+122=4√10，

.∙.PA+2P8+有PC的值最小，最小值为4√iU.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解费

马点问题，利用相似构造2依与逐PC,根据系数将图形扩大或缩小构建图形是解决问题的关犍.

【变式3](2022春•江苏•九年级期末)如图，在平面直角坐标系Xoy中，点B的坐标为(0,2),点。在X轴

的正半轴上，ZODB=30o,OE为OBOD的中线，过B、E两点的抛物线y=”小+也工+。与X轴相交于A、

(2)等边l≡OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；

(3)点P为⑦A80内的一个动点，设帆=PA+P8+PO,请直接写出W的最小值,以及，”取得最小值时，线

段AP的长.

【答案】(1)y=-'χ2+Ylχ+2(2)AE=Ji5；AM=MI或AM=MI(3)机可以取到的最小值为

261313

√B∙当〃?取得最小值时，线段AP的长为生叵

13

【分析】(1)己知点B的坐标，可求出OB的长；在RtAOBD中，已知了Elc)DB=30。，通过解直角三角形即可

求得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD的中点，根