第6讲 函数的概念及其表示（解析版）

第6讲函数的概念及其表示基础知识1.函数的基本概念(1)函数的定义一般地,给定两个A与B,以及对应关系f,如果对于集合A中的,在集合B中都有的实数y与x对应,则称f为定义在集合A上的一个函数,记作,x∈A.

(2)函数的三要素函数由、和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,范围(即数集A)称为这个函数的,组成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}称为函数的值域.

2.函数的表示法函数的常用表示方法:、、.

3.分段函数如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的,则称其为分段函数.

1.(1)非空实数集每一个实数x唯一确定y=f(x)(2)定义域值域自变量取值的定义域所有函数值2.解析法图象法列表法3.对应关系常用结论1.常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sinx,y=cosx的定义域均为R.(6)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.(7)y=tanx的定义域为xx≠kπ+π2,k∈Z.2.基本初等函数的值域(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为4ac-+∞;当a<0时,值域为-∞,4ac-b2(3)y=kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.分类训练探究点一函数的定义域角度1求给定解析式的函数的定义域例1(1)函数y=-x2+3x+4A.(0,1)∪(1,4] B.(0,4]C.(0,1) D.(0,1)∪[4,+∞)(2)函数f(x)=x+1+(2-x)0的定义域为[总结反思](1)求函数定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合;(2)若函数是由几个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成的,则定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集;(3)具体求解时一般是列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可;(4)注意不要轻易对解析式化简变形,否则易出现定义域错误.例1[思路点拨](1)根据偶次根式下被开方数非负、分母不为零、对数的真数大于零列不等式组求解,即得结果;(2)根据偶次根式下的代数式不小于0、零次幂的底数不为0列不等式组求解即可.(1)A(2){x|x≥-1且x≠2}[解析](1)由题意得-x2+3x+4≥(2)由x+1≥0,2-x≠0,解得x≥-1且x≠2,∴函数f(x)=x+1+(2-x)变式题我们知道一天的温度y(℃)随时间t(h)的变化而变化,图2-6-1是某地一天4:00~12:00的温度变化情况,则温度y与时间t的函数中定义域为.

图2-6-1变式题[4,12][解析]由题知t∈[4,12],则定义域为[4,12].角度2求抽象函数的定义域例2(1)已知函数f(x)的定义域为(-∞,0),则函数y=f(x-1)x+1的定义域为A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(-∞,-1)∪(-1,1)(2)已知函数y=f(2x)的定义域是[-1,1],则函数y=f(log3x)的定义域是.

[总结反思](1)无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域,均是指其中的x的取值集合;(2)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出;(3)若复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域.例2[思路点拨](1)根据f(x)的定义域以及分母不为零列不等式组,即得定义域;(2)由题意可得出12≤log3x≤2,进而可求得函数y=f(log3x)的定义域(1)D(2)[3,9][解析](1)由函数f(x)的定义域为(-∞,0)可知,若y=f(x-1)x+1有意义,则x-1<0,x+1≠0,解得x(2)由题意可得12≤2x≤2,所以12≤log3x≤2,解得3≤x≤9,故所求定义域为[3变式题(1)已知函数f(x)的定义域为(-2,2),则函数g(x)=f(2x)+1-lgx的定义域为 A.{x|0<x<4} B.{x|-4<x<10}C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<1}(2)已知函数y=f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x),则函数g(x)的定义域为.

变式题(1)C(2)12,52[解析](1)由题得-2<2x<2,1-lgx≥0,x>0,解得0<x<(2)∵f(x)的定义域为(-2,2),∴由-2<x-1<2得x∈(-1,3),由-2<3-2x<2得x∈12,52,∴g(x)=f(x-1)+f(3-2x)的定义域为12,52.探究点二函数的解析式例3(1)已知函数f(x)是一次函数,且f[f(x)-2x]=3恒成立,则f(3)= ()A.1 B.3 C.5 D.7(2)已知函数f(x+1)=x-4,则f(x)=.

(3)若f(x)+3f1x=x+3x-2log2x,且对任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,则m的取值范围为.

[总结反思]求函数解析式的常用方法:(1)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(2)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(3)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)解方程组法:已知f(x)与f1x或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).例3[思路点拨](1)设出一次函数的解析式,利用待定系数法,根据等式恒成立求出待定系数,即得解析式,然后再求f(3)的值;(2)利用换元法求解析式(或用配凑法求解);(3)先利用解方程组法求解f(x)的解析式,再由对任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,可得m的取值范围.(1)D(2)x2-2x-3(x≥1)(3)(-∞,3][解析](1)设f(x)=ax+b,a≠0,则f[f(x)-2x]=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=(a2-2a)x+ab+b.因为f[f(x)-2x]=3恒成立,所以a2-2a=0且ab+b=3,解得a=2,b=1,所以f(x)=2x+1,则f(3)=7.故选D.(2)方法一(换元法):令t=x+1≥1,则x=(t-1)2,故f(t)=(t-1)2-4=t2-2t-3(t≥1),故f(x)=x2-2x-3(x≥1).方法二(配凑法):由题可知x+1≥1,f(x+1)=x-4=(x+1)2-2(x+1)-3,故f(x)=x2-2x-3(x≥1).(3)由f(x)+3f1x=x+3x-2log2x①,可得f1x+3f(x)=1x+3x-2log21x②,由②×3-①得f(x)=x+log2x.又对任意x∈(2,4)都有f(x)>m成立,f(x)=x+log2x在(2,4)上单调递增,∴m≤f(2)=3变式题(1)已知f1x=x1-x,则f(x)的解析式为 (A.f(x)=1-xx(x≠0且xB.f(x)=11-x(x≠0且xC.f(x)=1x-1(x≠0且x≠D.f(x)=xx-1(x≠0且x≠(2)已知f(x)满足3f(x)+2f(-x)=4x,则f(x)=.

(3)若一次函数f(x)满足f[f(x)]=x+4,则f(-1)=.

变式题(1)C(2)4x(3)1[解析](1)令t=1x,则x=1t,∵x≠1且x≠0,∴t≠1且t≠0,∴f(t)=1t1-1t=1t-1(t≠1且t≠0),∴f(x(2)因为3f(x)+2f(-x)=4x①,所以3f(-x)+2f(x)=-4x②,①×3-②×2,得5f(x)=20x,所以f(x)=4x.(3)因为f(x)是一次函数,所以可设f(x)=kx+b(k≠0),则f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=x+4,所以k2=1,kb+b=4,解得k=1,b=2,所以f(x)探究点三以分段函数为背景的问题 微点1分段函数的求值问题例4(1)已知函数f(x)=2-x,x≥-1,log2(1-x),x(2)设函数f(x)=ax,x≥0,f(x+4a),x<0(a>0且a≠1),若f(2[总结反思]求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系.对于复合函数的求值问题,应由里到外依次求值.例4[思路点拨](1)根据x的取值,先计算f(0),再计算f(-3),然后相减即可;(2)根据给出的f(2)的值求出分段函数的解析式,然后根据周期性求出函数值.(1)-1(2)16[解析](1)由题意得f(0)=20=1,f(-3)=log2[1-(-3)]=log24=2,∴f(0)-f(-3)=1-2=-1.(2)由题意得4=f(2)=a2,因为a>0,所以a=2,则f(x)=2所以f(-2020)=f(-2012)=…=f(-4)=f(4)=24=16.微点2分段函数与方程例5(1)函数f(x)=x+1,-1<x<0,2x,x≥0,若实数a满足f(a)=f(a-1),A.2 B.4 C.6 D.8(2)已知函数f(x)=log2(3-x),x≤0,2x-1,x>0,[总结反思](1)若分段函数中含有参数,则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参;(2)若是求自变量的值,则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论,再求值.例5[思路点拨](1)对实数a按0<a<1和a≥1进行分类讨论,根据自变量的取值范围代入相应的解析式计算即可得到答案;(2)分a-1≤0与a-1>0两种情况,利用分段函数列出方程,转化求解即可.(1)D(2)log23[解析](1)由题知,f(x)的定义域是(-1,+∞),所以a>0.①当0<a<1时,-1<a-1<0,则f(a)=f(a-1)可化为2a=a,可得a=14,所以f1a=f(4)=8;②当a≥1时,a-1≥0,则f(a)=f(a-1)可化为2a=2(a-1),该方程无解.故选D.(2)当a-1≤0,即a≤1时,可得log2(3-a+1)=12,解得a=4-2>1,不符合题意,舍去;当a-1>0,即a>1时,可得2a-1-1=12,解得a=log23>故a=log23.微点3分段函数与不等式问题例6(1)已知f(x)=cosπx,x∈[0,12],2(2)已知函数f(x)=3(x<12),1x(x≥12),则不等式x[总结反思]涉及与分段函数有关的不等式问题,主要表现为解不等式.当自变量的取值不确定时,往往要分类讨论求解;当自变量的取值确定但分段函数中含有参数时,只需依据自变量的情况直接代入相应解析式求解.例6[思路点拨](1)分x∈0,12和x∈12,+∞两种情况讨论求解,结果取并集;(2)分x<12和x≥12两种情况进行讨论,然后取两种情况中解集的并集.(1)x13≤x≤34(2){x|-1≤x≤1}[解析](1)当x∈0,12时,由f(x)≤12,得cosπx≤12,则πx∈π3,π2,所以x∈13,12;当x∈12,+∞时,由f(x)≤12,得2x-1≤12,解得x≤34,所以x∈12,34.故不等式f(x)≤12的解集为x13≤x≤(2)由题意有x<12,3x2+x-2≤0或x≥12,x2▶应用演练1.【微点3】设函数f(x)=log2(-x),x≤-2,1,x>-2,则满足f(x+1A.(-∞,-1] B.(0,+∞)C.(-1,0) D.(-∞,-1)1.D[解析]∵函数f(x)=log2(-x),x≤-2,1,∴由f(x+1)<f(2x)得2x<x+1,2x2.【微点3】已知函数f(x)=2x+1,x≤1,lnx+1,x>1,则满足f(x)+f(x+1A.(-1,+∞) B.-34,+∞C.(0,+∞) D.(1,+∞)2.B[解析]当x≤1,x+1≤1,即x≤0时,由f(x)+f(x+1)=2x+1+2x+3>1,得-34<x≤0;当x>1,x+1>1,即x>1时,因为lnx+1>1,ln(x+1)+1>1,所以当x>1时,f(x)+f(x+1)>1恒成立;当x≤1,x+1>1,即0<x≤1时,1<x+1≤2,所以f(x)+f(x+1)=2x+1+3.【微点2】已知函数f(x)=-x2+ax,x≤2,2ax-5,x>2,若存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1A.(-∞,4) B.-∞,14C.(-∞,3) D.(-∞,8)3.A[解析]由题意知,y=-x2+ax图象的对称轴方程为x=a2.当a2<2,即a<4时,根据二次函数的性质可知,一定存在x1,x2∈R,且x1≠x2,使得f(x1)=f(x当a2≥2,即a≥4时,由题意知-22+2a>4a-5,解得a<12,不符合题意.综上所述,a∈(-∞,4).4.【微点2】已知f(x)=log2x,x>0,-2-x+1,4.8[解析]当x>0时,由log2x=3,得x=8;当x≤0时,由-2-x+1=3得-2-x=2,无解.故方程f(x)=3的解是x=8.5.【微点1、微点3】若函数f(x)=lgx,x>0,|x2+2x|,x≤0,则ff1010=,不等式f(x+15.34-3+32,-32∪[0,+∞)[解析]f1010=lg1010=lg10-12=-12,f-12=-122+2×-12=34,故ff1010=34.作出函数y=f(x)的图象(实线)和y=f(x+1)的图象(虚线),如图所示.若f(x+1)≥f(x),则图中虚线在实线上方即可.①当x≥0时,显然符合题意;②当x≤-3或-1≤x<0时,显然不符合题意;③当-3<x<-1时,由二次函数图象的对称性可知xA=-32,由x2+2x=-[(x+1)2+2(x+1)],解得x1=-3+32,x2=-3-32>-2(舍去),∴xB=-3+32,若f(x+1)≥f(x),则-3+32≤x≤-32.综上所述,原不等式的解集为同步作业1.函数f(x)=1x2-2xA.(0,2) B.[0,2]C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(-∞,0]∪[2,+∞)1.C[解析]由x2-2x>0,得x<0或x>2,∴函数f(x)=1x2-2x的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞2.已知集合A={x|y=x-2},B={x|y=ln(x-1)},则A∩B= (A.{x|x≥2} B.{x|1≤x≤2}C.{x|1<x≤2} D.{x|x>2}2.A[解析]由题意得,A={x|y=x-2}={x|x≥2},B={x|y=ln(x-1)}={x|x>1},则A∩B={x|x≥2}.故选A3.已知函数f(x)=-ex,x≥0,ax2,x<0,A.1 B.0 C.-1 D.23.A[解析]因为f[f(0)]=f(-e0)=f(-1)=a(-1)2=1,所以a=1.故选A.4.下面各组函数中是同一函数的是 ()A.y=-2x3与B.y=(x)2与y=|x|C.y=x+1·x-1与D.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-14.D[解析]选项A中,两个函数的对应关系不同,不符合题意;选项B中,两个函数的定义域不同,对应关系也不同,不符合题意;选项C中,两个函数的定义域不同,不符合题意;选项D中,两个函数的定义域和对应关系都相同,符合题意.故选D.5.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f1xx-1,则f(x)=.

5.23x+13[解析]在f(x)=2f1xx-1中,用1x代替x,得f1x=2f(x)1x-1,由f(x)=2f(1x6.已知fx-1x=x2+1x2,则f(3)=6.11[解析]∵fx-1x=x-1x2+2,∴f(x)=x2+2(x∈R),∴f(3)=32+2=11.7.已知函数f(x)=x2+2x,x≥0,x2-2x,x<0,若fA.[-1,0) B.[0,1]C.[-1,1] D.[-2,2]7.C[解析]若x<0,则-x>0,f(-x)=x2-2x=f(x),若x>0,则-x<0,f(-x)=x2+2x=f(x),故函数f(x)为偶函数,且当x≥0时,函数f(x)单调递增.不等式f(-a)+f(a)≤2f(1)等价于2f(a)≤2f(1),即f(a)≤f(1),∴|a|≤1,∴-1≤a≤1,故选C.8.汽车的燃油效率是指汽车每消耗1L汽油行驶的路程,图K6-1描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列说法中正确的是 ()图K6-1A.消耗1L汽油,乙车最多可行驶5kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中甲车消耗汽油最多C.甲车以80km/h的速度行驶1h,消耗10L汽油D.某城市机动车限速80km/h,相同条件下在该市用丙车比用乙车更省油8.D[解析]对于A,由图可知,当速度大于40km/h时,乙车的燃油效率大于5km/L,∴当速度大于40km/h时,消耗1L汽油,乙车行驶的路程大于5km,故A错误;对于B,由图可知,当速度相同时,甲车的燃油效率最高,即当速度相同时,消耗1L汽油,甲车的行驶路程最远,∴以相同速度行驶相同路程,三辆车中甲车消耗汽油最少,故B错误;对于C,由图可知,当速度为80km/h时,甲车的燃油效率为10km/L,即甲车行驶10km时消耗1L汽油,故行驶1h,路程为80km,消耗8L汽油,故C错误;对于D,由图可知,当速度小于80km/h时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,∴用丙车比用乙车更省油,故D正确.故选D.9.下列函数中值域是[1,+∞)的是()A.y=x3+1 B.y=10-x+1C.y=log2x+1 D.y=2|x|9.D[解析]选项A中,函数y=x3的值域为R,故函数y=x3+1的值域为R;选项B中,函数y=10-x的值域为(0,+∞),故函数y=10-x+1的值域为(1,+∞);选项C中,函数y=log2x的值域为R,故函数y=log2x+1的值域为R;选项D中,函数y=|x|的值域为[0,+∞),故函数y=2|x|的值域为[1,+∞).故选D.10.(多选题)已知函数f(x)=lg(-x),x<0,ex-1,x≥0.若fA.1 B.-1 C.10 D.-1010.AD[解析]∵f(x)=lg(-x),x<0,ex-1,x≥0,∴f(1)=e1-1=1,又f(1)+f(a)=2,∴f(a)=1.当a≥0时,由f(a)=1,可得a=1;当a<0时,由f(a11.(多选题)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译为“函数”,沿用至今.为什么这么翻译,书中解释说“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个对应关系,请由函数的定义判断,其中能构成从M到N的函数的是 ()A.y=log2|x| B.y=x+1C.y=2|x| D.y=x211.CD[解析]对于A,当x=-1时,y=0,集合N中不存在;对于B,当x=-1时,y=0,集合N中不存在;对于C,当x=-1时,y=2,当x=1时,y=2,当x=2时,y=4,当x=4时,y=16,所以C选项符合题意;对于D,当x=-1时,y=(-1)2=1,当x=1时,y=12=1,当x=2时,y=22=4,当x=4时,y=42=16,所以D选项符合题意.故选CD.12.已