2023-2024学年山东省青岛市黄岛区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省青岛市黄岛区九年级第一学期期中数学试

卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每个题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.方程-5无2=1的一次项系数是（）

C.-1

2.某小区有5000人，随机调查了1200人，其中400人观看了杭州亚运会的比赛.在该小

区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是（）

12厂6八2

AA.—BD.——C.■D.-

325253

3.如图，在△ABC中，ZA=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下

的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

4.如图，在矩形A8CD中，两条对角线AC与8。相交于点O,已知A8=3,OD=2,则

的长为（）

B.疾c.77

5.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,。为AB的中点，AE//CD,CE

A

//AB,则四边形ADCE的对角线E。的长为（

6.关于x的方程（相-3）尤2-4x-2=0有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（）

A.-1

7.按照如下步骤进行作图：如图，已知线段A8,过点8作使BD总AB，连接

DA,在D4上截取OE=r>8,在AB上截取AC=AE.则与的值为（）

AB

D

3-反

8.某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽

车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率.设每次下调的百分率为x,

则可列方程为（）

A.16(1+x)2=25B.16(1+N)=25

C.25(1-N)=16D.25(1-尤)2=16

9.如图，已知。是△ABC中的边BC上的一点，ZBAD^ZC,NABC的平分线交边AC

于E,交AO于尸，那么下列结论中错误的是（）

A.△BDFs^BECB.ABFAs^BECC.D.ABDFsLBAE

10.如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图②所示的四边形

ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）.设直角三角形的较短直角边为。，较长直角边

为b,若（a+b）2=25,四边形ABC。的面积为13,则中间空白处的四边形EEG8的面

积为（）

A

D.4

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11.若2=导，则"=___________________.

a2a

12.根据下列表格对应值：

X-1.5-1-0.500.51

a^+bx+c1325.15.2

T1

可求得关于X的方程ox2+6x+c=2QWO）的解是.

13.一个不透明的袋子中有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其它都相同，摇匀后随

机摸出一个球，如果摸到白球的概率为0.4,由此可估计黑球的个数为.

14.如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，

在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，桌面的

直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为米.

15.把长为40C〃3宽为30cm的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影

部分即剪掉的部分），把剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，记剪掉的小的正方形边

长为（纸板的厚度忽略不计）若折成的长方体盒子表面积为950"〃2,求此时长方

体盒子的体积为

30cm

16.如图，四边形ABC。是正方形，尸。是等边三角形，延长3尸，CP分别交AO于点E,

F,连接80,DP,BD与CF相交于点”，给出下列结论：①AE,BE；②4CPD=75°；

③APDEsADBE；@ED2^EP'PB；其中正确的是.(只填写序号即可)

三、作图题(本题满分4分)请用直尺、圆规作图，不写作法,但要保留作图痕迹。

17.已知：在△ABC中，ZC=90°.求作：点。，使得点。在边AB上，并且以点A,C,

。为顶点的三角形与△A8C相似.

四、解答题(本大题共8小题，共68分)

18.(16分)用适当的方法解下列方程：

Q

(1)2(x-1)2-w=0；

(2)N-2X=4；

(3)2x(x-3)=3-x；

(4)(3x-2)2=4N-4x+l.

19.如图，矩形4BCD中，AC与8。相交于点。.若AO=3,ZOBC=30°,求矩形48。

的面积.

AD

BC

20.阅读下列材料，并解答问题:

人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月.一元二次方程及其解法最早出现在公元

前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中.到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在

他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明.我

国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法.赵爽在其所著的《勾股圆方图

注》中记载了解方程/+5尤-14=0（尤＞0）,即x（x+5）=14（尤＞0）的方法.首先构

造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是（x+x+5）2,其中四个全等的小矩形面

积分别为xG+5）=14,中间的小正方形面积为52,所以大正方形的面积又可表示为4

X14+52=81,据此易得x=2.

（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方

程N-4X-12=0（X＞0）的正确构图是.（从序号①②③中选择）

（2）请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程x2-2x-15=0

（尤＞0）的构图（类比图1标明相关数据，不需写出解答过程）.

21.在校内课后托管服务实施过程中，某校设置了多种社团活动供同学们选择.小明喜欢的

社团有：篮球社团、足球社团、书法社团、科技社团.分别用字母A,B,C,。依次表

示，并写在四张完全相同的不透明的卡片的正面，然后将这四张卡片背面朝上，洗匀后

放在桌面上.

（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团2的概率是;

（2）由于受资源的限制，学校规定，本学期每人最多可报两个社团参加活动.小明打算

从四张卡片中一次性抽取两张卡片决定自己的最终志愿.请你用列表法或画树状图法，

求出小明抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率.

22.已知不等臂跷跷板长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图一）点B离地

高1.5米；当AB的另一端点8碰到地面时，（如图二）点A离地高1米，求跷跷板A8

的支撑点O到地面的距离为多少米？

23.如图，在平行四边形A8C。中，ZB=60°,/BAD,/BCD的平分线分别与BC,AD

相交于点E,F.

(1)求证：LABE义ACDF；

(2)当AB与BC满足什么数量关系时，四边形AEC「为菱形？请说明理由.

24.为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果

批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，

请根据下列信息解答问题：

①该苹果的市场价预计每天每千克上涨0.1元；

②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售；

③每天的冷藏费用为300元；

④这批苹果最多保存110天.

若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售.

(1)多少天后这批苹果的市场价为每千克13元？

(2)求2天后一次性全部售出所得的利润为多少元？

(3)若n天后一次性出售所得利润为9600元，求”的值.

25.如图，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=12cm,点、P从点D出发沿ZM向终点A运动；

点。从点8出发沿BC向终点C运动.P,。两点同时出发，它们的速度都是2cm/s.连

接尸。AQ,CP.设点P,。运动的时间为ts(0<Z<6).

(1)当f为何值时，四边形ABQP是矩形？

(2)当f为何值时，四边形AQCP是菱形？

(3)是否存在某一时刻3使得尸。，尸C?若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每个题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.方程-5N=1的一次项系数是（）

A.3B.1C.-1D.0

【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可.

解：方程整理得：-5N-1=O,

则一次项系数为0,

故选：D.

【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：a^+bx+c

=0（a,b,c是常数且aWO）特别要注意aWO的条件.这是在做题过程中容易忽视的

知识点.在一般形式中办2叫二次项，云叫一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二

次项系数，一次项系数，常数项.

2.某小区有5000人，随机调查了1200人，其中400人观看了杭州亚运会的比赛.在该小

区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是（）

1262

A.-B."C.-TT-D.-

325253

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情

况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小.

解：•••随机调查了1200人，其中400人观看了杭州亚运会的比赛，

该小区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是卷肉=4，

JL乙UUO

故选：A.

【点评】本题考查概率公式和用样本估计总体，概率计算一般方法：如果一个事件有n

种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现加种可能，那么事件A的概率尸

（A）=—.

n

3.如图，在△A8C中，NA=78°,AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下

的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

78

【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

2、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确.

。、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

故选：C.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关

键.

4.如图，在矩形A8CD中，两条对角线AC与83相交于点O,已知A8=3,0D=2,则

的长为（）

A.2B.遥C.V?D.3

【分析】依据矩形的性质，即可得到AC的长，再根据勾股定理即可得到8c的长，即可

得出结论.

解：•..矩形ABCD中，两条对角线AC与8。相交于点O,OD=2,

：.AC=2AO=2OD=4,

又；AB=3,ZABC=90°,

：.BC=V42-32=V7>

故选：C.

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩

形的对角线相等且互相平分.

5.如图，在Rt&lBC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,。为AB的中点，AE//CD,CE

//AB,则四边形AOCE的对角线ED的长为（）E

【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得出四边形AECD是平行四边形，

再由直角三角形斜边上的中线的性质得出CD=AO得出四边形A£CD是菱形，得出AC

LDE,再根据勾股定理即可求解.

解：如图，

'：AE//CD,CE//AB,

.••四边形AECD是平行四边形，

在RtZ\A8C中，ZACB=90°,AB=5,。为AB的中点,

15

•*.CD=AD=—^>=^,

四边形AECO是菱形，

：.AC±DE,CO=/AC=2，

在RtACO£)中，由勾股定理得，

OO=7CD2-C02=^(1-)2-22=p

:.DE=2DO=3,

故选：B.

【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜

边上的中线的性质，证明四边形AEC。是菱形是解题的关键.

6.关于x的方程3）尤2-4x-2=0有两个不相等的实数根，则实数机的值可以是（）

A.-1B.0C.2D.3

【分析】利用二次项系数非零及根的判别式△>（）,可列出关于机的一元一次不等式组,

解之即可得出m的取值范围.

解：：关于尤的方程（加-3）N-4x-2=0有两个不相等的实数根，

nr3卢0

△=（-4）2-4*（m-3）X（-2）>0）

解得：机>1且加W3,

实数机的值可以2.

故选：C.

【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的

判别式A>0,找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键.

7.按照如下步骤进行作图：如图，已知线段A3,过点B作瓦使BD弓AB，连接

DA,在D4上截取在A8上截取AC=AE.则绘的值为（）

【分析】先设从而可得48=22。=2小再根据垂直定义可得NDBA=90°,

然后在中，利用勾股定理可得从而可得AC=A£=（A/5-1）a,

最后进行计算即可解答.

解：设BD=DE=a,

'JBD^AB,

.\AB=2BD=2a,

'：BD.LAB,

：.ZDBA=90°,

•1•A£,=7AB2+BD2=V（2a）2+a2=V5«-

.'.AE=AD-DE=y[^>a-a=（5/5-1）a,

\'AC^AE,

：.AC=（V5-1）a，

.AC_1'而T）a_'J5-1

"AB2^

故选：B.

【点评】本题考查了黄金分割，作图-基本作图，准确熟练地进行计算是解题的关键.

8.某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽

车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率.设每次下调的百分率为x,

则可列方程为（）

A.16（1+x）2=25B.16（1+尤2）=25

C.25（1-N）=16D.25（1-尤）2=16

【分析】设出平均每次下调的百分率为X,利用原价X（1-每次下调的百分率）2=实际

售价列方程解答即可.

解：设平均每次降价的百分率是无，根据题意列方程得，

25（1-x）2=16.

故选：D.

【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，基本数量关系：原价X（1-每次

下调的百分率）2=实际售价.

9.如图，已知。是△ABC中的边上的一点，/BAD=NC,NABC的平分线交边AC

于E,交于尸，那么下列结论中错误的是（）

A./XBDF^/XBECB./\BFA^/XBECC.ABAC<^>ABDAD.

【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断.

解：；NBAD=NC,

/B=NB,

:ABACsABDA.故C正确.

平分/ABC,

ZABE=ZCBE,

：.ABFAsABEC.故2正确.

:./BFA=/BEC,

：.ZBFD=ZBEA,

:.△BDFs^BAE.故。正确.

而不能证明故A错误.

故选：A.

【点评】本题考查相似三角形的判定.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注

意正确找出两三角形的对应边和对应角.

10.如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图②所示的四边形

ABCD(相邻纸片之间不重叠，无缝隙).设直角三角形的较短直角边为较长直角边

为6,若(a+b)2=25,四边形ABCD的面积为13,则中间空白处的四边形EFGH的面

积为()

【分析】由四边形ABCD是四条边分别为同一个菱形的四条边，且每个内角都等于同一

个直角三角形两个锐角的和，说明四边形A8CD是以直角三角形的斜边为边长的正方形，

则而(a+b)2=25,可求得4a6=2[25-(t^+Z?2)]=24,因为四边形

EFGH是正方形，且边长为b-a,即可求得ER=(a-6)2=(a+6)2-4ab=25-24

=1,则中间空白处的四边形EFGH的面积为1,于是得到问题的答案.

解：•••四边形ABC。是四条边分别为同一个菱形的四条边，

：.AB=BC=CD=DA,

：四边形ABCD的每个内角都等于同一个直角三角形两个锐角的和,

ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,

・・・四边形ABCD是以直角三角形的斜边为边长的正方形，

：.AB2=d2+b2=13,

・・•(〃+b)2=25,

a1-^b2+2ab=25,

：.4ab=2[25-(扇+/)]=50-2X13=24,

•・•四边形是正方形，且边长为匕-d(4+6)2=25,

.\EF2=(a-b)2=(a+b)2-4ab=25-24=1,

中间空白处的四边形EFGX的面积为1,

故选：A.

【点评】此题重点考查菱形的性质、直角三角形的两个锐角互余、正方形的性质、乘法

公式等知识，根据々2+62=13,(。+6)2=25,求出4湖的值是解题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

-

ii.什若b义=3装，„,则ba1之.

a2a—2-

【分析】根据2=4■可设。=2匕b=3k,再将a,b代入"计算可求解.

a2a

解：设〃=2匕b=3k,

.b-a=3k-2k_k」

••丁―2k五方

故答案为

【点评】本题主要考查比例的性质，灵活运用比例的性质计算是解题的关键.

12.根据下列表格对应值:

X-1.5-1-0.500.51

aj^+bx+c1325,15,2

TII

可求得关于x的方程＜?N+b尤+c=2(a=0)的解是T或1.

【分析】直接根据表格中x,y的对应值即可得出结论.

解：由表格可知，当尤=T或尤=1时，ax2+bx+c—2.

故答案为：-1或1.

【点评】本题考查的是代数式求值，能直接根据表格得到方程的解是解题的关键.

13.一个不透明的袋子中有6个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其它都相同，摇匀后随

机摸出一个球，如果摸到白球的概率为0.4,由此可估计黑球的个数为9

【分析】直接根据概率公式求解.

解：设有黑球x个，

根据题意得：舁=0.4，

6+x

解得：x=9,

经检验x=9是原方程的解，

故答案为：9.

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率尸（A）=事件A可能出现的结果数除

以所有可能出现的结果数.

14.如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡（看作一个点），它发出的光线照射桌面后，

在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，桌面的

直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为3米.

【分析】标注字母，根据常识，桌面与地面是平行的，然后判断出△ADEs△ABC,根

据相似三角形对应高的比等于对应边的比列出比例式，然后求出地面阴影部分的直径，

再根据圆的面积公式列式进行计算即可得解.

解：构造几何模型如图：

依题意知。£=2米，BC=2+1=3（米），FG=1.5米，

由得黑若，即,

Av3Ar'1.D

解得AB=3,

答：灯泡距离桌面3米.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列

式求出阴影部分的圆的直径是解题的关键，也是本题的难点.

15.把长为40s,宽为30s的长方形硬纸板，剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影

部分即剪掉的部分），把剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，记剪掉的小的正方形边

长为（纸板的厚度忽略不计）若折成的长方体盒子表面积为950c〃於，求此时长方

【分析】根据图示，可得40X30-2尤2-2X20x=950,求出x的值，再根据长方体的体

积公式列出算式，即可求出答案.

解：EF=（30-2x）cm,GH=（20-x）cm.

根据题意，得：40X30-2x2-2X20x=950,

解得：xi=5,改=-25（不合题意，舍去），

所以长方体盒子的体积=无（30-2无）（20-%）=5X20X15=1500（cm3）.

答：此时长方体盒子的体积为1500c".

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是长方体的表面积和体积公式,

关键是根据图形找出等量关系列出方程，要注意把不合题意的解舍去.

16.如图，四边形ABCD是正方形，△2PC是等边三角形，延长BP,CP分别交AD于点E,

F,连接8。，DP,8。与CF相交于点H,给出下列结论：①AE卷BE;②NCPD=75。；

③APDEs^DBE；@ED2=EP-PB；其中正确的是①②③.（只填写序号即可）

BA

【分析】利用正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角

三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行逐

一判断即可得出结论.

解：:△8PC是等边三角形，

:.BP=PC=BC,/PBC=/PCB=/BPC=60°,

在正方形ABCD中，

；.NABE=NDCF=30°,

在△ABE和△DC尸中，

，ZA=ZCDF=90°

"ZAEB=ZDFC=60°,

.AB=DC

.♦.△ABE当ADCF(AAS),

:.BE=CF,

;AE二BE,

故①正确；

VZBCP=60°,ZBCD=90°,

：.ZPCD=30°,

,;CD=CP,

1800-30°。

ZCPD=ZCDP=0-=75°,

②的结论正确；

,：ZCDP=75°,ZADC=90°,

：.ZPDE=15°.

,：ZCBD=45°,ZCBP=60°,

：.ZPBD^15

ZPDE=ZPBD.

：.ZPED=ZDEB,

:APDEsADBE,

...③的结论正确；

'：/\PDE^/\DBE,

.DEJB

"PE

:.ED2=EP・EB,

...④的结论错误，

综上，正确的结论的序号为：①②③，

故答案为：①②③.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质,

等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌

握上述性质是解题的关键.

三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法,但要保留作图痕迹。

17.已知：在△ABC中，/C=90°.求作：点、D,使得点。在边AB上，并且以点A,C,

。为顶点的三角形与△ABC相似.

【分析】过C点作于。点，由于NA为公共角，ZADC=ZACB=90°,所以

△ACDs△ABC.

【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.

四、解答题（本大题共8小题，共68分）

18.(16分)用适当的方法解下列方程:

(1)、2(X-1)2-59=0;

(2)x234-2x=4；

(3)lx(x-3)=3-x；

(4)(3x-2)2=4N-4X+1.

【分析】(1)利用直接开平方法求解即可;

(2)利用配方法去即可；

(3)整理后，利用因式分解法求解即可；

(4)利用因式分解法求解即可.

g

解：(1)2(%-1)2一£=0,

9

(X-1)2=—

4?

(2)N-2X=4,

x2-2x+l=4+l,即(x-1)2=5,

:•X-1=土、底

.・・即=1+而,X2=l-V5-

(3)2x(x-3)=3-%,

2x(x-3)+(x-3)=0,

(x-3)(2x+l)=0,

.*.x-3=0或2x+l=0,

・T1

•»X\—3,X2-—.

(4)(3x-2)2=4/-4x+l,

(3尤-2)2-(2x-1)』0,

[(3x-2)+(2x-1)][(3x-2)-(2x-1)]=0,

5x-3=0或xT=0,

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

19.如图，矩形ABCD中，AC与3。相交于点。.若A0=3,/OBC=30°,求矩形A8CD

的面积.

【分析】根据四边形ABC。为矩形，得出BD=AC,48a>=90°,又因为4。=3,则

8D=AC=2AO=3X2=6,利用勾股定理求出8C,最后求出面积即可.

解：：四边形ABC。为矩形，

：.BD=AC,ZBCD=9Q°,

：AO=3,

：.BD=AC=2AO=3X2=6,

在RtZkBCQ中，ZOBC=30°,

•••CD=yBD=3，

•*-BC=VBD2-CD2=V62-32=3\/3，

矩形ABCD的面积是ABXBC=3x373=973.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：

矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等，矩形的对角线相等且互相平分，题目比较典

型，难度适中.

20.阅读下列材料，并解答问题：

人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月.一元二次方程及其解法最早出现在公元

前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中.到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在

他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明.我

国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法.赵爽在其所著的《勾股圆方图

注》中记载了解方程N+5x-14=0(x>0),即x(x+5)=14(x>0)的方法.首先构

造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是(x+x+5)2,其中四个全等的小矩形面

积分别为x（x+5）=14,中间的小正方形面积为52,所以大正方形的面积又可表示为4

X14+52=81,据此易得x=2.

（1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方

程x2-4x-12=0（x>0）的正确构图是②.（从序号①②③中选择）

（2）请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程尤2-2尤-15=0

（x>0）的构图（类比图1标明相关数据，不需写出解答过程）.

①②③

【分析】（1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法；

（2）仿照阅读材料构造大正方形面积是（x+x+2）2,其中四个全等的小矩形面积分别为

x（无+2）=15,中间的小正方形面积为22,即可解决问题.

解：（1）.••应构造面积是（x+尤-4）2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为尤

（尤-4）=12,中间的小正方形面积为42,

大正方形的面积又可表示为4X12+42=64,

大正方形的边长为8,

所以x+x-4=8,

・・%=6,

故正确构图②,

故答案为：②；

(2)如图2所示的图形,

其中四个全等的小矩形面积分别为x(x+2)=15,中间的小正方形面积为22,

所以大正方形的面积又可表示为4X15+22=64,

进一步可知大正方形的边长为8,

所以x+x+2=8,

得x=3.

【点评】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供

的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想.

21.在校内课后托管服务实施过程中，某校设置了多种社团活动供同学们选择.小明喜欢的

社团有：篮球社团、足球社团、书法社团、科技社团.分别用字母A,B,C,。依次表

示，并写在四张完全相同的不透明的卡片的正面，然后将这四张卡片背面朝上，洗匀后

放在桌面上.

(1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是4；

(2)由于受资源的限制，学校规定，本学期每人最多可报两个社团参加活动.小明打算

从四张卡片中一次性抽取两张卡片决定自己的最终志愿.请你用列表法或画树状图法，

求出小明抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率.

【分析】(1)根据概率公式，即可进行解答；

(2)画出树状图，数出所有的情况数和符合题意的情况数，再根据概率公式，即可求解.

解：(1)社团有：篮球社团、足球社团、书法社团、科技社团.分别用字母A,B,C,

D依次表示，

•••小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是

4

故答案为：

4

（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果有6种，

，小明抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为备弓.

【点评】本题考查了树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用

到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

22.已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图一）点B离地

高1.5米；当AB的另一端点2碰到地面时，（如图二）点A离地高1米，求跷跷板A3

的支撑点O到地面的距离为多少米？

图1图2

【分析】直接利用相似三角形的判定与性质分别得出黑■=黑，罂=黑，即可得出答

BNABAMAB

案.

解：如图所示：过点B作BNLAH于点N,4知，87/于点加，

可得HO〃BN,

则△AOHsAlBN,

长为3米，BN长为1.5米,

.OHACU

,,1.5-3U，

同理可得：^BOHs^BAM,

贝端噜

:AB长为3米，AM长为1米，

.QH_3-A0^

"1-3U，

由①和②可得：40=1.2,077=0.6,

答：跷跷板AB的支撑点。到地面的距离为0.6米.

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式是解题关键.

23.如图，在平行四边形A8CD中，ZB=60°,ZBAD,/BCD的平分线分别与BC,AD

相交于点E,F.

（1）求证：AABE义ACDF；

（2）当A3与2C满足什么数量关系时，四边形AECF为菱形？请说明理由.

【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质解答即可；

（2）根据菱形的判定解答即可.

【解答】（1）证明：•••四边形A8CD是平行四边形，

J.AB^CD,AD//BC,/B=ND,

'：ZB=60°,

：.ZD=ZB=60°,ZBAD=ZBCD^120°,

由题意可知：

ZBAE=ZEAF=^-ZBAD=60°，NBCF=/FC吗NBCD=60

/BAE=ZFCD,

：.AABE冬ACDF；

（2）解：当AB=yBC时，四边形AEB为菱形，

由题意可知：AD//BC,

由（1）得结论可知：

；./£）=/B=60°,ZBAE=ZFCD=60°,

AABE和都是等边三角形，

.\AB=BE=AE,

：.ZBEA=ZBCF=6Q°,

：.AE//CF,

...AECr为平行四边形，

又AB=yBC-

BE.BC，

是的中点，

:.BE=EC,

：.AE=CE,

平行四边形AECP是菱形.

【点评】此题考查正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判

定解答.

24.为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果

批发商响应号召，以市场价每千克10元的价格收购了6000千克苹果，并立即将其冷藏，

请根据下列信息解答问题：

①该苹果的市场价预计每天每千克上涨0.1元；

②这批苹果平均每天有10千克损坏，不能出售；

③每天的冷藏费用为300元；