预习08正弦定理（六大考点）

预习08正弦定理一、正弦定理1.正弦定理的语言（1）文字语言:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等（2）符号语言:在中,2.正弦定理的推论及变形公式（1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则;（2）正弦定理的变形①;②;③.知识点3三角形的面积公式（1）分别表示边上的高）（2）；（3）是内切圆的半径).二、判断三角形的解的个数已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解考点01已知两角及一边解三角形【方法点拨】解题思路：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.【例1】在中，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角三角函数之间的基本关系可得，再由正弦定理可求得.【详解】易知，由可得；利用正弦定理可得.故选：D【例2】在中，已知，解这个三角形.【答案】答案见解析【分析】根据题意，结合三角形的内角和定理，以及正弦定理，即可求解.【详解】在中，因为且，可得，又由，由正弦定理得，所以.【变式11】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（

）A．8 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，结合正弦定理即可得解.【详解】在中，，因为，所以，则由正弦定理得.故选：B．【变式12】在中，已知，，，则；；．【答案】【分析】借助计算即可得，借助正弦定理即可计算、.【详解】由，故，则，由正弦定理得，.故答案为：；；.【变式13】在中，若，，，则．【答案】/【分析】利用正弦定理可求得的长.【详解】因为，在中，，，，由正弦定理得.故答案为：.考点02已知两边及其中一边的对角解三角形【方法点拨】解题思路：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.【例3】在中，角，，所对的边分别为，，．，，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用正弦定理结合题目条件计算即可得.【详解】由正弦定理，得，因为，所以，又，所以．故选：C.【例4】在中，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可求得角A，由余弦定理求得，再根据正弦定理求得.【详解】由，得，又，所以，由余弦定理得，得，由正弦定理得，即，所以，故选：A．【变式21】在中，角所对的边分别为，已知，，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出，然后利用正弦定理求解；（2）利用余弦定理列方程求解；（3）先求出，，然后利用两角差的正弦公式计算即可.【详解】（1）根据为三角形的内角可得，根据正弦定理得；（2）根据余弦定理，解得，（负值舍去）；（3）因为，所以为锐角，所以，所以，，所以.【变式22】在中，已知，，.求、及.【答案】，，【分析】由余弦定理可求边，根据正弦定理可求角，根据内角和定理可求角.【详解】由余弦定理，得，故，由正弦定理，得，因为,所以或，当时，由三角形内角和定理，可得，当时，，又因为，所以，所以，，.【变式23】在中，角所对的边分别为，已知.(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）应用余弦定理解三角形；（2）由正弦定理求得，根据平方关系、二倍角正弦公式求结果.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）因为及（1）结果，所以.因为，所以为锐角，则，故.考点03利用正弦定理判定解的个数【方法点拨】已知和,用正弦定理求时的情况：（1）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解；③若，三角形两解；④若，三角形一解;（2）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解【例5】在中，，，，满足条件的（

）A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在【答案】D【分析】利用正弦定理求出，再结合正弦函数的性质判断即可.【详解】因为，，，由正弦定理，即，所以，又，由正弦函数的性质可得不存在，所以满足条件的不存在.故选：D【例6】在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由可求，对的取值进行讨论，求出使得B唯一时的取值范围，此时有唯一值.【详解】由可得：，且，若，则，由正弦定理可得,则，所以B为锐角，此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值.当时，，则此时B唯一，则C也唯一，所以有唯一值.当时，因为，根据正弦函数图像易知，在上存在两个根，所以存在两个值满足，所以不成立.故选：C【变式31】下列条件判断三角形解的情况，正确的是（填序号）；①，，，有两解；②，，，有一解；③，，，无解；④，，，有一解．【答案】④【分析】对于①，由正弦定理求得，可判断三角形解的个数；对于②，由正弦定理求得，结合三角形中大边对大角性质，可判断三角形解的个数；对于③，由正弦定理，结合，可得解的个数；对于④，由正弦定理得，结合可得三角形的解有一个，由此可得答案.【详解】对①：由正弦定理，所以，又因为，所以有一解，故①错误；对②：正弦定理，所以，又因为，所以，则三角形的解有两解，故②错误；对③：由正弦定理，所以，又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故③错误；对于④，由正弦定理，所以，又因为且，可得有一解，所以三角形的解有一个，故④正确，故答案为：④.【变式32】在中，已知角的对边分别为，且，若有两解，则的取值范围是．【答案】【分析】法一，结合图形，得到有两解的充要条件；法二，由正弦定理，结合三角函数图象和性质由解的个数得的取值范围.【详解】法一：由题意，，如图，作，在角的一边取，过作另一边的垂线，垂足为，要使有两解，则以为圆心，以为半径的圆与射线有两个交点，即若使有两解，则有，即，解得.法二：由题意，，由正弦定理得，则，由，如图，作的图象，若使有两解，则有，即，解得.故答案为：.【变式33】设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是.【答案】【分析】利用正弦定理计算可得.【详解】由正弦定理可知，即，所以，因为有两个解，即有两解，又，则，由正弦函数的性质，可得且，所以，即，解得，即的取值范围是.故答案为：考点04判断三角形的形状【方法点拨】判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑.【例7】在中，角所对的边分别为，已知，，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用正弦定理边化角可求得，得到；结合特殊角三角函数值和三角形内角和为可求得结果.【详解】由正弦定理得：，，又，，，则；，，或，又，，，为等边三角形.故选：C.【例8】在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】已知条件用正弦定理边化角，由展开后化简得，可得出等腰三角形的结论.【详解】，由正弦定理，得，即∴，可得，又，∴，则的形状为等腰三角形.故选：A.【变式41】在中，已知，判断的形状.【答案】等腰三角形【分析】借助正弦定理将原式化简即可得.【详解】法一：由正弦定理，故可化为，即，故为等腰三角形.法二：由正弦定理，故可化为，又，故，则或（舍），故，故为等腰三角形.【变式42】在中，若，则的形状是（）A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】首先根据正弦定理边化角得到，再结合三角函数恒等变换得到，即可得到答案.【详解】因为，所以，所以.因为，所以.又因为，所以，为直角三角形.故选：B【变式43】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状为（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．锐角三角形【答案】B【分析】根据正弦定理边角互化可得，进而由三角函数的性质求解.【详解】由得,由二倍角公式可得或，由于在，,所以或,故为等腰三角形或直角三角形故选：B考点05与三角形面积有关的计算【方法点拨】一般用公式进行求解,可分为以下两种情况:（1）若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.（2）若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解.【例9】在中，若，则的面积为（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】利用余弦定理求，进而利用面积公式求面积.【详解】由题意可得：，即，整理得，解得或（舍去），所以的面积为.故选：D.【例10】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若的面积为6，，求b的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式化简得，即可求解.（2）利用三角形面积公式求解，然后利用余弦定理求解即可.【详解】（1）因为，所以.因为，所以，又，，所以.（2）因为，所以.由余弦定理可得，所以.【变式51】在中，内角、、的对边分别为、、，的面积为，，，则.【答案】或【分析】利用三角形的面积公式求出角的值，再利用余弦定理可求得的值.【详解】由三角形的面积公式可得，则，因为，则或.当时，由余弦定理可得；当时，由余弦定理可得.综上所述，或.故答案为：或.【变式52】《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法．弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，如图中阴影部分所示．若弧田所在圆的半径为，为圆心，弦的长是3，则弧田的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理得到，再利用扇形面积公式与三角形面积公式即可得解.【详解】依题意，，，所以，因为，所以，故的弧长为，则扇形的面积为，的面积为，所以弧田的面积为．故选：D.【变式53】的周长为20，面积为，，则边的长是【答案】【分析】利用面积公式得到的值，结合的周长与余弦定理列出关于的方程，从而求出的值，即的值.【详解】因为面积公式，所以，得，又的周长为，故，即，由余弦定理得，所以，解得.故答案为：.考点06正弦定理边角互化的其他应用【方法点拨】出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化.【例11】在锐角中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，且，求周长.【答案】(1)60°(2)9【分析】（1）根据正弦定理即可边角化求解，（2）由余弦定理即可求解.【详解】（1）,由正弦定理得，

，或是锐角三角形，（2）由余弦定理得,,,所以的周长【例12】记的内角的对边分别为，已知.(1)求：(2)若，求面积.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由余弦定理化简已知等式，可求；（2）由正弦定理和两角和的正弦公式化简等式，求出角，面积公式求面积.【详解】（1）由余弦定理，得，所以.（2）若，由正弦定理，，，所以，因为，故，所以，又，所以，故的面积为.【变式61】的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足．(1)求角C；(2)若，求c的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合余弦定理即可得解；（2）利用正弦定理与整体法即可得解.【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，所以．（2）由正弦定理，得，因为，所以，则，所以．【变式62】设的内角的对边分别为，且．(1)求的大小；(2)若，且的周长为，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理进行求解即可；（2）根据三角形公式、结合余弦定理进行求解即可.【详解】（1）根据正弦定理，由，由余弦定理可知：，所以，因为，所以；（2）因为，所以有，而的周长为，所以，于是有，所以的面积为.【变式63】在中，角，，所对的边分别为，，，若，且的外接圆的半径为，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，由正弦定理边角关系得，由余弦定理求出角，由余弦定理结合基本不等式可得，进而可求出三角形面积的最大值.【详解】在中，，由正弦定理得：，由余弦定理得：，因为为的内角，则，所以，因为的外接圆的半径为，由正弦定理得：，所以，由余弦定理得，即，因为，所以，当且仅当时取等号，故的面积，所以面积的最大值为.故选：B一、单选题1．中，，，，则角C的大小为（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】利用正弦定理及三角形的性质计算即可.【详解】由正弦定理可知，因为，所以，故.故选：A2．中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由正弦定理，大角对大边，大边对大角等证明出充分性和必要性均成立，从而求出答案.【详解】因为，由大角对大边可得，由正弦定理得，且，所以，故，充分性成立，同理当时，，，由正弦定理可得，由大边对大角可得，必要性成立，“”是“”的充要条件.故选：C3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的外接圆的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形内角和为得到，利用正弦定理得到外接圆半径，得到面积.【详解】在中，，，所以.设的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得，解得R＝1，故的外接圆的面积.故选：B4．记的内角所对的边分别为，则边上的高为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据余弦定理求出，再根据面积公式列式可求出结果.【详解】由，得.设边上的高为，因为，所以，即边上的高为.故选：D5．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（

）A．，，，有两解B．，，，有一解C．，，，有一解D．，，，无解【答案】C【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判断A，B，C，D即可.【详解】A中，因为，所以，又，所以，即只有一解，故A错误；B中，因为，所以，且，所以，故有两解，故B错误；C中，因，所以，又，所以角B只有一解，故C正确；D中，因为,,，所以，有解，故D正确.故选：C.6．在中，时，角A的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据正弦定理得，再利用余弦定理结合正弦函数图象与性质即可得到角A的范围.【详解】∵中，，∴由正弦定理化简得：，即，∴，∵A为三角形的内角，∴，则A的范围为.故选：B.二、多选题7．下列说法正确的有（

）A．中，是的充要条件B．在中，若，则一定为等腰三角形C．在中，若，则D．在中，【答案】AD【分析】利用正弦定理和充分条件、必要条件的判定方法，可判定A正确；由，得到或，可判定B错误；由三角函数的性质，求得或，可判定C错误；根据正弦定理，可判定D正确.【详解】对于A，在中，由，利用正弦定理得，即，可得；反之：若，可得，根据正弦定理得，所以中，是的充要条件，所以A正确；对于B，在中，由，可得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；对于C，由，因为，可得或，所以C错误；对于D，在中，根据正弦定理，可得，所以D正确.故选：AD.8．在中，若，，，则的面积可能为（

）.A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据余弦定理计算或，再计算面积得到答案.【详解】根据余弦定理：，即，解得或，，故或.故选：AB9．在中，由以下各条件分别能得出为等边三角形的有（

）A．已知且 B．已知且C．已知且 D．已知且【答案】AC【分析】利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状.【详解】对于A、因为，所以，由余弦定理得，，又，所以，所以，所以，所以，所以为等边三角形..故A正确；对于B，因为，，所以或，当时，，所以，所以为等边三角形；当时，，所以为等腰三角形.故B错误；对于C，因为且，所以；所以，所以，又，所以，所以为等边三角形.故C正确；对于D，因为；所以，即，所以，所以或，所以或，当时，，所以，所以为等边三角形；当时，，所以，，所以为直角三角形.故D错误.故答案为：AC.三、填空题10．在中，若，则.【答案】2【分析】根据正弦定理及其推论计算即可.【详解】因为，，所以.故答案为：2.11．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是．①．若，则②．若，则是锐角三角形③．若，则是直角三角形④．若，则为等腰三角形⑤．若锐角中，则恒成立【答案】①③【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．【详