第15讲 三角函数 章末题型大总结（原卷版）

第15讲三角函数章末题型大总结一、思维导图二、题型精讲题型01三角函数的概念【典例1】（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则（

）A．1 B． C． D．2【典例2】（2023上·河南周口·高三周口市文昌中学校考阶段练习）已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则【典例3】（2023上·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转后经过点，则．【变式1】（2023上·黑龙江·高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知角α的终边过点，则（

）A． B． C． D．【变式2】（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知角的终边上一点，且，则.题型02扇形的弧长与面积（含最值）【典例1】（2023·高一课时练习）已知一个直径为30厘米的轮子，每秒旋转25弧度，则轮周上一点在半分钟内所经过的弧长为厘米．【典例2】（2023上·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）扇子是引风用品，夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中，，分别在，上，，的长为，则该折扇的扇面的面积为（

）

图1

图2A． B． C． D．【典例3】（2023下·辽宁沈阳·高一校联考期中）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．(1)若，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．【变式1】（2022上·广东广州·高三校考期中）古代文人墨客都善于在纸扇上题字、题画，题字、题画的部分多为扇环.如图是扇环的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式2】（2023·高三课时练习）已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？题型03同角三角函数基本关系【典例1】（2023下·北京西城·高一北师大实验中学校考期中）如果角的终边在直线上，则（

）A． B． C． D．【典例2】（多选）（2023下·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【典例3】（2023下·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）已知，求值：(1)；(2)【变式1】（2023·海南·校联考模拟预测）若，且，则（

）A． B． C． D．【变式2】（多选）（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）已知角的终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）已知，，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．题型04利用诱导公式化简【典例1】（2023上·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）已知是第四象限角，且，则（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）化简：(1)；(2)．【变式1】（2023上·上海崇明·高三校考阶段练习）化简：.【变式2】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知，，且为第二象限角，则.题型05三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性【典例1】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知函数的最小正周期为，时函数图像位于最低点，则（

）A． B． C．1 D．【典例2】（多选）（2023上·湖北·高一湖北省天门中学校联考阶段练习）已知函数定义域为，且为奇函数，为偶函数，且时，，则下列结论正确的是（

）A．周期为4B．C．在上为减函数D．方程有且仅有四个不同的解【典例3】（2023上·广东广州·高三统考开学考试）已知函数在上有且仅有4个零点，且，则.【变式1】（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知的图象关于对称，则函数的图象的一条对称轴是（

）A． B． C． D．【变式2】（多选）（2023上·湖南邵阳·高三统考期中）关于函数，下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为 B．的最大值为2C．在上单调递减 D．是的一条对称轴【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知函数.若，且点是函数的图象的一个对称中心，则函数的最小正周期的最大值为.题型06三角函数图象变换【典例1】（2023上·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）已知函数的图象为，为得到函数的图象，只需把上的所有点（

）A．纵坐标不变，横坐标向左平移个单位B．纵坐标不变，横坐标向右平移个单位C．纵坐标不变，横坐标向左平移个单位D．纵坐标不变，横坐标向右平移个单位【典例2】（2023上·高一校考课时练习）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的值可以是.【变式1】（2023下·广东佛山·高一佛山一中校考阶段练习）函数的图象如图所示，为了得到的图象，可以将的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【变式2】（2023下·江西赣州·高一校联考期中）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度题型07根据图象求解析式【典例1】（2023上·重庆·高三校联考期中）函数的一段图象如图所示.(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数在的值域.【典例2】（2023上·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示

(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．【典例3】（2023上·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上的图象如图所示．

(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．【变式1】（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的单调递减区间．【变式2】（2023上·山西·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)求在上的值域．题型08拼凑角【典例1】（2023上·贵州黔西·高三校考阶段练习）已知，且，，则（

）A． B． C． D．【典例2】（2023上·江苏淮安·高三金湖中学校联考期中）若，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考期中）已知，则（

）A． B． C． D．-【变式2】（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．题型09三角函数值域与最值【典例1】（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）函数，函数的值域为，则．【典例2】（2023·全国·高一随堂练习）求下列函数的最大值和最小值，并写出分别取得最大值和最小值时自变量α的值：(1)，；(2)，；(3)，．【变式1】（2022·高一课时练习）若x∈[－，]，求函数y＝＋2tanx＋1的最值及相应的x的值．题型10五点法作图问题【典例1】（2021·河南·校联考三模）已知函数.（1）完成下列表格，并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图；0（2）求不等式的解集.【典例2】（2021下·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）已知函数(1)填写下表，并用“五点法”画出的图象.x0

(2)若函数满足不等式，求的范围.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像.

【变式2】（2023下·新疆乌鲁木齐·高一新疆师范大学附属中学校考开学考试）已知函数

(1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；00(2)求在区间上的最大值和最小值及相应的值.题型11三角函数中零点（根）个数问题【典例1】（2023上·北京·高三校考阶段练习）已知函数，其中，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．条件①：；条件②：的最小正周期为；条件③：的图象经过点．(1)求的解析式并求的单调递增区间；(2)若在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．【典例2】（2023上·北京·高三北京四中校考期中）已知函数.(1)求的值；(2)求的对称轴；(3)若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围.【变式1】（2023上·北京·高三101中学校考阶段练习）已知函数．(1)求函数的最大值．(2)若方程在上恰有2个解，求m的取值范围．【变式2】（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）已知函数的最小正周期为．(1)求的值；(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数的图象．若在区间上有且仅有5个零点，求的取值范围．题型12三角函数中零点（根）的代数和问题【典例1】（2023上·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数．(1)求周期及最大值；(2)求在上所有解的和．【典例2】（2023上·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知向量.设函数.(1)求函数的解析式及其单调递增区间；(2)将图象向左平移个单位长度得到图象，若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围，并求的值.【典例3】（2023下·江西萍乡·高一统考期中）函数的部分图象如图所示．

(1)求函