7下人教数学- 单元重难点总结

1人教版数学七年级下册单元重难点总结知识点一相交线直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。如图，a⊥b，垂足为O.记作：a⊥b于点O.【注意事项】1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直2线互相垂直。2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂线的画法：一落、二移、三画。注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。注意：1、垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。2、经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离知识点二相交线中的角邻补角与对顶角的知识点两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.∠3+∠4=180°注意点：3（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角；（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角；（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.同位角、内错角与同旁内角的知识点同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。知识点三平行线平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，如：直线a与直线b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；4③两个或两个以上公共点，则两直线重合平行公理（唯一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理的推论（传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行平行线的判定判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∵∠4+∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）5平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.几何符号语言：∵AB∥CD∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD∴∠3=∠2（两直线平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）命题、定理与证明命题的概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题。命题的形式：“如果…那么…”。（如果+题设，那么+结论）真命题的概念：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。假命题的概念：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。如何说明一个命题是假命题：只需要举出一个反例即可。定义、命题、公理和定理之间的关系：这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其它命题真假的依据。一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。知识点四图形平移6平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换(简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。平移的性质：1、把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.2、新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点3、连接各组对应点的线段平行且相等。作平移图形的一般步骤：1、确定平移的方向和距离。2、确定图形的关键点。3、过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。4、依次连接关键点，作出平移后的新图形。第六章实数知识点一平方根算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根，—a表示：正数a表示，a叫做正平方根，也称为算术平方根，—a7的负平方根。性质：一个正数有两个平方根：土a（根指数2省略）且他们互为相反数。0有一个平方根，为0，记作0=0负数没有平方根平方根与算术平方根的区别与联系：知识点二立方根立方根概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根，表示方法：数a的立方根记作3a，读作三次根号a立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0.开立方概念：求一个数的立方根的运算。开平方的表示：3a(厂)3=a3a3=a3a=3a（a取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。注意:0的平方根和立方根都是0本身。n次方根(扩展)概念：如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。当n为奇数时，这个数叫做a的奇次方根。当n为偶数时，这个数叫做a的偶次方根。性质：正数的偶次方根有两个：土na；0的偶次方根为0：n0=0；负数没有偶次方根。正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。8知识点三实数实数概念：有理数和无理数统称为实数实数的分类：1.按属性分类：2.按符号分类实数和数轴上的点的对应关系（重点实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数. 2的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：1.尺规可作的无理数，如2.尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π,1.010010001……实数大小比较的方法（常用1）平方法2）根号法3）求差法实数的三个非负性及性质：1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。2.非负数有三种形式①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥03.非负数具有以下性质①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于09第七章平面直角坐标系【知识要点】知识点一平面直角坐标系的基础有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）。【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。知识点二点的坐标的有关性质（考点）性质一各象限内点的坐标的符号特征横坐标x纵坐标y正正负正负负正负性质二坐标轴上的点的坐标特征1.x轴上的点，纵坐标等于0；2.y轴上的点，横坐标等于0；3.原点位置的点，横、纵坐标都为0.性质三象限角的平分线上的点的坐标1．若点P上，则m=n，即横、纵坐标相等；2．若点Pyn PnO mXO（m,n）在第一、三象限的角平分线（m,n）在第二、四象限的角平分yn性质四在第一、三象限的角平分线上与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征在第二、四象限的角平分线上1.在与x轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点A、B的纵坐标都等于m；2.在与y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C、D的横坐标都等于n；性质六点到坐标轴距离在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)，则1.点P到x轴的距离为b；2.点P到y轴的距离为a；3.点P到原点O的距离为PO＝yaabOxO性质七平面直角坐标系内平移变化性质八对称点的坐标1、点P(m,n)关于x轴的对称点为P1(m,-n)，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；2、点P(m,n)关于y轴的对称点为P2(-m,n)，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3、点P(m,n)关于原点的对称点为P3(-m,-n)，即横、纵坐标都互为相反数；坐标轴上点P（x，y）连线平行于坐标轴的点点P（x，y）在各象限的坐标特点象限角平分线上X轴Y轴原点平行X轴平行Y轴第一、三象限))0)纵坐标相同横坐标不同不同x＞0y＞0x＜0y＞0x＜0y＜0x＞0y＜0第八章二元一次方程（组）知识点一二元一次方程（组）有关概念一、二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。【注意】1）二元：含有两个未知数；2）一次：所含未知数的项的次数都是1。例如：xy=1，xy的次数是二，属于二元二次方程。3）方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。二、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.【注意】1）在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。2）二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。x＋y＝2.三、二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.【注意】1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个x＋2y＝2一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。2）方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。3）二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。四、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。【注意】1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。x＋y＝5，4x＋4y＝20.有的方程组无解，如：知识点二解二元一次方程组消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。基本思路：未知数由多变少。代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：1.变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。2.代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。3.解：解一元一次方程4.求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数5.写：写出方程组的解。6.验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则解题有误。加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：1.变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。2.加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。3.求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。4.回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。5.写解：写出方程组的解。6.检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，否则解题有误。整体消元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。例(x+5)+(y-4)=8例(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为所以解得m=6,n=2所以解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2x=1y=6m-n=4特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。解二元一次方程的基本步骤：1.消元2.求解3.回代4.写解5.检验解三元一次方程的基本步骤1.变形（变三元一次为二元一次）2.求解：解二元一次方程组3.回代：将求得的未知数的值代入原方程组的一个适当的方程中，得到一个一元一次方程4.求解：解一元一次方程，求出第三个未知数5.写解：用大括号将所求的的三个未知数的值联立起来，即得原方程组的解。知识点三列二元一次方程组解应用题列二元一次方程组解应用题的一般步骤：1.审：审题，明确各数量之间的关系。2.设：设未知数3.找：找题中的等量关系4.列：根据等量关系列出两个方程，组成方程组5.解：解方程组，求出未知数的值6.答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案。第九章不等式与不等式组知识点一不等式的有关概念和性质不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫作不等式.像a子3这样用符号“子”表示不等关系的式子也是不等式。【注意】1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不旁式表示的是不等关系。确表示左右两边的大小；“之”“<”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于后者表示“不大于”(小于或等于“子”表示左右两边不相等。3.在不等式a>b或a<b，a叫做不等式的左边，b叫做不等式的右边。4.在列不等式时，一定要注意表示不等关系的关键词。不等式的解与解集：不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：不等式表示x>ax<a数轴表示【注意】1.不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。2.用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆不等式的性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即若a>b,c>0，则ac>bc（或>）基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即若a>b,c<0，则ac<bc（或<）基本性质4：若a>b，则b<a。基本性质5：若a>b>c，则a>c。【注意】1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质2和性质3的区别，当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。不等式性质与等式性质的相同和不同点：相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子不同点：1、对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数结果依然成立2、对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变；解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。知识点二解一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：ax+b<0或4y24y2等式。一元一次不等式的解集的表示方法：表示的两种形式：①用不等式表示；②用数轴表示。下面我们讨论用数轴表示一元一次不等式解集的四种情况：【注意】1、用数轴表示不等式解集时要“两定”：定边界点，定方向。2、若符号为“>或<”时，边界点为空心，若符号为“≥或≤”,边界点为实心。3、定方向时要注意“小于向左，大于向右”。解一元一次不等式的一般步骤：1去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：一元一次方程一元一次不等式解法的依据方程得两边加（或减）同一个数（或式子方程的解不变方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变解法的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1是负数，不等号要改变方向解得情况一元一次方程只有一个解一元一次不等式可以有无数多个解知识点三解一元一次不等式组一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。不等式组解集的确定方法：【注意】1、在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来确定不等式组的解集的。2、利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。解一元一次不等式组的一般步骤：1.求出不等式组中各不等式的解集2.将各不等式的解决在数轴上表示出来。3.在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。知识点四列一元一次不等式（组）解应用题列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的（2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.（3）列：根据题中的不等关系，列出不等式.（4）解：解出所列不等式的解集.（5）验：检验答案是否符合题意.（6）答：写出答案.在以上步骤中，审题是基础，根据题意找出不等关系是关键，而根据不等关系列出不等式又是解题难点.以上过程可简单表述为:问题—不等式—解答.第十章数据收集、整理与描述知识点一数据的收集与整理统计调查的一般步骤：1、明确问题2、确定对象3、选择合适的调查方法和形式4、展开调查5、统计并整理调查结果6、分析调查结果并得出结论。常见的数据收集方法：问卷调查、实地调查、媒体调查等。数据收集的方式：全面调查和抽样调查。全面调查：为特定的目的对全部考察对象进行的调查，叫做全面调查。全面调查有时也叫普查（如：人口普查）。全面调查的优缺点：全面调查收集到的数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查。抽样调查：抽取一部分对象进行调查，根据调查数据推断全体对象的情况叫抽样调查。所要考察的全体对象叫总体，组成总体的每一个考察对象叫个体，被抽取的那部分个体组成总体的一个样本，样本中个体的数目叫这个样本的容量（样本容量没有单位）。抽样调查的优缺点：抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度。抽样调查的方式：民意调查法、实地调查法、媒体调查法等。【使用抽象调查时的注意事项】1）选取的样本有代表性；2）选取的样本有足够的多；3）选取样本时，要避免遗漏总体中的某一部分。知识点二数据的描述频数概念：某类数据出现的次数称为这类数据的频数，各对象的频数之和等于数据总数。频率概念：频数与总次数的比值称为这类数据的频率，即频率=数数。各对象的频率之和等于1.组数和组距：在统计数据时，把数据进行适当分组，把分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。条形统计图：特点：①能清楚地表示出每个项