山西省2023届高三一模数学试题（解析版）

2023年1月山西省高三适应性调研考试

数学

(时间：120分钟，满分：150分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中有且只有

一个选项符合题目要求)

1.已知集合A={xeN*M≤4x},B=R=国3,则AMB=()

A.[0,3]B.[1,3]C.{1,2}D.{1,2,3}

R答案DD

K解析，

K祥解H先化简集合A,B,再根据补集和交集的概念即可求解.

K详析》依题意可得A={l,2,3,4},8={Λ∣X>3},所以A¾β={l,2,3).

故选：D.

2.复数Z满足∣z(l+6i)∣=2,则IZl=()

A.2B.√2C.1D.—

2

K答案，C

R解析」

R祥解》根据∣α+例=√71P^,和上句=团忆|来求解.

K详析』∣z(l+√3i)∣=∣z∣∣l+√3i∣=2,于是IZl=L

故选：C

3.在天文学中，常用星等加，光照度E等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与光照度满足星普森公式

E

加2-叫=-2.5IgU•已知大犬座天狼星的星等为-L45,天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，据此估

El

计织女星的星等为(参考数据Ig2≈0.3)()

A.2B.1.05C.0.05D.-1.05

K答案HC

K解析U

"羊解Il根据题意，代入数据计算即可得K答案］.

K详析』解：设天狼星的星等为g，光照度为用,织女星的星等为〃4,光照度为

E,1

因为天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，所以京=:，

El4

因为两颗星的星等与光照度满足星普森公式机2一班=一2∙51g∙∣∙,

E1

所以办+1.45=-2.51g,,解得孙=51g2—1.45^0.05.

4

所以，织女星的星等为0.（）5

故选：C

4.经过4（2,0）,8（0,2）,。（2,4）三点的圆与直线依一丁+2—皿=0的位置关系为（）

A.相交B.相切C.相交或相切D.无法确定

K答案，A

K解析H

R祥解》先根据圆上三点坐标求出圆的方程及圆心半径,再根据圆心到直线的距离与半径之间的大小关系,

得出圆与直线的位置关系.

K详析D解:由题知,圆过4（2,0）,3（0,2）,。（2,4）三点，

因为BA=（2,-2）,8C=（2,2）,

所以848。=（2,—2>（2,2）=0,即刚上8。，

22

所以该圆是以AC为直径的圆,可得圆心为（等,等）,即（2,2）,半径r=1J（2-O）+（2-2）=2,

故圆的方程为（x-2）2+（y—2『=4,

因为直线方程为:日-了+2-以=0,

∖2k∖

所以圆心到直线的距离d=+⅛,

√1+Λ2

当Z=O时,有d=0<2=r,所以圆与直线相交，

一附2Or

当AHO时,有τfτp^∏一,所以圆与直线相交，

⅜+1

综上:圆与直线的位置关系是相交.

故选:A

5.己知矩形ABCO中，E为AB边中点,线段AC和OE交于点/，则BF=（）

A,--AB+-ADB.-AB--AD

3333

C.-AB--ADD.--AB+-AD

3333

K答案DD

K解析，

K样解D取CO中点G,可证得四边形BEOG为平行四边形，得到3G〃O£,结合三角形中位线性质可

确定F为AC上靠近A的三等分点，从而根据向量线性运算推导得到结果.

K详析员取Co中点G,连接8G,交AC于点H,

BE=DG,6E=DG,二四边形BE。G为平行四边形，

.∙.BGHDE,又E为AB中点、，；.AF=FH，同理可得：CH=FH,

AF=-AC=-(AB+

33、

1ɔ1

.∙.BF=BA+AF=-AB+-(AB+AD}=―AB+-AD.

3、>33

故选：D.

6.已知随机变量。的分布列如下:

0012

2

PO-A)22Λ(I-A)Pi

其中i=l,2,若5<P]<P2<l,则()

A.E^<E(ξ2),D(3⅞+1)<D(3⅞+1)B.E(ξ,)<E(ξ2),r>(3⅞+l)>Z)(3⅞+l)

C.E(O)>E©),D(3⅞+1)<Z)(3⅞+1)D.E值)>E值)，D(3⅞+1)>D(3^2+1)

K答案，B

K解析H

K祥解H由题知。B(2,p),进而根据二项分布的期望与方差公式，方差的性质依次讨论各选项即可得

K答案H.

K详析11解：由表中数据可知。3(2,pj,

:∙E(q)=2pi,D⑹=2Pi(I-pj,

又∙∙∙g<p∣<P2<ι,

£«,)<£«,),。(5)-。(42)=2(月一02)-2(.；一2；)=2屹一夕2)(1-0-「2)>0,

.∙.P(⅞)>D(<2),。(3刍+1)=9。侑)>9。©)=0(35+1).

故选：B

7.近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿

石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的

数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是()

A.方案一更经济B.方案二更经济

C.两种方案一样D.条件不足，无法确定

K答案HB

K解析』

K祥解D设第一次价格为Pi>0,第二次价格为P2>0,进而求解两种方案的平均数，并比较大小即可.

R详析》解：设第一次价格P1>0,第二次价格为p2>0,

方案一：若每次购买数量〃，则两次购买的平均价格为X=四〃+化〃=旦土卫,

2n2

2m2

方案二：若每次购买钱数为，则两次购买的平均价格为-mm11,

------~↑--------------------↑

PlPlPlPi

所以，Xf=且土&一务区=9上当匹=乒里≥0,即看≥χ,,当且仅当PLP2

2P1+P22(p∣+p?)2(p]+pz)

时，“=”号成立，

所以方案二更经济.

故选：B

8.定义在R上的函数〃x)=2sin"+T(“N*)满足在区间(一沆)内恰有两个零点和一个极值

点，则下列说法正确的是()

A.7(x)的最小正周期为∣∙

B.将/(X)的图象向右平移(个单位长度后关于原点对称

C./(X)图象的一个对称中心为

D./(x)在区间(-/0)上单调递增

R答案UD

R解析D

K祥解》根据题意可求出勿的值，从而可得到/(x)的K解析》式，再根据K解析F式逐项分析即可.

π,兀GπC

——≤------+—＜0

K详析》依题可知工＜女＜丁，于是3＜。＜6,于是,263,

23τιω兀，34

Uπ

.∙∙4VG<5,：.ω=5,.∙.∕(x)=2Sin5xH—

3

2τΓɔJΓɔ^rr

对于A,由T=」=f,则/(x)的最小正周期为三，故A错误;

co55

对于B,将/(x)的图象向右平移三个单位长度后得g(x)=2sin∣5x+24

2π

贝IJg(O)=2sin百，所以g(x)不关于原点对称，故B错误;

一1,所以(2,0)不是/(x)图象的一个对称中心，故C错误;

∖jτ∖ττIJT7Γ1ITC'

对于D,由xe[-q,0）则5x+]∈[-],1J,所以/（x）在区间[一不,OJ上单调递增，故D正确.

故选:D.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9.某同学用搜集到的六组数据（Xj,y）（i=l,2,,6）绘制了如下散点图,在这六个点中去掉B点后重新进行

回归分析，则下列说法正确的是（）

.A

.C

OX

A.决定系数N变小B.相关系数『的绝对值越趋于1

C.残差平方和变小D.解释变量X与预报变量y相关性变弱

K答案XBC

K解析H

K样解》从图中分析得到去掉B点后，回归效果更好，再由决定系数，相关系数，残差平方和和相关性的

概念和性质作出判断.

K详析D从图中可以看出8点较其他点，偏离直线远，故去掉8点后，回归效果更好，

决定系数R2越接近于1,所拟合的回归方程越优，故去掉8点后，R2变大，越趋于1,A错误；

相关系数H越趋于1,拟合的回归方程越优，故去掉B点后，故相关系数，∙的绝对值越趋于1,B正确；

残差平方和变小拟合效果越好，故C正确；

解释变量X与预报变量〉相关性增强，D错误.

故选：BC

10.设α>0,b>0,a+b=l,则下列结论正确的是（）

A.的最大值为LB.的最小值为:

42

C.—I—的最小值为9D.J^"+'的最小值为6

ab

!（答案XABC

K解析】

K祥解力对于AD,利用基本不等式判断即可；对于B,利用不等式(史2)24色互判断即可，对于c,

22

利用基本不等式'T'的妙用判断即可.

K详析X对于A,因为α>(),b>0,a+b=∖,

则他≤("2)2=J.,当且仅当a=。=’时取等号，故A正确；

242

“TcBΛL∕Q+“∖2,Q~+“~

对于B,因为(----)2≤-------,

22

故当且仅当α=∕,=∙L时取等号，即/+〃的最小值;，故B正确；

222

升工C4ι1/414b。<,C14bQ

对丁C,—I—=(—I—)(Q+/?)=5H-------1—≥5+2J——=9,

ahahab∖ab

当且仅当世=f且a+Z?=l,即b=',a=2时取等号，

ab33

41

所以一+丁的最小值为9,故C正确；

ab

对于D,+班)?=1+≤1+2x,=2,

2

故&+括≤√∑,当且仅当α=b=g时取等号，即G+振的最大值行，故D错误.

故选：ABC.

IL1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21L该数

列的特点是前两项为1,从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列{4}

称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的

应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记S“为该数列的前〃项和，则下列结论正确的是()

A.a”=89B.<⅛23为偶数

+fi⅛23=42024+β4~‰2s

C.ax+ai+a5+D,α2+π4+α6+202

R答案UACD

K解析』

K祥解D根据递推关系计算出小的值可判断选项A;根据数列中项的特点可判断选项B；由

4ι+4f=α”+∣("22)可得4,=4向一α,ι("N2)，再化简可判断选项C；由4=4,

a,I+an=α,m("N2)化简整理可判断选项D,进而可得正确选项.

K详析》对于A：由题意知：α∣=l,a2-I,q=2,%=3,%=5，&=8，a1=∖3,¾=21,

a9=a1+as=13+21=34,tz∣0=ag+a9=21+34=55,a”=4+40=34+55=89,

故选项A正确：

对于B：因为该数列的特点是前两项为1,从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字的特

点为：奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，呈奇奇偶的顺序排列，而2023÷3=674(组)

1(个)，故生。23为奇数，选项B错误；

对于C：由题意知：+an=an+l(π>2),所以q,=a,,+ι-a,ι("N2)

4+%+/+'+。2023=4+(%-”2)+(“6-%)++(4O24—”2022)="1+”2024—“2

=。2024，故选项C正确；

t=,

对于D：a2+a4+ab++a2024=4+(4+%)+(.4+4)+'^^(¾022^*^¾023),^2023

故选项D正确，

故选：ACD.

12.在棱长为1的正方体ABCz)-A耳GA中，P在侧面CCQQ(含边界)内运动，。在底面ABCO(含

边界)内运动，则下列说法正确的是()

A.若直线BP与直线AD所成角为30。，则尸点的轨迹为圆弧

B.若直线BP与平面ABC。所成角为30。，则P点的轨迹为双曲线的一部分

C.若IAQl=白，则。点的轨迹为线段

D.若。到直线DOl的距离等于Q到平面ABB1A的距离，则点Q的轨迹为抛物线的一部分

K答案，ABD

K解析工

K祥解H画出正方体ABCD-AAGR,根据各选项的不同条件对图形进行分析并运算即可得出轨迹问

题的结论.

K详析11直线BP与直线AO所成角即为NPBC，在RtZ∖3CP中，tan30=CCCP=且，故产

BC3

在以C为圆心，也为半径的圆落在侧面CGA。内的圆弧上，A正确；

3

过尸作C于点R(如图)，设片C=α,P∣P=b,直线5尸与平面ABc。所成角即为NP6[,

在RtΛPBPi中，tanNPBA=必=JL_=正，从而3〃_/=],故点P的轨迹为双曲线的一部分，

BAJa2+13

故B正确；

在RtZ∖"OQ中，IAa=立=JDn2+0=2,从而IDQI=故。在以O为圆心，g为半径的圆落在

22

底面ABCO内的圆弧上，C错误；

Q到直线DDl的距离等于Q到平面ABB1A1的距离，即Q到点D的距离等于Q到直线AB的距离，故点Q

的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.请将正确K答案》填入答题卡中对应的

位置)

13.若/(x)=tanx,则((X)=.

K答案》—

COSX

K解析H

K祥解》根据基本初等函数的求导公式及导数的四则运算法则即可计算出结果.

K详析Xfr()一「si”'〕_sin'xcosX-sinxcosrX_cos2x+sin2x_1

Icosx)cos2xcos2xcos2x

故K答案D为：-ɪ-.

COSX

14.已知随机变量XN(3,OJ),且P(XWa)=P(X"),则(加+工)的展开式中常数项为.

K答案U60

R解析』

K祥解D通过正态分布得出α=2,再通过二项展开式的通项得出常数项的值.

K详析H由正态分布易得α=2,

设二项展开式第A:+1项G=U(2χ2)6Y(jL)=C*26^λ%l2^3*.

则常数项为当A=4时，值为60.

故R答案H为：60.

15.写出一个同时满足下列三个条件的函数/(x)的K解析H式.

①“l+x)=∕(lτ);②/6+》)=_/怎7)；③“X)在(0』)上单调递增.

K答案，/(X)=-CoSTLr(K答案》不唯一，满足条件即可)

K解析H

K祥解』根据题意得/(x)图像关于直线X=I对称，点(g,0)对称，进而结合三角函数性质和条件③求

解即可.

K详析11解：由①/(l+x)=∕(l-x)可知，函数/(力图像关于直线x=l对称；

可知函数/(x)图像关于点||,0

对称;

由②/(l+)^4∣τ

所以，〃2+x)=_/(l-X)=T(I+x),即/(l+x)=-√∙(x),

所以〃2+x)=—/(x+l)="x),即函数/(x)的周期为2，

故考虑余弦型函数，不妨令/(x)=ACOsox,

2兀z

所以，(υ=-=π,即/(x)=ACOSπx,满足性质①②，

由③/(x)在(0,1)上单调递增可得A<0,

故不妨取A=T,即/(X)=-CoS⑪，此时满足已知三个条件.

故K答案H为：/(X)=-COS⑪

16.已知抛物线y2=4χ的焦点为下，点A(4,l),P(x,y)为抛物线上一动点，则△抬产周长的最小值为

K答案75+√W##710+5

R解析H

K祥解》过P作准线的垂线，垂足为Q,过A作准线的垂线，垂足为B,进而结合抛物线的定义求解即可.

K详析D解：由题知F(LO),准线方程为户一1.

如图，过P作准线的垂线，垂足为Q,过A作准线的垂线，垂足为8,

所以APA尸周长=IPFl+∣P4∣+∣AE∣=∣PQ∣+∣P4∣+∣AF∣≥∣AB∣+∣AF∣=5+√Iδ,当且仅当P为与

抛物线的交点P时等号成立.

故K答案D为：5+JlU

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在①Z>(l+cosC)=6c∙sinB;(g)^sinA-‰inBj=sin2C-^sin2B-,③

3bcosC+ccosB=α+b这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题.

问题：在中，角A,8,。所对的边分别为“，b,C,且.

(1)求角C的大小；

⑵若α=2,6=3,AB边上一点尸满足I依卜2IPAI,求IPq

TT

K答案，(1)条件选择见K解析％C=-

3

⑵巫

3

R解析H

K祥解』(1)选①：由正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出角C的大小；选②：由正弦定理的边

角互化结合余弦定理得出角C的大小；选③：由正弦定理的边化角公式得出角C的大小；

(2)由CP=Ie4+gcB结合向量的运算得出IPC1.

K小问1详析》

选①,由人(1+COSC)=Gc∙sin3及正弦定理得sin6(1+cosC)=GSinCSinB.

又3∈(θ,,，sin3，()，于是1+cosC=百SinC，2∣-^-sinC-^cosC=1,

即Sin(C-q)=,,又C∈(0,兀)，；.C—a=k，故C=Q∙

(1A23/1A23

选②.由SinA——sinB=sin2C——sin25及正弦定理得a——b=C2——h2,

I2)4I2J4

化简得/+∕J2-’2=必，于是COSC=.+"-C-=也=J.,又CW(O,兀)，故C=色.

2ab2ab23

选③.由3〃COSC+ccosB=Q+Z?及正弦定理得

3sinBcosC÷sinCcos3=sinA+sinB=sinβ+sin(C+β)=sinB+sinCcosB+cosCsinB,又

B∈(0,π),ΛsinB≠(),

1ɪr

于是3cosC=l+cosC,CoSC=],又C€(0,兀)，故C=§.

K小问2详析』

221

CP=CB+-BA=-CA+-CB,

333

-21-2424

两边平方有：CP=-CB+-CA+-CACB,

999

2144152ɔʌ/n

所以CP=l×4+-×9+-×3×2×-!-=-,∣pcμ±√H.

99929113

18.从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增等差数列｛4｝的前三项.

第1列第2列第3列

第1行723

第2行I54

第3行698

（1）求数列｛%｝的通项公式，并求｛4｝的前〃项和S.；

,1,i

(2)若b,=F，记｛f4｝的前〃项和北，求证方＜不.

凡2

K答案Il(I)4=2〃，s,,=n2+n

(2)证明见K解析》

R解析［

K祥解II(I)由题知弓=2,4=4,4=6,进而根据等差数列公式计算即可；

(2)根据2=工＜：(不二一丁二］,再结合裂项求和法求解即可证明.

4*2∖2Π-12n+1J

K小问1详析』

解：由题意，选出3个数字组成的等差数列的前三项为：ai=2,a2=4,a3=6,

所以d=2,an=2n,

所以S,,="2+2α="+〃

2

K小问2详析?

、_i_ii_i_1/i!_、

证明："_胃_#<4〃2_]_（2〃_1）（2“+1）—5（2“_]_2“+1,

TliIlnllifii）ifiiA

1=bMτ++石尸5〔/封+如一封++5〔罚一五大

11

1-

22π+l

因为〃∈N*，所以----->0,1

2/2+12π+l

所以7L<g]ι-

Ξ⅛）4

19.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面平面ABC。，∕¾。是边长为2等边三角形，底

面ABCZ)为直角梯形，其中4C〃AO,ABYAD,AB=BC=∖.

P

(1)求8到平面PC。的距离;

(2)线段PD上是否存在一点E，使得平面E4C与平面ZMC夹角的余弦值为巫？若存在，求出店的

5PD

值；若不存在，请说明理由.

K答案D(1)叵

7

—PE1

(2)存在，---=—

PD3

K解

K祥解D(1)建立空间直角坐标系利用坐标法求得点到平面的距离;

(2)设尸E=ZlP0,利用坐标法结合两平面夹角余弦值列方程，解得/1即可.

K小问1详析』

取的中点0,连接P。，OC,

QVPA。为等边三角形，

.-.POLAD,

又平面，平面ABC。，平面24。c平面ABCD=AD,

.∙.PO，平面ABC。，

如图所示，以。为坐标原点，直线oc,0D,OP分别为*,y,Z轴建立空间直角坐标系,

则A(0,T,0),D(O,1,O),C(1,O,O),B(1,-1,O),P(θ,θ,√3),

CP=(-1,O,√3),CD=(-1,1,0),

设平面Pa)法向量为。=(X,y,z),

n-CP=-X+JJZ=O

n±CP，n±CD>即，令z=l,则"=(石,6,1),

n-CD=-x+y=0

又BC=(0,1,0),

BCn√3×0+√3×l+l×0√3√21

故B到平面PcD的距离”=

同炳q可R7

K小问2详析』

设E(sj,r),注=ZI防，.∙.(s,f,r-6)=%(0,1,-百),

.∙.f(θ,Λ,√3-√3∕l),

则AC=(1,1,0),AE=^0,Λ+1,ʌ/ɜ—∙∖∕3Λj,

设平面EAC的法向量为m=(X',/,z,),

m∙AC=x'+y'=0

,∙,m±AC.mlAE，则j%AE=(zl+l)y+回网∕=θ'令"同小)，则

∕n=(√3(l-Λ),√3(Λ-l),Λ+l),

又平面D4C的法向量为。P=(0,0,6),

幽)+∣

于是COS(OP,色°PT______1)|__________W+ι_√ιo

2222

OPM√3λ∕3(l-Λ)+3(λ-l)+(λ+l)√7∕l-102+75

化简得3万一10丸+3=0,又/le[0,l],得几=；，

PE1

n即π----，

PD3

PE1

故存在点E,此时一=-.

PD3

20.假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球,

这些小球除颜色外完全相同.

(1)每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的

条件下，第二次取出的是红球的概率；

(2)若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，

求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.

4

K答案X(1)-

7

22

(2)—

35

K解析D

K祥解II(I)利用对立事件的概率公式与条件概率公式，结合古典概型求解即可;

(2)利用全概率公式，结合古典概型求解即可

K小问1详析上

依题意，记事件Aj表示第i次从第一个盒子里取出红球，记事件B表示两次取球中有红球,

7

则P(B)=I-P⑻=

1010

2×13×2

5×45×44

77

10

R小问2详析卜

记事件Cl表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件。表示从第二个

盒子里取出红球，

则P(D)=P(G)尸(QlG)+p(G)P(o∣G)=∣χm+∣xg=∣∣.

22

21.双曲线。：二—与=l(α>0/>0)的左、右顶点分别为A,B,焦点到渐近线的距离为G，且过点

Crb1

(4,3).

(1)求双曲线。的方程；

(2)若直线/与双曲线C交于N两点，且心M=-2%w，证明直线/过定点.

K答案，(1)—-ɪɪl

43

(2)证明见K解析』

K解析，

K祥解》(1)根据双曲线过点(4,3)和焦点到渐近线的距离为G列出方程组，解之即可；

(2)设直线BN的斜率为％,由题意直线A"的斜率为一2A,将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理

求出M,N两点的坐标，再求出M,N两点所在的直线方程即可求解.

K小问1详析1

Yy2

由双曲线C:J=1(0>0/>0)可得渐近线为>=±‘》，

下

不妨取渐近线y=2X即展一到=O

a

be

由焦点到渐近线的距离为由可得=6即8=6,

d=∖∣a2+/?2

4232

————1

由题意得b2,得。=2,

b=ʌ/ɜ

O2

从而双曲线C的方程为二-二=L

43

K小问2详析］

设直线BN的斜率为k，则直线AM的斜率为—2k,

由题意可知：直线BN的方程为y=-x-2),直线A〃的方程为y=-2A(x+2),

22

二一q=1

联立直线BN与双曲线方程〈43得(3—4攵2)》2+16k2万—16k2—12=0,

y=k^x-2)

16⅛2+12Sk2+6

于是2/，从而XN从而以=至二T

4公一34k2-3

"29

工-汇=1

联立直线AA/与双曲线方程{43得(3-16∕)χ2-64尸χ-64%2-12=0,

y--2MX+2)

工曰C64A~+12