模型02含弹簧的物理模型

模型二、含弹簧的物理模型【模型概述】纵观历年的高考试题，和弹簧有关的物理试题占有相当大的比重。高考命题者常以弹簧为载体设计出各类试题，这类试题涉及静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能问题等，几乎贯穿了整个力学的知识体系，能很好能很好地考查学生的综合分析能力。【模型特点】中学物理中的

“弹篑”和“橡皮绳”也是理想化模型，具有如下几个特性:

(1)弹力遵循胡克定律F=kx，其中x是弹簧的形变量。

(2)轻:即弹簧(或橡皮绳)的重力可视为零。

(3)弹簧既能受拉力，也能受压力(沿着弹簧的轴线)，橡皮绳只能受拉力，不能受压力。(4)由于弹簧和橡皮绳受力时，其形变较大，发生形变需要一段时间，所以弹簧和橡皮绳中的弹力不能突变。但是，当弹簧和橡皮绳被剪断时，它们产生的弹力立即消失。【模型解题】胡克定律、牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律、动量定理、动量守恒定律【模型训练】【例1】如图所示，一劲度系数为k、原长为l0的轻弹簧，上端固定在天花板上，下端悬挂一个质量为m的小球，小球处于静止状态。弹簧的形变在弹性限度内。已知重力加速度为g。下列判断中正确的是（）A．弹簧的伸长量为 B．弹簧的伸长量为mgkC．弹簧的总长度为l0+mgk D．弹簧的总长度为【答案】A【详解】AB．由小球静止，可知弹簧的弹力F=mg根据胡克定律，得弹簧的伸长量故A正确，B错误；CD．弹簧的总长度为故CD错误。故选A。变式1.1如图所示，将一轻弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接物体A，A下面再用棉线挂一物体B，A、B质量相等，g为当地重力加速度。烧断棉线，下列说法中正确的是（）A．烧断棉线瞬间，A的加速度大小为gB．烧断棉线之后，A向上一直加速C．烧断棉线之后，A在运动中机械能守恒D．在最高点弹簧弹力等于mg【答案】A【详解】A.设A、B质量均为m，烧断棉线前，对A、B整体受力分析，知弹簧的弹力F=2mg烧断棉线瞬间，弹簧的弹力不变，对A，根据牛顿第二定律可得Fmg=maA解得aA=g故A正确；B.烧断棉线后，A在弹力和重力的作用下向上运动，弹力先大于重力，后小于重力，所以物体A向上先加速后减速，故B错误；C.烧断棉线后，弹簧弹力对A做功，故A的机械能不守恒，故C错误；D.烧断棉线后，A在重力和弹力的作用下做简谐运动，在最低点回复力大小为F=2mgmg=mg方向向上，根据对称性可知，在最高点回复力大小为F'=mg方向向下，即mgF弹=mg解得F弹=0故在最高点,速度为零时，弹簧弹力为零，即弹簧恢复原长，故D错误。故选A。变式1.2两根相同的轻弹簧的原长均为l，将两弹簧与两相同物体按如图所示的方式连接并悬挂于天花板上，静止时两根弹簧的总长为2.6l，现用手托着B物体，使下面的弹簧2恢复到原长，则下面说法正确的有（

）A．悬挂稳定时弹簧1的长度为1.2l，弹簧2的长度为1.4lB．弹簧2恢复原长时弹簧1长度为1.4lC．物体A上升的距离为0.4lD．物体B上升的距离为0.4l【答案】D【详解】A．悬挂稳定时，弹簧1的弹力等于A、B两个物体的总重量，而弹簧2的弹力等于B物体的重量，根据平衡条件而解得，因此弹簧1的长度为1.4l，弹簧2的长度为1.2l，A错误；BCD．弹簧2恢复原长时，弹簧1的弹力等于A物体的重力，弹簧1的伸长量变为0.2l，因此长度变为1.2l，这样A物体上升的距离为0.2l，B物体上升的距离为0.4l，BC错误，D正确。故选D。【例2】如图所示，内壁光滑的半球形容器固定在水平面上。将一轻弹簧的一端固定在半球形容器底部处，为球心。当弹簧另一端与质量为的小球相连时，小球静止于点。已知与水平方向的夹角为，则半球形容器对球的支持力和弹簧的弹力分别为（）（）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】作出小球的受力分析图，由相似三角形法可得其中可得支持力弹簧的弹力故选B。变式2.1如图所示，质量均为m的A、B两球，由一根劲度系数为k的轻弹簧连接静止于半径为R的光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R且球半径远小于碗的半径．则弹簧的原长为（

）A．＋RB．＋RC．＋RD．＋R【答案】D【详解】以A球为研究对象，小球受三个力：重力、弹力和球壳的支持力如图所示由平衡条件，得到解得根据几何关系得则所以故弹簧原长故选D变式2.2如图所示，在半径为R的光滑半球形碗中，一根水平放置的轻弹簧两端连接A、B两球，两球静止于半球形碗中。已知A、B球质量均为m，轻弹簧的劲度系数为k，A、B两球之间的距离为R，球的半径远小于碗的半径，求：（1）半球形碗对A球的支持力大小；（2）弹簧的原长。【答案】（1）；（2）【详解】（1）如图，设，半球形碗对A球的支持力大小为N，弹簧的原长为，形变量为由几何关系得由平衡条件得联立得（2）由平衡条件得联立得【例3】如图所示，质量分别为m1和m2的两块方木中间以轻弹簧相连，在空中设法使弹簧处于自然长度（即其中没有弹力）后，给它们相同的初速度，向上抛出。在空中时，发现系统始终保持竖直，且弹簧长度保持自然长度。空气阻力不计。则（）A．m1一定等于m2B．m1一定大于m2C．m1一定小于m2D．不能通过该现象判断m1和m2的大小关系【答案】D【详解】两块方木以相同的初速度，向上抛出，弹簧没有弹力，只受重力作用解得具有相同的重力加速度，同步做竖直上抛运动，与质量大小无关，不能通过该现象判断m1和m2的大小关系。故选D。变式3.1如图所示，一小球从空中下落，从它刚接触弹簧到把弹簧压缩至最短的过程中，若不计空气阻力，则关于小球能量的变化，下列判断正确的是（）A．动能一直减小 B．动能先增加后减小C．机械能先增加后减小 D．机械能保持不变【答案】B【详解】AB．从接触弹簧到压缩至最短的过程中，弹簧的弹力逐渐增大，小球所受重力不变，开始小球受到的合力竖直向下，合力大小逐渐减小，则小球的加速度减小，速度增加；当弹力大于重力后小球所受合力方向竖直向上，合力大小逐渐增大，即加速度向上增加，速度减小，即动能先增加后减小，故A错误，B正确。CD．整个过程中，弹簧的弹力一直对小球做负功，则小球的机械能一直减小，选项CD错误。故选B。变式3.2如图所示，用轻弹簧将质量均为m=1kg的物块A和B连接起来，将它们固定在空中，弹簧处于原长状态，A距地面的高度h1=0.15m．同时释放两物块，设A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B压缩弹簧后被反弹，使A刚好能离开地面（但不继续上升）．已知弹簧的劲度系数k=100N/m，取g=10m/s2．求：（1）物块A刚到达地面的速度；（2）物块B反弹到最高点时，弹簧的弹性势能；（3）若将B物块换为质量为2m的物块C（图中未画出），仍将它与A固定在空中且弹簧处于原长，从A距地面的高度为h2处同时释放，C压缩弹簧被反弹后，A也刚好能离开地面，此时h2的大小．【答案】（1）1.73m/s；（2）0.5J；（3）0.125m【详解】试题分析：（1）依题意，AB两物块一起做自由落体运动①（1分）设A物块落地时速度为v1，此时B的速度也为v1则有②（1分）（2）设A刚好离地时，弹簧的形变量为x，此时B物块到达最高点对A物块，有③（1分）A落地后到A刚好离开地面的过程中，对于A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，有④（3分）由②③④可得：⑤（1分）（3）换成C后，设A落地时，C的速度为v2，则有⑥（1分）A落地后到A刚好离开地面的过程中，A、C及弹簧组成的系统机械能守恒，则有⑦（3分）联立解得（1分）【例4】如图所示，一质量不计的弹簧原长为x0=12cm，一端固定于质量m=3kg的物体上，另一端一水平拉力F。物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.225，当弹簧拉长至x1=16.5cm时，物体恰好向右匀速运动（设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，弹簧始终在弹性限度内，）；（1）若将弹簧压缩至x2=8cm，求物体受到的摩擦力大小及方向。（2）若将弹簧拉长至x3=18cm，求物体体受到的摩擦力大小及方向。【答案】（1）6N，方向向右；（2）6.75N，方向向左【详解】（1）匀速运动时，根据平衡条件得解得最大静摩擦力为若将弹簧压缩至x2=8cm，弹簧的弹力为则物体处于静止状态，物体所受的摩擦力为静摩擦力，大小为6N，弹力方向向左，摩擦力方向向右；（2）若将弹簧拉长至x3=18cm，弹簧的弹力为物体向右运动，物体受到滑动摩擦力，大小为6.75N，方向向左。变式4.1如图所示，一质量m=3kg的物体静止在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数，原长的轻质弹簧一端固定于物体上，另一端施一水平拉力F。已知最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取。（1）当弹簧长度为21cm时，物体恰好向右匀速运动，求弹簧的劲度系数；（2）当弹簧长度为12cm时，求物体受到的摩擦力；（3）当弹簧长度为23cm时，求物体受到的摩擦力。【答案】（1）400N/m；（2）12N，方向向右；（3）24N，方向向左【详解】（1）滑动摩擦力f=μmg=0.8×3×10N=24N物体匀速运动时，由平衡条件可知F1=f=24N根据胡克定律弹力F1=k（x1x0）代入数据可得k=400N/m（2）若将弹簧压缩至12cm，弹力的大小F2=k（x0x2）=400×（0.150.12）N=12N＜f=24N可知物体仍然静止，受到向右的静摩擦力，大小等于弹簧的弹力，为12N。（3）若将弹簧拉长至23cm，弹力的大小F3=k（x3x0）=400×（0.230.15）N=32N＞f=24N物体不能保持静止，所以物体受到的摩擦力为向左的滑动摩擦力，大小是24N。变式4.2如图所示，两木块A、B质量分别为、，中间由水平轻质弹簧相连，弹簧劲度系数，弹簧允许的最大形变量为15cm，水平拉力作用在木块A上，系统恰好在水平面上做匀速直线运动，重力加速度大小g取，已知木块A、B与水平面间的动摩擦因数相同且均为μ（大小未知）。求：（1）μ的值；（2）弹簧的伸长量为多少；（3）若将另一木块C放置在木块B上，施加拉力，使系统仍做匀速运动（弹簧在弹性限度内），拉力的最大值是多少？木块C的质量是多少？【答案】（1）；（2）；（3），【详解】（1）设木块与水平面间动摩擦因数为μ，选AB整体为研究对象，系统做匀速运动，则有解得（2）设弹簧伸长量为，选B为研究对象，B做匀速运动，则有解得（3）选A为研究对象选B和C整体为研究对象解得，【例5】如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，轻弹簧的一端固定在斜面的底端，弹簧处于原长时另一端与斜面上的点平齐。质量为的小滑块从斜面上的点由静止下滑，滑块在点接触弹簧并压缩弹簧到点时开始弹回。已知、间的距离为0.4m，、间的距离为0.2m，弹簧始终处于弹性限度内，重力加速度取，取3.87。（1）若斜面光滑，求滑块运动中弹簧弹性势能的最大值：（2）若滑块第1次离开弹簧后，沿斜面上升的最高点位于、的中点，求滑块第2次经过点时的速度大小。（结果保留3位有效数字）【答案】（1）；（2）【详解】（1）若斜面光滑，滑块和弹簧组成的系统机械能守恒，则当滑块压缩弹簧到点时弹簧的弹性势能最大，由能量守恒定律可得解得（2）设滑块与斜面间的动摩擦因数为，滑块由点下滑，压缩弹簧弹回后运动到、中点的过程，由动能定理有对滑块由点下滑到第2次经过点过程，由动能定理可得联立解得变式5.1如图所示，一轻弹簧一端固定在倾角为θ=37º的固定斜面的底端，另一端拴住质量为m1=6kg的物体P，Q为一质量m2=10kg的物体，系统处于静止状态，弹簧的压缩量x0=0.16m。现给物体Q施加一个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2s时间内，F为变力，0.2s以后F为恒力。已知斜面光滑且足够长，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2求：（1）弹簧的劲度系数k；（2）物体Q做匀加速运动的加速度大小a；（3）前0.2s内拉力F做的功。【答案】（1）600N/m；（2）；（3）J【详解】（1）开始时，对整体受力分析，平行斜面方向有代入数据，解得k=600N/m（2）前0.2s时间内F为变力，之后为恒力，表明0.2s时刻两物体分离，此时P、Q之间的弹力为零且加速度大小相等，设此时弹簧的压缩量为x1，对物体P，有前0.2s时间内两物体的位移联立解得（3）前0.2s内，对P、Q整体根据动能定理其中速度v=at位移代入数据得WF=J变式5.2如图所示，质量的物块放在竖直弹簧上端并紧挨着竖直墙壁，水平向左、大小的力作用在物块上，物块恰好不下滑，此时弹簧的长度。已知弹簧的劲度系数、原长，物块与竖直墙壁之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小，求：（1）弹簧对物块的弹力大小；（2）竖直墙壁对物块的摩擦力大小和方向；（3）物块与竖直墙壁之间的动摩擦因数。【答案】（1）；（2），方向竖直向上；（3）【详解】（1）根据胡克定律有解得（2）对物块受力分析，竖直方向上有解得方向竖直向上。（3）物块在水平方向上有物块与竖直墙壁之间的动摩擦因数解得【例6】如图所示，质量为10kg的物体M放在倾角为的固定斜面上，M与斜面间动摩擦因数，M用平行于斜面的轻绳绕过光滑定滑轮与质量为8kg的物块m相连。劲度系数k＝200N/m的弹簧与m相连，也与地面相连，设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等，重力加速度取，求：（1）若M静止在斜面上，弹簧伸长量为8cm，求M所受到的摩擦力；（2）若M刚要开始运动，求此时弹簧对物块的弹力的大小。【答案】（1）36N，方向沿斜面向下；（2）30N或70N【详解】（1）对物块m分析受力情况如图1所示根据平衡条件可得解得联立解得轻绳的拉力为T＝96N以物体M为研究对象，受到重力、支持力、轻绳拉力，由于，摩擦力方向沿斜面向下，沿斜面方向的平衡方程为代入数据解得f＝36N摩擦力的大小为36N，方向沿斜面向下（2）物体M与斜面间的最大静摩擦力为物体M刚要向上运动时，设轻绳的拉力为，对物体M沿斜面方向根据平衡条件可得解得对物块m，根据平衡条件可得解得物体M刚要向下运动时，设轻绳的拉力为，沿斜面方向的平衡方程为解得对物块m，根据平衡条件可得解得变式6.1如图所示，质量为m的小球甲穿过一竖直固定的光滑杆拴在轻弹簧上，质量为4m的物体乙用轻绳跨过光滑的定滑轮与小球甲连接，开始用手托住物体乙，轻绳刚好伸直，滑轮左侧绳竖直，右侧绳与水平方向夹角为，某时刻由静止释放物体乙（足够高），经过一段时间小球甲运动到Q点，O、Q两点的连线水平，，且小球甲在P、Q两点处时弹簧的弹力大小相等。已知重力加速度为g，，。求：（1）弹簧的劲度系数k；（2）小球甲位于Q点时的速度大小v；（3）在小球甲从P点上升到PQ中点的过程中，弹簧弹力做的功W。【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）由几何关系知则小球位于P点时弹簧的压缩量为对P点的小球由力的平衡条件可知解得（2）当小球运动到Q点时，小球甲的速度与绳子OQ垂直，所以物体乙的速度为零，又小球、物体和弹簧组成的系统机械能守恒，则由机械能守恒定律得解得（3）在小球甲从P点上升到PQ中点的过程中，弹簧弹力做的功变式6.2如图所示，质量为10kg的物体M放在倾角为的斜面上，M与斜面间摩擦因数，M用平行于斜面的轻绳绕过光滑定滑轮与质量为5kg的物块m相连。劲度系数k＝200N/m的弹簧与m相连，也与地面相连，设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。（1）若M静止在斜面上，弹簧伸长量为8cm，求此时绳子上的拉力大小；（2）在第一问的基础上，求M所受到的摩擦力的大小和方向；（3）若M刚要开始运动，求此时弹簧弹力的大小。【答案】（1）；（2）6N，方向沿斜面向下；（3）40N，20N【详解】（1）对物块m分析受力：根据平衡条件可得根据胡克定律可得其中解得联立解得轻绳的拉力为（2）以物体M为研究对象，受到重力、支持力、轻绳拉力，假设摩擦力方向沿斜面向下，沿斜面方向根据平衡条件可得代入数据解得假设正确，所以摩擦力方向沿斜面向下；（3）物体M与斜面间的最大静摩擦力为①物体M刚要向上运动时，设轻绳的拉力为，对物体M沿斜面方向根据平衡条件可得：对物块m,根据平衡条件可得解得此时弹簧处于伸长状态②物体M刚要向下运动时，设轻绳的拉力为，对物体M沿斜面方向根据平衡条件可得：对物块m，根据平衡条件可得解得此时弹簧处于压缩状态.【例7】如图所示，粗糙水平面长为，与竖直面内半径为的光滑半圆形轨道在点相接。质量为的物体甲（可视为质点）将弹簧压缩到点后由静止释放，甲脱离弹簧后，在水平面滑行一段距离后滑上竖直轨道，并恰好能通过点。已知甲与水平面间的动摩擦因数，重力加速度为。（1）求甲通过点时的速度大小；（2）求弹簧被压缩到点时的弹性势能；（3）若在点放置另一个质量为的物体乙（可视为质点，图中未画出），使甲把弹簧仍然压缩到点，由静止释放甲，甲、乙发生弹性正碰后，撤去甲，此后乙沿半圆形轨道运动，通过计算说明乙离开半圆形轨道后将如何运动。【答案】（1）；（2）；（3）见解析【详解】（1）根据题意，设物体甲从点飞出时的速度为，由牛顿第二定律有解得（2）对物体甲，从点到点的过程，依据动能定理有由功能关系，可知弹簧初始状态时的弹性势能（3）不放置乙时，甲从到，由动能定理有解得甲、乙发生弹性碰撞，系统动量守恒、总动能不变，物体乙的质量，由动量守恒定律和机械能守恒定律有解得乙碰后的速度以地面为势能零点，乙在轨道上运动时机械能守恒，假设最高点高度为，则有解得可见，乙在轨道上的最高点低于与圆心等高的点，之后乙将沿轨道原路返回，直到经过点离开半圆轨道，之后将在摩擦力的作用下做匀减速直线运动。变式7.1一光滑水平面与竖直面内的圆形粗糙轨道在B点相切，轨道半径，一个质量的小物块在A处压缩一轻质弹簧，弹簧与小物块不拴接。用手挡住小物块不动，此时弹簧弹性势能。如图所示，放手后小物块向右运动脱离弹簧，沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点C，不计空气阻力，。求：（1）物块在B点时半圆轨道对它的支持力大小；（2）小物块从B到C过程，阻力做的功