2023-2024学年上海市青浦高二年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年上海市青浦高二下学期期中数学模拟试题

一、填空题(第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分)

1.等差数列｛为｝首项为2,公差为2,则等差数列的通项公式为例=

【正确答案】2〃

【分析】直接根据基本量写出等差数列通项公式

【详解】设等差数列｛见｝的公差为"，由题意，α,ι=2+(π-1)×2=2«.

故2〃

2.两数1与4的等比中项为

【正确答案】±2

【分析】根据等比中项的概念进行计算.

【详解】1与4的等比中项为±Ji74=±2.

故答案为.±2

3.将循环小数化为分数：0,23=(循环节为23)

23

【正确答案】—

99

【分析】利用无穷等比数列的求和公式进行求解

【详解】根据b∣<l时，q+αq+…6/'"+…=言可得:

…1102323

0.23=0.23+0.23X——+0.23×―→∙∙∙=°:二—

100IO(T1199.

100

故2,3

99

4.无论我们对函数y=e'求多少次导数，结果仍然是它本身；这就像我们在生活中无论遇到多少艰难险阻,

都要，坚持自我，按照自己制定的目标，奋勇前行！已知函数/(x)=x∙ejt,则它的导函数/'(X)=

【正确答案】(l+χ)ev

【分析】根据导数的乘法法则，计算即可得出答案.

【详解】根据导数的乘法运算法则，

可知(X.e)'=/∙e`+X∙(e`j=(1+X)er，

所以，∕,(x)=(l+x)ev.

故答案为.(l+x)ev

5.设函数/(X)=中，则/'(D=

【正确答案】1

【分析】求出函数的导函数，代入计算可得；

【详解】解：因为/(X)=叱，所以/'(X)=匕学，所以/，(1)=匕詈=1；

XX1

故1

(

6.函数/(x)=SinX在π处的切线方程为____

\62)

【正确答案】也—昱4

2122

【分析】求导，根据切点和导数的几何意义得到切线斜率，由点斜式写出方程.

【详解】/(x)=SinX,则f'(x)=cosx,于是在处的切线斜率为/且，故切线方程为:

162J<6J2

7.二项式(l+x)5的展开式中，所有的系数之和为

【正确答案】32

【分析】令X=1,即可得出答案.

【详解】令x=l,

即可得出二项式展开式中，所有项的系数之和为25=32∙

故答案为.32

8.某同学有4本相同的小说书，1本散文书.从中取出4本书送给4个朋友，每人1本，则不同的赠法有

______种

【正确答案】5

【分析】根据题意，分为选出的4本书都是相同的小说书和选出的4本书中3本相同的小说和1本散文书,

两种情况，结合分类计数原理，即可求解.

【详解】若选出的4本书都是相同的小说书时，此时只有1中赠法；

若选出的4本书中3本相同的小说和1本散文书时，有4中不同的赠法，

由分类计数原理得，共有1+4=5种不同的赠法.

故答案为.5

9.数列｛4,,｝满足：4=1,a2-3,且α.+2=a“+i—α,,〃eN〃>O,则该数列前IOO项和岳皿=

【正确答案】5

【分析】根据递推公式求得数列前几项，观察可得｛/｝是以6为周期的数列.进而求出

ai+a2+ai+a4+a5+a6^0,即可根据周期性得出答案.

【详解】由已知可得，α3=2,α4=-1,as--3,aβ--2,

dZ7=1=6Z1,4=3=%，Qg=2=ʤ，

所以，｛《,｝是以6为周期的数列.

又％+&+/+。4++。6=0，

所以，

Slofl=q+。2++。4+4+。6+L+。99+°100=16(tZ∣+<7,+ðɜ+∏4+ɑʒ+《)+。］++/+%

=1+3+2-1=5.

故5.

10.星期一小明在参加数学期中考试，那么再过2∣°°天后是星期(填一、二、三、四、五、六、日)

【正确答案】三

【分析】化简2∣°°=(23)33∙2=(7+1)33∙2,结合二项展开式求得除以7的余数，即可求解.

【详解】由题意，可得2K)°=(23)33∙2=(7+l)33∙2.

又由(7+1)33.2=2∙(Cj7"+C372+∙∙∙+C*7+l),

所以2网除以7的余数为2,所以再过2项天后是星期三.

故三

11.(I+'+2//的展开式中，含有d的项为

【正确答案】195X4

【分析】(l+x+2χ2)*i表示有6个(1+X+2/)因式相乘，根据的来源分析即可.

【详解】(1+X+2∕)6表示有6个(1+X+2/)因式相乘，/可能来源如下：

(1)有4个0+x+2χ2)提供X,剩下的2个提供常数1,此时/系数是C：=15；

(2)有2个(l+x+2χ2)提供2f,剩下的4个提供常数1，此时一系数是22χCj=60;

⑶有2个(1+X+2/)提供X,1个提供2χ2,1个提供常数1,此时一系数是c；Xc(X2=120；

于是£•的系数为15+60+120=195,含有√t的项为195/.

故195χ4

12.某数学兴趣小组在阅读了《选择性必修第一册》中数列的课后阅读之后，对斐波那契数列产生了浓厚

的兴趣.书上说，斐波那契数列｛月｝满足：G=K=ι,E,=£I+E-2(〃N3),｛月｝的通项公式为

1Γfl+Mfl-√5Yl

F,,=J=-ɪ-——六•在自然界，兔子的数量，树木枝条的数量等都符合斐波那契数列.该

学习兴趣小组成员也提出了一些结论：

①数列｛Λ,+l-4,｝是严格增数列：②数列｛月｝的前〃项和S,满足S,,=Fn+2-ι..

③k+可+…+咒=工耳…®F1F2+F2F3+.→F2n,iF2n=(F2n+2γ.

那么以上结论正确的是(填序号)

【正确答案】②③

【分析】根据数列的特征以及递推公式，即可判断①；由已知可得月+1-月=EI,累加法即可得出②：

=FxF2,变形可得〃22时∙，F：=F"F“.「F,iF”,然后累加，即可得出③；举例〃=1,验证，即可

判断④.

【详解】对于①，由题意可知，F2-Fy=0,Fi-F2=Fi-l,F4-F3-F2=1.

由已知£>0,则当〃≥2时，｛£｝单调递增.

所以，〃23时，由已知"+「耳,=41可知，｛4用―工｝单调递增，且工一工一>0.

所以数列｛r+i-月｝在“23时，为严格增数列.

但是该数列的前三项不满足，故①错误；

对于②，当〃≥2时，有

耳=1,

6一月=0，

F「区=与,

L,

F”+「F“=FLl

工+2一居+1=F1,,

两边同时相加可得，E,+2=I+O+G+8+-+E,=I+S,,

所以，S,=月+2τ，故②正确；

对于③，由己知可得，=FyF2,

F==Fz(Fs-R)=FE-FA

F^=F3(F4-F2)=F3F4-F2Fi,

琮=Ftl（F,「F.J=FFe-F.凡,

两边同时相加可得，耳2+以+…+招2=耳耳+五骂一耳耳+居骂一耳骂+…+F"Fe一FrIT工=FllFn+i,

故③正确；

对于④，当〃=1时，左边为耳8=1,右边为（居）2=（g+骂）2=9,显然不成立，故④错误.

所以，结论正确的是②③.

故②③.

关键点睛：由递推公式推得，Fn^-Fn=Fn,x,进而累加法，逐项相消即可得出S,,.

二、选择题（13,14题每题4分，15,16题每题5分，共18分）

13.5个人排一排，甲乙不相邻，不同的排法有（）

A.144种B.72种C.36种D.18种

【正确答案】B

【分析】由题意可先安排除甲乙之外的3人，再用插空法排甲乙2人，即得答案.

【详解】由题意5个人排一排，甲乙不相邻，先排其余3人，再将甲乙插空即可，

故不同的排法有A；A；=72种，

故选：B

14.二项式（1+『的展开式中，有理项有（）项

A.5B.6C.7D.8

【正确答案】C

【分析】先写出展开式的通项（I=G,xχt进而即可得出「满足的条件，即可得出答案.

【详解】二项式（1+4『展开式的通项为

=CJ2X产x（4J=C[2xχ5,r=0,l,2,∙∙∙,12.

所以，当r为偶数时，该项为有理项，即r=0,2,4,6,8,10,12,共7项.

故选：C.

15.对于以下结论：

①若公比4G[-1,0)=(0,1),那么等比数列前〃项和存在极限；

②％.为数列｛4｝最大的项，那么%.〉/对任意的〃("∈N,〃>0,"W%)都成立；

③函数/(x)的导数为/'(x),若/'(x0)=0,那么X=XO为函数的极值点；

④函数/(x)的导数为/'(x),若/'(x)20恒成立，那么/(x)是严格增函数.

正确的有()

A.0个B.1个C.2个D.3个

【正确答案】A

【分析】取特殊值、特殊数列、特殊函数，即可说明各个结论，进而得出答案.

【详解】设数列前〃项和为S.，

对于①，当4=T时，an=ai(-I)"'>

所以，当〃为奇数时，S11=α1；

当〃为偶数时，Sn=O.

又q≠0,所以此时，S,没有极限，故①错误；

对于②，对于数列%=1,可知｛%｝中的每一项都为数列中最大的项，但是显然为>。“不成立，故②错

误；

对于③，对于函数/Cr)=/,有/'(x)=3/20恒成立，

所以，函数/(x)为R上的增函数，即函数没有极值点.

又/'(0)=0,显然x=0不是/(x)的极值点，故③错误；

对于④，对于常函数/(x)=l,有/'(x)=0≥0恒成立,

但显然/(X)不是单调递增函数，故④错误.

所以，正确的个数为0个.

故选：A.

16.设函数/(x),g(x)在R上的导数存在，且/'(x)>g'(x),则当x∈(α∕)时()

A./(x)<g(x)B./(x)>g(x)

C./(x)+g(⅛)<g(x)+∕(⅛)D./(x)+g(a)>g(x)+∕(tz)

【正确答案】CD

【分析】对于AB,利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD,构造函数MX)=/(x)-g(x),利用

导数与函数单调性的关系证得MX)在R上单调递增，从而得以判断.

【详解】对于AB,不妨设/(χ)=2x,g(x)=l,贝IJr(X)=2,g'(x)=O,满足题意，

若X=IG(α∕),则/(x)=2>l=g(x),故A错误(排除)，

若X=O∈(α∕),则y(χ)=0<l=g(χ),故B错误(排除)；

对于CD,因为/'(X),g(x)在R上的导函数存在,且/"(x)>g'(x),

令MX)=/(x)-g(x),则/(x)=/'(X)-g'(x)>O,所以MX)在R上单调递增，

因为x∈(α,b),即“<χ<b,所以Ma)<<∕z(b),

由∕z(x)<∕z(b)得/(x)-g(x)<∕(6)-g(b),

则/(x)+g(b)<g(x)+∕(6)，故C正确；

由〃(n)<∕I(X)得f(α)-g(α)<∕(x)-g(x),

则/(x)+g(α)>g(x)+∕(α),故D正确.

故选：CD.

三、解答题(14+14+14+18+18,共78分)

17.(1)已知等比数列｛%｝首项为q,公比为q(qkl),前〃项和为S“，请推导等比数列的求和公式:

(2)已知等差数列｛，｝前"项和为7；,满足伪=5,h=耳，求

【正确答案】(1)答案见解析；(2)(Mllf).

"2

【分析】(1)直接利用错位相减法即可求解；

(2)先求等差数列的公差，然后利用等差数列前”项和公式即可求解.

【详解】(1)｛对｝的前〃项和为

Sfl=Q]+a?+%+…+=q+%q÷%q~+…+Q]∕'∣,①

2

两边同乘公比qWqSn=axq+alq+q/+…+。闻""+〃闻",②

①-②得(l-q)S“=q-qq"=q(l-q"),

a(∖-qn∖

因为q≠ll,所以S,,=』y_12.

1-q

(2)设等差数列也｝的公差为d,则Tji=1叫+—^―d=55+55d,d=b∣+5d=5+5d,

因为所以55+55d=5+5d,所以d=-l,所以々=b∣+(〃-1"=6—〃，

所以7=坐+△）=MlTL

"22

18.已知二项式（4+4）〃eN〃>0的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.

（1）求展开式中含XT的项

（2）求系数最大的项

【正确答案】（1）Ti=∖∖2x-'

1711

（2）I=I792√τ或4=1792XT

【分析】（1）由已知得出二项式展开式的通项为r∣=2'c>x丁，然后根据已知列出方程式，整理求解

8-5尸

即可得出〃=8.进而由-----=-1,得出r=2,代入通项即可得出答案；

2

a..>a

（2）设第r+1项的系数为。川=2'∙C>然后求解不等式组{Trr,得出r=5或r=6.代入通项，

IA+12+2

即可得出答案.

【小问1详解】

由已知可得，二项式展开式的通项为

B∣J1———=IOx————,

4!(n-4)!2!(w-2)!

整理可得，“2-5〃-24=0，解得〃=8,或〃=—3(舍去负值),

所以，“=8.

.8--5r_

由-----=T可z得，Y=2,

2

所以，展开式中含XT的项为4=22∙c}XT=Il2χT.

【小问2详解】

由（1）可知，该二项式展开的第r+l项的系数为a”1=2'∙C；.

设第r+1项系数最大，则应有《

、%+1—%+2

2,∙q>2r-'∙q-'

即《

2,∙q>2r+1∙q+l,

r≤2(9-r)

即｛∖∕o「解得5WY6.

r+1l≥2(8-r)

因为广∈N,所以尸=5或r=6.

8-25_j7

当r=5时，7；=25∙C^∙X-=1792/5；

8-30

β

当r=6时，T1=2-C↑∙x~=1792x^"∙

17..

综上所述，系数最大的项为［=i792x^5或。=W92χT.

19.某工厂每天生产某种产品最多不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率尸与每日生产产品件数

X(XW\，)间的关系为尸=UJO-X’,每生产一件正品盈利4000元，每出现一件次品亏损2000元.

'4500

(注：正品率=产品的正品件数十产品总件数XlOo%)

(1)将日利润.Y(元)表示成日产量X(件)的函数；

(2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值.

4,

【正确答案】(1)y=-1彳一+3600工(.、.w.ISXS40)(2)该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最

大值为72000元

【分析】(1)由题为实际问题，可利用题目给出的条件：正品率=产品的正品件数÷产品总件数XIO0%,和

4200-X2

P=,建立相应的函数关系；(注意定义域).

4500

(2)由(1)已知函数的解析式，可运用导数求出函数的单调区间和最值.即：/'(x)>0为函数的增区

间，反之为减区间.结合实际意义可得.

4200-X24200-X24,

【详解】(1)y=4000Xυυx%-2000X(1-)x=3600χ一一d

450045003

4

所求的函数关系是ʃ=3600%-yX3(x∈^∙,l≤x<40).

(2)显然y=3600—4χ2,令y=0,解得χ=30.

列出X,，/的变化情况如下表所示：

X(1,30)30(30,+∞)

y'+O-

极大值

y/∖

72000

4

由上表得，当x=30时，函数y=3600x-]χ3(χwN*,l<x≤40)取最大值，

4

最大值为3600x30--×30s=72000(元)

3

.∙.该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72000元.

20.已知数列｛?｝满足q=1,a,,=3"T+α.τ(“≥2).

⑴求。2，a3

(2)求数列｛4｝的通项公式

γι2

⑶如果数列也J满足4=α“一J,5=l-(⅛)n,若Z≤S“一F≤3对”wN,〃>0恒成立,求

2nJ”

8-Z的最小值

【正确答案】(1)4=4；¾=13

【分析】(1)根据数列递推式即可求得答案；

(2)利用累加法即可求得数列的通项公式；

(3)利用(2)的结论可得4，以及S.=1-(4)”的表达式，分类讨论求得S“=1—3J的最大值和最

22

小值，结合函数单调性可得S,,-不的最值，再结合/≤S“-7≤8恒成立，可得4B范围，即可求得

答案.

【小问1详解】

212

由题意得a2=3+4τ=3+q=4;%=3"+a3_]=3+α2=9+4=13；

【小问2详解】

a

n=3"'+«,,-1(«≥2),.∙.an—4“T=y',

2,71

：.a2-al=3∖a3-a2=39a4-a3=…-an_x=3-,

3(3"τ-1)3"-3

I23,,

累加可得an-ai=3+3+3+...+3^'

3n-l

aa，又q=l也适合该式,

乂↑=1>∙'∙n=

【小问3详解】

∈N,n>0)，

当〃为奇数时，s,,=1—W=i+［；，

∙∙∙S“单调递减，且1+(；)>1，

13

.∙.1<5<5,=1+-=-；

"'22

当〃为偶数时，SZI=I—=Iu，

∙∙∙s”单调递增，且ι-(g)<1.

门Y33

.∙.S<S<∖,而其=1--=-,：.-<S,<\，

2n2⑶44"

332

综上，S,的最大值和最小值分别为万，函数V=，-7在(o,+力)上单调递增,

2

由力<S〃一F«5对〃∈N,n>0恒成立，

3”

21.已知函数/(x)=InX+4x+l

(1)当。=-1时，求/(x)的最大值

(2)讨论函数/(X)的单调性

(3)对任意的x∈(0,+8),都有/(x)≤xe'成立，求实数4的取值范围

【正确答案】⑴O

(2)答案见解析(3)(-∞,1]∙

【分析】(1)求导，研究函数的单调性，从而得出最值；

(2)结合函数的定义域，分类讨论。的范围，解导函数的不等式即