2024年高考第二次模拟考试数学试题（上海专用）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE12024年高考第二次模拟考试（上海专用）数学一、填空题1．已知，，，为虚数单位），且，则_________．〖答案〗〖解析〗，，，为虚数单位），且，可得，，解得，，可得．故〖答案〗为：.2．若集合，，则使得成立的所有的值组成的集合是__________．〖答案〗〖解析〗因为，，，，所以；①当时，符合题意；②当，即解得，即；③当，即解得，即；综上可得．故〖答案〗为：．3．已知随机变量，若，则．〖答案〗0.2〖解析〗随机变量，正态分布曲线的对称轴为，又，且，．故〖答案〗为：0.2．4．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是．〖答案〗，〖解析〗由绝对值三角不等式，可得，当且仅当，即时，等号成立，因为不等式的解集为空集，所以，即实数的取值范围是，．故〖答案〗为：，．5．在的展开式中各项的系数和是．〖答案〗〖解析〗令，可得．故〖答案〗为：．6．曲线在点处的切线方程为．〖答案〗〖解析〗由，得．，则曲线在点处的切线方程为．故〖答案〗为：．7．函数，则的最大值为．〖答案〗【解答】由于．当，时，函数取得最大值．故〖答案〗为：．8．某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程（单位：万千米）对应维修保养费用（单位：万元）的四组数据，这四组数据如表：行驶里程万千米1245维修保养费用万元0.500.902.302.70若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是．〖答案〗3.34〖解析〗由表中数据可得，，，样本中心点为，回归直线方程为，，解得，故回归直线方程为，当时，，故估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是3.34万元．故〖答案〗为：3.34．9．如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为．〖答案〗〖解析〗根据题意可知，三角形即为等腰直角三角形，作于点，如下图所示：则三角形绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和，由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高，则圆锥的体积，半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为，因此剩余部分所形成的几何体的体积为．故〖答案〗为：．10．平面向量，满足，，，则与夹角的最大值为．〖答案〗〖解析〗设与夹角为，设，则，，则，，则，则，，当且仅当时等号成立，则有，又由，则，即与夹角的最大值为．故〖答案〗为：．11．已知椭圆与双曲线有共同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为．〖答案〗〖解析〗由题意得设椭圆，双曲线，且设，，由椭圆的定义得①，由双曲线的定义得②，由①②得，由①②得，在△中，由余弦定理得，③，设，，当即时，取最大值为．故〖答案〗为：．12．已知等差数列满足：，则正整数的最大值为．〖答案〗62〖解析〗设等差数列的公差为（不妨设，首项为，可得，记函数，可得函数至少有三个根，，．可知绝对值和为平底型图像，如下图所示，故为偶数，记，要使，所以，，对的点都在平底上即，，，，所以，即，所以，所以，而，所以．故，即，所以正整数的最大值为62，故〖答案〗为62．二、选择题13．已知平面，，直线，满足，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗由题意，当时，平面与平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立，当时，直线与直线可能平行，可能相交，还可能异面，故必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．14．已知等比数列中，，公比，则下列说法正确的是A．数列是等比数列 B．数列不是等比数列 C．数列是等比数列 D．数列是单调递减数列〖答案〗C〖解析〗等比数列中，，公比，，即，对于A，，所以数列不是等比数列，故A错误；对于B，，故数列是首项为，公比为的等比数列，故B错误；对于，，故数列是首项为9，公比为3的等比数列，故C正确；对于D，，所以数列是单调递增数列，故错误．故选：．15．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声．现有一块不规则的地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线看成函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形（如图，则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗将点代入函数中可得，解得，所以，设线段对应的函数〖解析〗式为，因为直线经过点，，所以，，所以，设，则点的坐标为，由可得，所以点的坐标为，所以，所以直角梯形的面积，所以，令，可得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最大值，最大值为．故选：D．16．已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，，当时都有，则称是“封闭”函数．已知给定两个命题：：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数．：若是“，封闭”函数，则在区间，上严格减．则下列正确的判断为A．是真命题，是真命题 B．是假命题，是真命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是假命题〖答案〗C〖解析〗命题：若是“封闭”函数，即对，都有，对于集合，任意的，，使得，则，而，所以，故一定是“封闭”函数，当时，命题正确；命题：不妨设，，，当，时，，，此时是“，封闭”函数，但为单调递增区间，命题是假命题．故选：C．三、解答题17．如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，平面平面．（1）证明：；（2）若为的中点，直线与平面所成的角为，求直线与平面所成的角的正弦值．（1）证明：如图，在三棱柱中，取的中点，连接，因为是等边三角形，则，又平面，平面平面，平面平面，则平面，而平面，于是，又，，平面，因此平面，又平面，则，于是，所以．（2）解：取的中点，连接．由（1）得平面，又，所以是直线与平面所成的角，即，，由（1）知，，两两互相垂直，以为坐标原点，直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，，0，，，2，，，，于是，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为．18．挑选空间飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5、0.6、0.75，能通过文考关的概率分别是0.6、0.5、0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响．（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；（2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率．解：（1）由题意，可得甲被录取成为空军飞行员的概率为：（A）（D）；（2）由题意，甲乙丙三位同学分别通过复检，即为事件，，，利用独立事件的概率计算公式，可得甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率为：．19．在中，内角，，所对的边分别为，，，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．解：（1）由，可得，可得，即，可得，由，可得．（2）因为，由正弦定理有：，可得，又由及余弦定理有：，有，有，可得：，又因为的面积为，可得，所以解得，，由余弦定理可得，可得，可得的周长．20．已知椭圆的离心率为，轴被抛物线截得的线段长与长轴长的比为．（1）求、的方程；（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线、分别与相交于、．（ⅰ）设直线、的斜率分别为、，求的值；（ⅱ）记、的面积分别是、，求的最小值．解：（1）解，可得，所以，轴被抛物线截得的线段长为．由已知可得，，解得．所以椭圆的方程为，抛物线的方程为．（2）由（1）知，．设直线的方程为，，，，．联立直线与抛物线的方程，可得，则．又，，所以．联立直线与抛物线的方程，可得，则．同理：．设，，，．联立直线与椭圆的方程，可得，则，同理可得，．由图象知，，，，所以，，当且仅当时，取等号，所以，的最小值为．21．三个互不相同的函数，与在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”．（1）设，，试分别判断、是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；（2）求所有的二次函数（用表示，，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；（3）若，，，且存在实数，，使得为与在区间，上的“分割函数”，求的最大值．解：（1）因为恒成立，且恒成立，所以当时，恒成立，故是与在上的“分割函数”；又因为，当与1时，其值分别为1与，所以与在上都不恒成立，故不是与在上的“分割函数”；（2）设是与在区间上的“分割函数”，则对一切实数恒成立，又因为，当时，它的值为4，可知的图象在处的切线为直线，它也是的图象在处的切线，所以，可得，所以对一切实数恒成立，即且对一切实数恒成