安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以故选：A.2.下列各组函数表示相同函数的是（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗C〖解析〗对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误；对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误；对于C，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数，故C正确；对于D，函数定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误.故选：C.3.函数的零点所在的区间为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函数在上单调递增，，，故函数零点所在的区间为.故选：B.4.函数的图象可能为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，解得，所以函数的定义域为，所以，所以为偶函数，函数的图象关于轴对称，排除选项B；而，排除选项C；，排除选项A.故选：D.5.设，则的大小关系为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗易知.故选：B.6.已知函数（，）的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由函数的图像可知，，则，，由，解得，则，故，.故选：B.7.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，即，由，得，则，即，所以.故选：B.8.已知函数是定义在上的函数，.若对任意的，且有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式可化为，即，令函数，由，可得，结合，函数是上的增函数，又，不等式，，，即，，不等式的解集为.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部答对得5分，部分答对得2分，有选错得0分.9.下列说法正确的是（）A.是第二象限角B.点是函数的一个对称中心C.若角终边上一点的坐标为（其中），则D.函数的图象可由函数图象向左平移个单位得到〖答案〗AC〖解析〗对于A，的终边与的终边相同，所以为第二象限角，故A正确；对于B，由，故B错误；对于C，利用三角函数的定义知，故C正确；对于D，由，可由函数的图象向左平移个单位得到，故D错误.故选：AC．10.下列说法正确的是（）A.命题“”的否定是“，使得”B.若集合中只有一个元素，则C.关于的不等式的解集，则不等式的解集为D.“”是“”的充分不必要条件〖答案〗CD〖解析〗对A：命题“”的否定是“，使得”，故A错误；对B：当时，集合中也只有一个元素，故B错误；对C：因为关于的不等式的解集为，故，不妨设，则由韦达定理可得，，所以不等式，故C正确；对D：由“，”可得“”，但“”，比如时，“，”就不成立，故D成立.故选：CD.11.若实数m，，满足，以下选项中正确的有（）A.mn的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为 D.最小值为〖答案〗AD〖解析〗对于A，由m，，得，又，所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，所以mn最大值为，选项A正确；对于B，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，选项B错误；对于C，由，得，所以，当且仅当，即时等号成立，又m，，所以，选项C错误；对于D，由m，，，得，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，选项D正确．故选：AD．12.已知函数函数，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则有3个零点D.若，则有5个零点〖答案〗ACD〖解析〗对A：，，故A正确；图1对B：若，则或，当时，或，当时，由图1可知或，故B错误；对C：若，由图1可知则或，当时，由知只有一解，当时，由图可知有两解，故有3个零点，故C正确；对D：若，，由图2知或或，当时，只有一根，当时，只有两根，当时，只有两根，所以共有5根，故D正确.图2故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则___________.〖答案〗〖解析〗由题意得，，所以.故〖答案〗为：.14.已知，则________．〖答案〗〖解析〗由诱导公式，.故〖答案〗为：.15.若函数值域为，则的取值范围为____________．〖答案〗〖解析〗设函数值域为，由函数值域为，则，当时，的值域为，符合题意；当时，由，解得，所以的取值范围为．故〖答案〗为：．16.已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则__________.〖答案〗或〖解析〗因为，且在区间上有最小值无最大值，则，则，可得，解得，且，解得，可知：或1，或故〖答案〗为：或.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：原式.（2）由对数的运算法则和对数的运算性质，可得：.18.设全集，集合，集合．（1）若时，求；（2）若，求实数的取值范围．解：（1）因为或，当时，，所以.（2）因为，所以，当时，，所以，此时满足条件，当时，因为，所以或，解得或，综上或，即.19.已知幂函数的图象过点.（1）求函数的〖解析〗式；（2）设函数在上是单调函数，求实数的取值组成的集合.解：（1）的图象过点，所以，则，函数的〖解析〗式为.（2），所以函数图象的对称轴为，若函数在上是单调函数，则或，即或，所以实数的取值组成的集合为或.20.已知函数．（1）求的最小正周期和单调增区间；（2）若，求的值．解：（1），故周期为，令，，所以的增区间为.（2），，，故.21.已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.（1）求的〖解析〗式；（2）若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围.解：（1）因为函数的最大值为，所以，又与直线的相邻两个交点的距离为，所以，所以，则，将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，得到，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.（2），在上有实数解，即在上有实数解，即在上有实数解，令，所以，由，所以，所以，则，同时，所以，所以在上有实数解，等价于在上有解，即在上有解，①时，无解；②时，有解，即在有解，即在有解，令，，则，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的值域为，所以在有解等价于，综上：.22.已知函数对任意的实数都有，且当时，有恒成立.（1）求证：函数在上为增函数.（2）若，对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.解：（1）任取，且，因为，，所以，故，因为，所以，又因为当时，，所