2019-2023年中考1年模拟数学真题分项汇编：17几何压轴题（全国通用）（解析版）

专题17几何压轴题

五年中考真题

考点1几何压轴题

一、单选题

1.(2023年北京市中考数学真题)如图，点/、B、C在同一条线上，点8在点4C之间，点。，E在直

线/C同侧，AB<BC,4=NC=90。，LEAB当4BCD,连接设"="，BC=b,DE=c,给出

下面三个结论：①a+b<c；②a+b>Ja2+b2；③&(a+6)>c；

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】如图，过。作。尸_L/E于F,则四边形/CD尸是矩形，则。尸=ZC=a+6,由。尸<Z)E,可得

a+b<c,进而可判断①的正误；由可得BE=8。，CD=AB=a,AE=BC=b,

NABE=NCDB,则/E8D=90。，△8CE是等腰直角三角形，由勾股定理得，BE=AB1+AE2=y/a2+b2-

由4B+AE>BE,可得a+6>行不，进而可判断②的正误；由勾股定理得。炉=802+8炉，即

c2=2(a2+b2),则c=曰6+〃<®+b),进而可判断③的正误.

【详解】解：如图，过。作。尸_LZE于尸，则四边形4co尸是矩形，

DF<DE,

：.a+b<c,①正确，故符合要求；

•；AEABHBCD,

/.BE=BD,CD=AB=a,AE=BC=b,/.ABE=/.CDB,

・・•/CBD+/CDB=90°,

：.NCBD+ZABE=90°,NEBD=90°,

△8DE是等腰直角三角形，

由勾股定理得，BE=ylAB2+AE2=>Ja2+b2>

AB+AE>BE,

a+b>yja2+b2>②正确,故符合要求；

由勾股定理得。1=8。？+8E?，即=2（/+〃），

c=y[lxyja2+h2<V2（a+/?）,③正确，故符合要求；

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性

质，三角形的三边关系等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

2.（2023年天津市中考数学真题）如图，把ABC以点工为中心逆时针旋转得到V4OE,点5,C的对应

点分别是点。，E,且点E在的延长线上，连接8D,则下列结论一定正确的是（）

D.CE=BD

【答案】A

【分析】根据旋转的性质即可解答.

【详解】根据题意，由旋转的性质，

可得=AC=AE,BC=DE,故B选项和D选项不符合题意,

ZABC=ZADE

2

•••行1CE=ABC+BAC

:.任4CE=ADE+BAC,故C选项不符合题意，

行1C8=AED

••,行1C3=CAE+CEA

彳立ED=CEA+BED

■■]1CAE=BED,故A选项符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键.

3.(2023年河北省中考数学真题)如图，直线4〃/菱形48co和等边AEFG在小。之间，点/，尸分

别在4，4上，点8,D,E,G在同一直线上：若Na=50。，AADE=146°,则N〃=()

A.42°B.43°C.44°D.45°

【答案】C

【分析】如图，由平角的定义求得180°-QADE=34°,由外角定理求得，Da-DADB=16°,

根据平行性质，得DG/F=DAHD=16°,进而求得!)尸=QEGF-QGIF=44°.

【详解】如图，VZADE=\46°

：.f)ADB=1800-DADE=34°

,0ADB+,QAHD

：.DAHD=Da-DADB=50°-34°=16°

•：l,//l2

：.DGIF=DAHD=16°

DEGF=D^+DGIF

D〃=DEGF-DGIF=600-16=44°

故选：C.

3

【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定

角之间的数量关系是解题的关键.

4.（2023年山西省中考数学真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的

横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点尸,。,胡均为正六边

形的顶点.若点P,。的坐标分别为卜2百,3）,（0,-3）,则点用的坐标为（）

【答案】A

【分析】连接尸尸，设正六边形的边长为a,由正六边形的性质及点尸的坐标可求得〃的值，即可求得点"

的坐标.

【详解】解：连接尸尸，如图，设正六边形的边长为a,

•••ZABC=120°,

：.ZABO=60°,

408=90°,

ZBAO=30°,

,cn1c”拒a

22

***AC=CE=V3a»OF=OB+BF=,

•.•点p的坐标为卜2百,3),

.•.%,

4

即a=2；

/.OE=OC+CE==3^,EM=2,

2

.•.点”的坐标为（36,-2）.

故选：A.

【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握

这些知识是解题的关键.

5.（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，。。是锐角三角形/8C的外接圆，

OD±AB,OE±BC,OF±AC,垂足分别为。，瓦尸，连接DE,EF,FD.若Z）E+。/=6.5,Z\/8C的周长为

21,则E尸的长为（）

A.8B.4C.3.5D.3

【答案】B

【分析】根据三角形外接圆的性质得出点。、E、P分别是BC、/C的中点，再由中位线的性质及三角

形的周长求解即可.

【详解】解：是锐角三角形/8C的外接圆，ODLAB,OELBC,OF，4C,

点。、E、F分别是4B、BC、/C的中点，

DF=-BC,DE=-AC,EF=-AB,

222

。£+。尸=6.5,2\/8。的周长为21,

C8+C4+N8=21即2DF+2DE+2EF=21,

：.EF=4,

5

故选:B.

【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是

解题关键.

6.（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，用直尺和圆规作NM4N的角平分线，根据作图痕迹，下列

结论不一定正确的是（）

A

A.AD=AEB.AD=DFC.DF=EFD.AF1DE

【答案】B

【分析】根据作图可得及3F=£7"进而逐项分析判断即可求解.

【详解】解：根据作图可得3==故A,C正确；

4尸在OE的垂直平分线上，

.♦.肝，鹿，故D选项正确，

而。尸=£尸不一定成立，故B选项错误，

故选：B.

【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键.

7.（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在正方形488中，AB=4,动点〃，N分别从点

A,8同时出发，沿射线射线8c的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接QM,MN,ND.设点

/运动的路程为x（04x44）,AOA/N的面积为S,下列图像中能反映S与x之间函数关系的是（）

6

0]4X

SA

8C——B

D.

O]4x

【答案】A

【分析】先根据S=S”方形"CO-SLM-SV“W-SV/MW,求出S与x之间函数关系式，再判断即可得出结论.

【详解】解：S=S正方形/BCD-SvADM-SvDCN-S\BMN'

=4x4-;x4x-；x4(4-x)-;x(4-x),

=-x2—2x+8,

2

1

=—(x—2)9'+6,

故S与x之间函数关系为二次函数，图像开口向上，x=2时，函数有最小值6,

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S与x之间函数关系式，再

判断S与x之间函数类型.

8.(2023年上海市中考数学真题)已知在梯形/BCD中，连接NC,BD,且4CJ.BD,设/8=a,C£>=6.下

列两个说法：

①ZC=争a+b);②AD=显后而：

则下列说法正确的是()

A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误

【答案】D

【分析】根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形熊CD为等腰梯形，即/。=8C,ABUCD忖,

①/C=4(a+b)；②AD=与底市,其余情况得不出这样的结论，从而得到答案.

【详解】解：过8作8E〃C4,交8c延长线于E,如图所示：

7

若梯形脑。为等腰梯形，即=AB//CD

四边形NCE8是平行四边形，

/.CE—AB,AC=BE,

vAB//DCf

/DAB=ZCBA,

QAB=AB,

...△ZM8丝△CB力(SAS)

:.AC=BD,EPBD=BE,

XvAC1BD,

•••BELBD,

在RtaBDE中，BD=BE,AB=a,CD=b,则QE=QC+CE=b+a,

:.AC=BE=^-=—-DE=~(a+b),此时①正确；

V22

过8作8尸_LDE于F,如图所示：

A£

厂

DFC七

BE,AB=a,CD=b,DE=b+a,贝=；£>£1=；(〃+6),

在RtZkSFC中，BD=

FC=FE-CE=g(a+6)一〃=；9_Q),

Ip—，2r--y2_

+3二。，此时②正确；

：.BC=yjBF2+FC2=

V222

而题中，梯形/t5co是否为等腰梯形，并未确定；内弗开当ABCD是4B//CD还是AD〃BC,并未确定,

・•・无法保证①②正确，

故选：D.

8

【点睛】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、

勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键.

9.（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图中，ZACB=90°,AB=4,AC=x,ABAC=a,。为中

点，若点。为直线5C下方一点，且△38与相似，则下歹IJ结论：①若a=45。，8c与OD相交于E,

则点£不一定是△48。的重心；②若a=60。，则力。的最大值为2近；③若a=60。,“8cs£5。，则口）

的长为26；④若则当x=2时，4C+CD取得最大值.其中正确的为（）

C.①②④D.①③④

【答案】A

【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出△形。的重心，即可求解；当夕=60。，BDLBC时，4。取

得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得力。的长，即可求解;③如图5,若a=60。，

根据相似三角形的性质求得CZ）=JLGE=DF=B,CF=J进而求得O£>,即可求解；④如图6,根

据相似三角形的性质得出COMJBC?,在RtA4BC中，8c2=16-，，根据二次函数的性质，即可求/1C+C。

取得最大值时，x=2.

【详解】①有3种情况，如图1,8c和OD都是中线，点E是重心：

如图2,四边形N8OC是平行四边形，尸是力。中点，点E是重心；

如图3,点尸不是中点，所以点E不是重心；

①正确

②当a=60。，如图4时/O最大，/8=4,

9

AC=BE=2,BC=AE=26，BD=y^BC=6,

DE=8»

AD=2A/19*277,

③如图5,若a=60。，AABCS^CBD,

：.Z.BCD=60°,/CD8=90。，N8=4,AC=2,BC=243,OE=6CE=\,

:.CD=0GE=DF=*,。/=|，

：.EF=£)G=2,OG=—,

22

/.OD=y/l#2粗,

.•.③错误；

④如图6,AABCs^BCD,

.CDBC

1,

即CD=±8。2,

4

在RtzMBC中，BC2=\6-X2,

8=：06-n=-$2+4,

I,|,

AC+CD=x——X2+4=——(X-2)2+5,

44

当x=2时，NC+CD最大为5,

...④正确.

故选：C.

10

【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画

出图形是解题的关键.

10.（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）如图，在A/8C中，。是边8c上的点（不与点8,C重合）.过

点D作DE〃AB交AC于点、E；过点。作。/〃ZC交月B于点尸.N是线段8尸上的点，BN=2NF；M

是线段OE上的点，DM=2ME.若已知ACMN的面积，则一定能求出（）

A.△XFE的面积B.VSOF的面积

C.4可的面积D.△/）（%的面积

【答案】D

【分析】如图所示，连接皿证明皿皿,得出而飞，由已知得出府=而,则言二话

又2NFD=2MEC,则ANFD~AMEC,进而得出NMCD=NN08,可得MC〃ND,结合题意得出

S^EMC=]SgMC=2SdMNC，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接ND,

■:DE〃AB,DF//AC,

:./ECD=/FDB,/FBD=/EDC,4BFD=/A,ZA=DEC.

：“FBDfEDC,ZNFD=AMEC.

.FBFD

・・=.

EDEC

•；DM=2ME,BN=2NF,

:・NF=、BF,ME=-DE

33

.NFBF

・・蕨一法・

11

.FDNF

又丁匕NFD=4MEC,

：.»NFDfMEC.

：.NECM=4FDN.

•・•ZFDB=ZECD

：./MCD=/NDB.

：.MC//ND.

•・,qQ4MNC——va.MDC•

•；DM=2ME,

•c—!S_J_Q

,•3EMC_2“AOMC_2.

・SqCE=S4EMC+S4DMC'

.13

,•S^DCE=,SAMNC+ShMNC=3S&MNC♦

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性

质，等面积转换.

11.（2023年安徽中考数学真题）如图，E是线段相上一点，V4O£和是位于直线48同侧的两个等

边三角形，点P1分别是CQ,48的中点.若4B=4,则下列结论簿送的是（）

A.尸彳+尸3的最小值为B.PE+P/的最小值为26

C.△C0E周长的最小值为6D.四边形/8CD面积的最小值为3G

【答案】A

【分析】延长8C,则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E点与尸重合时，则

。，尸，尸三点共线，各项都取得最小值，得出B,C,D选项正确，即可求解.

【详解】解：如图所示，

12

0

延长

依题意NQAD=NQBA=60°

；•是等边三角形，

是C3的中点，

，PD=PC,

'：NDEA=NCBA,

J.ED//CQ

：.APQC=APED,ZPCQ=ZPDE,

...4PDE%PCQ

：.PQ=PE,

四边形DECQ是平行四边形，

则P为E。的中点

如图所示，

设X。,80的中点分别为G,4,

...当E点在48上运动时，P在G”上运动，

当瓦点与尸重合时，即/E=EB,

则0,尸,尸三点共线，尸尸取得最小值，止匕时NE=E8=；(/E+E8)=2,

13

则AADE丝/\ECB,

C,。到48的距离相等,

则CD//AB,

PF=—AD=4i

2

此时VXOE和ABCE的边长都为2,则“尸,尸8最小,

A=—X2=73,

2

/.PA=PB=J2?+(石『=V7

/.P4+PB=2币,

或者如图所示，作点8关于G〃对称点8',则=则当4P,8'三点共线时，AP+PB=AB'

此时AB'=y]AB2+BB'="+(2抬'丫=2"

故A选项错误,

根据题意可得尸,。,尸三点共线时，PF最小，此时尸£=尸尸=6，则PE+尸产=2退，故B选项正确;

ACDEl^^:^CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4,

即当CD最小时，△CDE1周长最小，

如图所示，作平行四边形GDM”,连接CM,

・.•ZGHQ=60°,ZGHM=NGDM=60°,则ZCHM=120°

如图，延长DE,HG,交于点N,

则NNGD=NQGH=60。,/NDG=/ADE=60°

14

・・・△NG。是等边三角形，

JND=GD=HM,

在ANPD与AHPC中,

NNPD=ZHPC

«ZN=ZCHP=60°

PD=PC

：.ANPDAHPC

：.ND=CH

：.CH=MH

：.ZHCM=ZHMC=30°

：.CM//QF,则CA/_LZ)M,

・・・△DWC是直角三角形，

在4DCM中，DC>DM

当。C=£>河时，0c最短，DC=GH=；AB=2

'：CD=PC+2PC

ACDE周长的最小值为2+2+2=6,故C选项正确;

,?ANPDAHPC

...四边形MCD面积等于S,ADK+邑皿•+S.o&c=S“DE+平行四边NEBH

・•・当△8GQ的面积为0时，取得最小值，此时，QG重合，C,"重合

15

...四边形48co面积的最小值为3x41x22=36,故D选项正确，

4

故选：A.

【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E

点与F重合时得出最小值是解题的关键.

12.（2022•江苏南京•统考中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，AC=3,BC=4,AB=5,四边形

是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点C距离最大的是（）

A.点MB.点NC.点PD.点。

【答案】B

【分析】根据勾股定理的逆定理判定“8C是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小

即可.

【详解】VAC=3,BC=4,AB=5,

，32+42=52,

/.25c是直角三角形，

•.•四边形ZMN8是正方形，将其折叠成直三棱柱，

，直棱柱的高/M=/8=5,

CMZAC、AM2="+52=南,CN=RBC2+BM="2+52=标，CP=舟，CQ=AM=5,

:标＞后＞岳，

.•.选B.

【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的

关键.

13.（2021•四川甘孜•统考中考真题）如图，直线4〃4〃/3,直线。、b与J4、％分别交于点A、B、C

和点。、E、F,若褴:5C=2:3,EF=9,则OE的长是（）

16

a

D

A.4B.7C.6D.12

【答案】C

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出48：BC=DE：EF,再求出答案即可.

【详解】解：•・・//〃/2〃/3，

BC=DE：EF,

9：AB：BC=2：3,EF=9,

：.2：3=DE：EF,

:・DE=6.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解题

的关键.

14.（2020•广西贺州•统考中考真题）如图，将两个完全相同的心△/CB和RtZUC®拼在一起，其中点4

与点8重合，点。在边力8上，连接夕C,若N/8C=N/0C=30。，AC=A'C'=2,则夕C的长为（）

A.24B.4近C.2拒D.4也

【答案】A

【分析】先根据直角三角形的性质可得N8=4,H9=4,N8kC'=60。，再根据勾股定理和角的和差可得

17

BC=2y/3,ZB'BC=90°,最后在8c中，利用勾股定理即可得.

【详解】解：ZACB=ZA'C'B'=90°,ZABC=ZA'B'C=30°,AC=A'C=2,

AB=4,A'B'=4,ZB'A'C'=60°,

BC=>JAB2-AC2=273，NB'BC=NABC+NB'A'C'=90°,

则在RtAB'BC中，B'C=yjBC2+B'B-=收回+甲=2币，

故选：A.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角

形的性质是解题关键.

15.（2019•四川绵阳•统考中考真题）如图，在四边形48co中,AB//DC，“DC=90。，AB=5,CD=AD=3,

点E是线段CO的三等分点，且靠近点C,NFEG的两边与线段分别交于点尸、G,连接ZC分别交所、

3

EG于点、H、K.若8G=5,NFEG=45“，则〃K=()

1372

6

【答案】B

【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出4C的长，再根据相似三角形的性质得到穿=处=9,从而

AKKG7

求得CK的长，过E作力8于"，则四边形/DEM是矩形，可得田0、力A/的长，进一步由勾股定理

可求出EG的长，进而求得EK的长，然后根据AHEK:MCE可得H笠F的值，再由相似三角形的性质列方

HK

程即可求得结果.

【详解】解：CD=AD=3,：.屁=3日

37

VAB=5,BG=—,AG——

22

*.*ABHDC,bCEK\\AGK,-=

AGAKKG

二=生=曳,CKEK2

AKKG，••衣=同=亍

CK+AK=3,\/2»CK———■

3

18

过E作EM_L48于则四边形ZDEN是矩形,

3

EM=AD=3,AM=DE=2,MG=—,

2

・・・EG7EM?+MG?=^-，

2

..EK_2V5

,-..EK=—，

,/NHEK=Z.KCE=45°,4EHK=/CHE,

HEEC1_3

AHC£,・••加一次一正一瓦

T

・,•设HE=3x,HK=下x,

.EHHK

,/\HEK:\HCE,••一，

HCEH

3x_亚x

・♦,HK*

・•・底+2加-工，解得:

故选B.

【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定和性质,

熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

二、填空题

16.（2023年北京市中考数学真题）如图，0/是。。的半径，8c是0。的弦，O4LBC于点D,/E是。。

的切线，HE交0c的延长线于点£若40C=45。，BC=2,则线段HE的长为.

【答案】V2

19

【分析】根据O/L8C,得出/ODC=90。，DC=­BC=\,根据等腰直角三角形的性质得出

2

0C=6DC=五,即0/=0C=应，根据NaiE=90。，4OC=45。，得出△/0E为等腰直角三角形，

即可得出4£=0/=啦.

【详解】解：：QI_L8C,

AZOZ）C=90°,DC=-BC=\.

2

,/4OC=45。，

...AODC为等腰直角三角形，

OC=五DC=亚，

•*-OA=OC=41-

,//E是O。的切线，

NO/E=90。，

ZAOC=45°,

.•.△ZOE为等腰直角三角形，

AE-OA-y/2•

故答案为：V2.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握

垂径定理，得出OC=；8c=1.

17.（2023年天津市中考数学真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形/8C内接于

20

(2)若点力在圆上，相与C。相交于点P.请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点。，使ACP。

为等边三角形，并简要说明点。的位置是如何找到的(不要求证明).

【答案】(1)厉

(2)画图见解析；如图，取与网格线的交点E,F,连接功并延长与网格线相交于点G;连接QB与

网格线相交于点，，连接〃尸并延长与网格线相交于点/,连接//并延长与圆相交于点K,连接CK并延长

与G8的延长线相交于点0,则点0即为所求

【分析】(1)在网格中用勾股定理求解即可；

(2)取ZC/8与网格线的交点£,F,连接跖并延长与网格线相交于点M,连接“8；连接08与网格线

相交于点G,连接G尸并延长与网格线相交于点从连接Z4并延长与圆相交于点/,连接C/并延长与河8的

延长线相交于点。，则点。即为所求，连接尸。，AD,BK,过点E作网格线，过点G作65_1网格线,

由图可得合RtABZ,F(AAS),根据全等三角形的性质可得RtdMFSRt"WF(ASA)和“//合AB//F(SAS),根

据同弧所对圆周角相等可得筋=诙，进而得到Zl=Z2和NPCQ=60。,再通过证明ACP雪ACSQ(ASA)即可

得到结论.

【详解】(1)解：AB=y/22+52=>/29；

故答案为：V29.

(2)解：如图，取力。,48与网格线的交点E,F,连接防并延长与网格线相交于点G；连接。B与网格线

相交于点〃，连接//尸并延长与网格线相交于点/,连接4并延长与圆相交于点K,连接CK并延长与G8的

延长线相交于点Q,则点Q即为所求；

连接P。，AD,BK,过点£作E71网格线，过点G作GSL网格线，

21

由图可得：Z.AJF=Z.BLF,Z.AFJ=Z.BFL,AJ=BL,

：.RUAJF堂RLBLE(AAS),

:・FJ=FL,AF=BFf

*/MJ=NL,

:,FJ-MJ=FL-NL,BPFM=FN,

•.*/IMF=Z.HNF,〃FM=NHFN,

...RU/MFRtAH^F(ASA),

JFI=FH,

'：NAFI=4BFH,AF=BF,

.・・AJZF^/ZF(SAS),

/.NFAI=Z.FBH,

•AD=-BK，

.Z1=Z2,

,是等边三角形，

.ZACB=60°f即N1+NPCB=60°,

,N2+NPCB=60°,即ZPCQ=60°,

,ET=GS,Z£TF=Z.GSF,Z.EFT=Z.GFS,

.RUETF聋RtAG5F(AAS),

・EF=GF,

'AF=BF,ZAFE=/BFG,

22

..."FE空ABFG（SAS）,

/EAF=/GBF,

：.ZGBF=NEAF=Z.CBA=60°,

.../CBQ=180°-Z.CBA-4GBF=60°,

・・.NCBQ=NCAB,

■:CA=CB,

；.^CAP^CBQ（ASA）,

：.CQ=CPf

・.・ZPCQ=60°,

.•.△PC。是等边三角形，此时点。即为所求；

故答案为：如图，取与网格线的交点E,F,连接即并延长与网格线相交于点G；连接05与网格

线相交于点“，连接并延长与网格线相交于点/,连接4并延长与圆相交于点K,连接CK并延长与GB

的延长线相交于点。，则点。即为所求.

【点睛】本题考查作图一复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解

题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键.

18.（2023年河北省中考数学真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1,正六边

形边长为2且各有一个顶点在直线/上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2,

其中，中间正六边形的一边与直线/平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中

（1）Za=度.

（2）中间正六边形的中心到直线/的距离为（结果保留根号）.

【答案】30273

【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解；

（2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线/的距离转化为求

ON=OM+BE,再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出即可求解.

【详解】解：（1）作图如下：

23

图2

根据中间正六边形的一边与直线/平行及多边形外角和，得NN5C=60。,

乙1=/4=90。-60。=30°,

故答案为：30；

(2)取中间正六边形的中心为O,作如下图形，

图2

由题意得：AG//BF,AB//GF,BFLAB,

四边形ZBWG为矩形，

AB=GF,

ABAC=NFGH,NABC=NGFH=90c,

Rt"8c丝RtAGf7/(SAS),

BC=FH,

在Rt△尸DE中，DE=l,PE=43,

由图1知AG=BF=2PE=2。

由正六边形的结构特征知：OAf=lx2V3=V3,

2

-/BC=-(BF-CH)=y/3-1,

BC

=3

tanZ.BAC专一

3

:.BD=2-AB=6-1,

又•:DE=-x2=\,

2

24

:.BE=BD+DE=“,

ON=0M+BE=2不

故答案为：2G.

【点睛】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含30度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质，解

直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征.

19.（2023年山西省中考数学真题）如图，在四边形/5CD中，NBCD=9Q°,对角线4C,8。相交于点O.若

AB=AC=5,BC=6,NADB=2NCBD,则/。的长为

【分析】过点Z作，8c于点，，延长，8c交于点E,根据等腰三角形性质得出=；8c=3,

根据勾股定理求出/”=〃C2_C〃2=4,证明NC80=NCED,得出。8=根据等腰三角形性质得出

mQ

CE=BC=6,证明。〃所得出而=应，求出。=晨根据勾股定理求出

DECE2"^

DE=yjCE2+CD2根据CD〃力才，得出不=为，即：_6,求出结果即可.

AD（,H--------=—

【详解】解：过点力作力”，8c于点，，延长力。，BC交于点、E,如图所示:

则N4HC=ZAHB=90°,

'：AB=AC=5,BC=6,

：.BH=HC==BC=3,

2

•*,AH—AC2—CH2—4，

■:NADB=4CBD+ZCED,Z.ADB=2ZCBD,

25

・・・/CBD=/CED,

：.DB=DE,

・・•ZBCD=90°,

.・・DC上BE,

:・CE=BC=6,

：・EH=CE+CH=9,

■:DCJLBE,AHIBC,

：.CD//AHf

：.^ECDfEHA,

.CDCE

.•----=-----,

AHHE

CD6

即an——=一,

49

Q

解得：CD=^,

：.DE=y/CE2+CD2=卜?,

・・,CD//AH,

.DECE

・・布一而‘

2质

即36,

AD-3

解得：AD=^~.

3

故答案为：叵.

3

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例,

相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理

及相似三角形的判定与性质.

20.（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，4c是正五边形/88E的对角线，力。与CE相交

于点F.下列结论：

①CF平分//CD；（2）AF=2DF；③四边形是菱形；@AB2=AD-EF

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

26

A

【答案】①③④

【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和

性质，菱形的判定依次证明即可.

【详解】解：①•••正五边形H8CDE,

二/ABC=/BCD=NCDE=/DEA=侬邓一”=108o；AB=BC=CD=DE=AE,

5

1QAO_1noo

Z.NBAC=NBCA=NDAE=ZADE=NDCE=ZCED="=36°,

2

・・・ZACE=\08°-NBCA-NDCE=36°=NDCE,

・・・Cb平分//CD；正确；

（2）VZACE=ZDEC=36°,ADFE=ZAFC,

.•・ADEFS"CF,

.DF_DE

^~AF~~AC"

,:DE=AB2AB>AC,

.DF1

••---H—,

AF2

即4尸—2。尸，故②错误；

③ABAC=ZACE,ZABC+ZBAD=108°+36°+36°=180°,

Z.BC//AD,AB//CE,

...四边形ABCF是平行四边形，

AB=BC,

四边形/8CF是菱形；正确；

（4）,/NCED=NDAE=36°,ZEDF=ZADE,

/^DEF^Z\DAE,

.DEEF

.•----------,

ADAE

：.EDAE^ADEF,AB2=AD-EF正确;

故答案为：①③④.

27

【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解

题关键.

21.（2023年辽宁省大连市中考数学真题）如图，在正方形褴CD中，AB=3,延长8c至E,使CE=2,

连接4E,CF平分/DCE交AE于F,连接。尸，则OF的长为.

【分析】如图，过尸作尸于FNLCD于N,由CF平分NDCE,可知NFCM=NFCN=45。,

可得四边形。WFN是正方形，FM//AB,设FM=CM=NF=CN=a,贝iJ〃E=2-a,证明A£74/SAE48,

则2=空，即?;女，解得4=：，DN=CD-CNt，由勾股定理得z）F=j£W2M72,计算求

ABBE33+244

解即可.

【详解】解：如图，过尸作于"，FNLCD于■N,则四边形CA/EV是矩形，FM//AB,

,:CF平分NDCE,

：.4FCM=4FCN=45°,

：.CM=FM,

：.四边形CMFN是正方形，

设FM=CM=NF=CN=a,贝ljME=2-a,

FM//AB,

:・AEFMS^EAB,

.FMMEa2-a3

••一,I*nJn-解得”“

ABBE33+2

9

・・・DN=CD—CN=—,

4